初中数学数学名师拉格朗日.docx

拉格朗日 拉格朗日，JL(Lagrange，Joseph Louis) 1736年1月25日生于意大利都灵；1813年4月11日卒于法国巴黎数学、力学、天文学拉格朗日父姓拉格朗日亚(Lagrangia)拉格明日在都灵出生受洗记录上的正式名字为约瑟普洛德维科拉格朗日亚(Giuseppe Lodovico，Lagrangia)父名弗朗切斯科洛德维科拉格朗日亚(Francesco Lodovico， Lagrangia)；母名泰雷萨格罗索(Teresa Grosso)他曾用过的姓有德拉格朗日(De la Grange)，拉格朗日(La Grange)等去世后，法兰研究院给他写的颂词中，正式用现在姓名父系为法国后裔曾祖是法国骑兵上校，到意大利后与罗马家族的人结婚定居；祖父任都灵的公共事务和防务局会计，又同当地人结婚父亲也在都灵同一单位工作，共有11个子女，但大多数夭折，拉格朗日最大据拉格朗日本人回忆，如幼年家境富裕，可能不会作数学研究父亲有一条家规：必须有一子继任他的职业，拉格朗日也不反对但到青年时代，在数学家FA雷维里(Revelli)指导下学几何学后，萌发了他的数学天才17岁开始专攻当时迅速发展的数学分析18岁时(1754)，他曾用意大利语写出第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商寄给数学家G法尼亚诺(Fagnano)，并用拉丁语写出寄给在柏林的L欧拉(Euler)可是当年8月他看到了公布的G莱布尼兹(Leibniz)同J伯努利(Bernoulli)的通信，正是这个内容，即后来的莱布尼兹公式此不幸开端并未使拉格朗日灰心，9月给法尼亚诺的信中说他正研究等时曲线，并于年底开始研究变分极值问题拉格朗日在1755年8月12日写给普鲁士科学院数学部主任欧拉的信中，给出了用纯分析方法求变分极值的提要；欧拉在9月6日回信中称此工作很有价值他本人也认为这是第一篇有意义的论文，对变分法创立有贡献此成果使他在都灵出名9月28日，年仅19岁的拉格朗日被任命为都灵皇家炮兵学校教授从此走向数学研究的道路，逐步成为当时第一流的科学家，在数学、力学和天文学中都做出了历史性的重大贡献其学术生涯自然地可分为三个时期都灵时期(1766年以前)拉格朗日任数学教授后，积极进行研究1756年给欧拉的信中，开始把变分法用于力学，还把欧拉关于有心力的一个定理推广到一般动力学问题欧拉把信送交上级P莫培督(Maupertuis)和科学院院长莫培督看到拉格朗日是他的最小作用原理的支持者、建议拉格朗日来普鲁士任讲座教授，条件比都灵优越，但拉格朗日谢绝同年8月，他被任命为普鲁土科学院通讯院士，9月2日选为副院士1757年，以拉格朗日为首的一批都灵青年科学家，成立了一个科学协会，即都灵皇家科学院的前身并从1759年开始，用拉丁语和法语出版学术刊物都灵科学论丛(Miscellanea Taurine- nsia，法语名Mlanges de Turin)前三卷刊登了拉格朗日几乎全部在都灵时期的论文其中有关变分法、分析力学、声音传播、常微分方程解法、月球天平动、木卫运动等方面的成果都是当时最出色的，为后来他在这些领域内更大贡献打下了基础此外他在岁差章动，大行星运动方面也有重要贡献1763年11月，都灵王朝代表去伦敦赴任时，带拉格朗日到巴黎受到巴黎科学院的热烈欢迎，并初次会见JR达朗贝尔(dAlembert)在巴黎停留六周后病倒，不能去伦敦康复后遵照达朗贝尔意见，回国途中在日内瓦拜访了当时著名数学家D伯努利(Daniel Bernoulli)和文学家F伏尔泰(Voltaire)，他们的看法对拉格朗日以后的工作有启发回到都灵后，拉格朗日的声望更高朝野都认为他在都灵不能发挥才能1765年秋，达朗贝尔写信给普鲁士国王腓特烈二世，热情赞扬拉格朗日，并建议在柏林给拉格朗日一个职位国王同意后通知拉格朗日但他回信表示不愿与欧拉争职位1766年3月，达朗贝尔来信说欧拉决定离开柏林，并请他担任留下的职位拉格朗日决定接受待5月3日欧拉离开柏林去彼得堡后，拉格朗日正式接受普鲁士邀请，于8月21日离开都灵柏林时期(17661787)去柏林途经巴黎时，拉格朗日与达朗贝尔合作两周，于10月27日到达柏林11月6日任命他为普鲁士科学院数学部主任他很快就与院内主要骨干友好相处，如J伯努利(Johann Bernoulli)等1767年9月，拉格朗日同维多利亚孔蒂(Vittoria Conti)结婚他给达朗贝尔的信中说：“我的妻子是我的一个表妹，曾与我家人一起生活很长时期，是一个很好的家庭妇女”但她体弱多病，未生小孩，久病后于1783年去世在普鲁士科学院，拉格朗日的任务是每月宣读一篇论文，内容一般在科学院文献(Mmoires des lAcademie royale des scien-ces)以及柏林科学院新文献(Nouveaux memoires de lAcademie des Berlin)上发表他还接受达朗贝尔的建议，经常参加巴黎科学院竞赛课题研究，并获得1772，1774，1776，1780年度的奖金拉格朗日在柏林期间完成了大量重大研究成果，为一生研究中的鼎盛时期，多数论文在上述两刊物中发表，少量仍寄回都灵其中有关月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学、数论、方程论、微分方程、函数论等方面的成果，成为这些领域的开创性或奠基性研究此外，还在概率论、循环级数以及一些力学和几何学课题方面有重要贡献他还翻译了欧拉和A棣莫弗(De Moivre)的著作 1782年给P拉普拉斯(Laplace)的信中说：“我几乎写完分析力学论述(Traitde Mcanique Analytique)，但无法出版”拉普拉斯安排在巴黎出版，出书时已是1788年，拉格朗日已到巴黎了此书成为分析力学的奠基著作1783年，老家建立“都灵科学院”，任命拉格朗日为名誉院长原出版刊物改为都灵科学院综合论丛(Mlanges des lAcade-mie des sciences des Turin)拉格朗日也常寄论文回去发表到1786年8月，因支持他的普鲁士国王腓特烈二世去世，决定离开柏林他于1787年5月18日应巴黎科学院邀请动身去法国巴黎时期(17871813)拉格朗日1787年7月29日正式到巴黎科学院工作由于他从1772年起就是该院副院土，这次来工作受到了更热情的欢迎，可惜达朗贝尔已在1783年去世到巴黎的前几年，他主要学习更广泛的知识，如形而上学、历史、宗教、医药和植物学等1789年爆发资产阶级革命，他只是有兴趣地旁观1790年5月8日的制宪大会上通过了十进位的公制法，科学院建立相应的“度量衡委员会”，拉格朗日为委员之一8月8日，国民议会决定对科学院专政，三个月后又决定把AL拉瓦锡(Lavoisier)，拉普拉斯，CA库伦(Coulomb)等著名院士清除出科学院但拉格朗日被保留，并任度量衡委员会主席1792年，丧偶9年的拉格朗日同天文学家勒莫尼埃(LeMonnier)的女儿何蕾-弗朗索瓦-阿德莱德(Rene-Francoise- Adelaide)结婚，虽未生儿女，但家庭幸福1793年9月政府决定逮捕所有在敌国出生的人，经拉瓦锡竭力向当局说明后，把拉格朗日作为例外1795年成立国家经度局，统一管理全国航海、天文研究和度量衡委员会，拉格朗日是委员之一同年成立的两个法国最高学府：师范学校和综合工科学校中，拉格朗日等为首批教授在取消对科学院的专政后，1795年建立了法国最高学术机构法兰西研究院，选举拉格朗日为第一分院(即科学院)的数理委员会主席此后他才重新进行研究工作，但主要是整理过去的工作，并结合教材编写完成一批重要著作分析力学论述于1788年出版后，拉格朗日就着手把书中的原理和方法推广到一般的情况他在1810年前发表的一些论文，如在法兰西学院文献(Memoires de l Institute)中刊登的“关于任意常数变异法在所有力学问题中的一般理论”(Memoirs surla thorie gnrale de la variatiou des constantes arbitrairesdans tons les problmes de la mcanique，1809年3月宣读)等，都是为修改出第二版作准备第二版更名为分析力学(M-canique analytique)，分两卷，上卷于1811年出版，下卷直到1816年才印出，拉格朗日已去世三年他在师范学校的教材师范学校数学基础教程(Les le conslmentaires sur les Mathmatique donns l cole Normale)于1796年出版，后来收进拉格朗日文集(Oeuvres de Lagrange，下面简称文集)，第七卷的内容他在1812年作过大量充实1798年出版的论任意阶数值方程的解法(Trait de la r-solution des qnations numriques de tous les degrs)，总结了早年在方程式论方面的成果，并加以系统化，充实后于1808年再版关于函数论方面他出版了两本历史性著作一是解析函数论，含有微分学的主要定理，不用无穷小，或用在消失的量，或极限与流数等概念，而扫结为代数分析艺术(Theorie des fonctionsanalytiques，contenant les principes du calcul diffrentiel dgags de toute considration dinfiniment petits， dranouissa-nts， de limites et de fluxions， et rduits lanalyse algbrique de quantits finies)，1797年出版，1813年再版；另一本函数计算教程(Lecons sur le calcul des fonctions)， 1801年出版，由师范学校讲义改编1799年雾月政变后，拿破仑(Napoleon)提名拉格朗日等著名科学家为上议院议员及新设的勋级会荣誉军团成员，封为伯爵；还在1813年4月3日授予他帝国大十字勋章此时拉格朗日已重病在身，终于在4月11日晨逝世在葬礼上，由议长拉普拉斯代表上议院，院长拉赛佩德(Lacpde)代表法兰西研究院致悼词意大利各大学都举行了纪念活动，但柏林未进行任何活动，因当时普鲁士加入反法联盟主要贡献评述拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期当对数学、物理学和天文学是自然科学主体数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学的主流是力学；天文学的主流是天体力学数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献下面就拉格朗日的主要贡献分别评述数学分析的开拓者 牛顿和莱布尼兹以后的欧洲数学分裂为两派英国仍坚持牛顿在自然哲学中的数学原理中的几何方法，进展缓慢；欧洲大陆则按莱布尼兹创立的分析方法(当时包括代数方法)，进展很快，当时叫分析学(analysis)拉格朗日是仅次于欧拉的最大开拓者，在18世纪创立的主要分支中都有开拓性贡献1变分法这是拉格朗日最早研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”(Recherches sur la mthode demaximis et minimies)2是他研究变分法的序幕； 1760年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”(Essai dunenouvelle mthode pour dterminer les maxima et les minima desformules integrales indfinies)3是用分析方法建立变分法的代表作发表前写信给欧拉时，称此文中的方法为“变分方法”(themethod of variation)欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”(the calculus of variation)变分法这个分支才真正建立起来拉格朗日方法是对积分进行极值化，函数y=y(x)待定他不象欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法，而是引进通过端点(x1，y1)，(x2，y2)的新曲线y(x)y(x)，y(x)叫曲线y(x)的变分J相应的增量J按y，y展开的一、二阶项叫一次变分J和二次变分2J他用分析方法证明了J为零的必要条件就是欧拉方程他达继续讨论了端点变动时的情况以及两个自变量的重积分的情况，使这个分支继续发展1770年以后，拉格朗日达研究了被积函数f包含高阶导数的单重和多重积分时的情况，现在已发展成为变分法的标准内容2微分方程早在都灵时期，拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况，证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成；而且在知道方程的m个特解后，可以把方程降低m价在柏林时期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”(Sur les intgralesparticulieres des equations diffrentielles)22中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G达布(Darboux)等人完成的常微分方程组的研究在当时结合天体力学中的课题进行拉格朗日在1772年完成的“论三体问题”(Essai sur le problmedes trois corps)8中，找出了三体运动的常微分方程组的五个特解：三个是三体共线情况；两个是三体保持等边三角形；在天体力学中称为拉格朗日平动解他同拉普拉斯一起完善的任意常数变异法，对多体问题方程组的近似解有重大作用，促进了摄动理论的建立拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者，他在1772年完成的。“关于一阶偏微分方程的积分”(Sur lintegration des quationau differences partielles du premier order)21和1785年完成的“一阶线性偏微分方程的一般积分方法”(Mthode gnrale pourintgrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linaires)23中，系统地完成了一阶偏微分方程的理论和解法他首先提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解、奇解、通积分等，并给出它们之间的关系还对形如的非线性方程，化为解线性方程后来又进一步证明了解线性方程PpQq=R(P，Q，R为x，y，z的函数)(5)与解等价，而解(6)式又与解常微分方程组等价(5)式至今仍称为拉格朗日方程有趣的是，由上面已可看出，一阶非线性偏微分方程，可以化为解常微分方程组但拉格朗日自己却不明确，他在1785年解一个特殊的一阶偏微分方程时，还说不能用这种方法，可能他忘记了自已在1772年的结果现代也有时称此方法为拉格朗日方法，又称为柯西(Cauchy)的特征方法因拉格朗日只讨论两个自变量情况，在推广到n个自变量时遇到困难，而后来由柯西在1819年克服3方程论18世纪的代数学从属于分析，方程论是其中的活跃领域拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上他在代数方程解法中有历史性贡献在长篇论文“关于方程的代数解法的思考” (Rflexions sur le resolution algbrique desequations，全集， pp 205421)中，把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因三次方程有一个二次辅助方程，其解为三次方程根的函数，在根的置换下只有两个值；四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值，因而辅助方程为三次方程拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数(是有理函数)他继续寻找5次方程的预解函数，希望这个函数是低于5次的方程的解，但没有成功尽管如此，拉格朗日的想法已蕴含着置换群概念，而且使预解(有理)函数值不变的置换构成子群，子群的阶是原置换群阶的因子因而拉格朗日是群论的先驱他的思想为后来的NH阿贝尔(Abel)和 E伽罗瓦(Galois)采用并发展，终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题拉格朗日在1770年还提出一种超越方程的级数解法设p为方程 这就是后来在天体力学中常用的拉格朗日级数他自己没有讨论收敛性，后来由柯西求出此级数的收敛范围4数论拉格朗日到柏林初期就开始研究数论，第一篇论文“二阶不定问题的解”(Sur la solution des problms in dtrminsdu seconde degrs14和送交都灵论丛的“一个算术问题的解”(Solution dun problme darithmetique)15中，讨论了欧拉多年从事的费马(Fermat)方程x2-Ay2=1(x，y，A为整数)，(9)不定问题解的新方法”(Nouvelle mthode pour resoudveles problmes indtemins en nombres entiers)16中得到更一般的费马方程x2-Ay2=B(B也为整数)(10)的解还讨论了更广泛的二元二次整系数方程ax22bxycy22dx2eyf=0，(11)并解决了整数解问题拉格朗日还在1772年的“一个算术定理的证明”(De monstration dun thorme darthmtique，文集，pp189201)中，把欧泣40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来在1773年发表的“质数的一个新定理的证明”(Dmonstation dun theorem nouveau concernant les nombres premiers)17中，证明了著名的定理：n是质数的充要条件为(n-1)！1能被n整除拉格朗日不仅有大量成果，还在方法上有创新如在证明(9)式研究”(Recherches darithmtiques，文集，pp695795)中，研究(11)式解时采用的方法和结果，是二次型理论的基本文献5函数和无穷级数同18世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数则是多项式的推广他还试图用代数建立微积分的基础在他的解析函数论(文集)中，书名上加的小标题“含有微分学的主要定理，不用无穷小，或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为代数分析艺术”，表明了他的观点由于迥避了极限和级数收敛性问题，当然就不可能建立真正的级数理论和函数论，但是他们的一些处理方法和结果仍然有用，他们的观点也在发展拉格朗日就在解析函数论中，第一次得到微分中值定理(书中第六章)f(b)-f(a)=f(c)(b-a)(acb)，(12)后面并用它推导出泰勒(Taylor)级数，还给出余项Rn的具体表达式(第二十章)Rn就是著名的拉格朗日余项形式他还着重指出，泰勒级数不考虑余项是不能用的虽然他还没有考虑收敛性，甚至各阶导数的存在性，但他强调Rn要趋于零表明他已注意到收 题他同欧拉、达朗贝尔等在任意函数能否表为三角级数的长期争论，虽未解决，但为以后三角级数理论的建立打下了基础最后要提一下他在师范学校数学基础教程中，提出了著名的拉格朗日内插公式直到现在计算机计算大量中点内插时仍在使用另外在求多元函数相对极大极小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用除了对数学分析在18世纪建立的主要分支有开拓性贡献外，他对严格化问题也开始注意尽管回避了极限概念，但他仍承认可以在极限基础上建立微积分(文集，p325)但正是对严格化重视不够，所建立的分支到一定阶段就很难深入这可能是他晚年研究工作少的原因他在1781年9月21日给达朗贝尔的信中说：“在我看来，似乎(数学)矿井已挖掘很深了，除非发现新矿脉，否则势必放弃它”(文集X368)这说出了他和其他同事们的心情事实表明，19世纪在建立数学分析严格基础后，数学更迅速地发展分析力学的创立者 牛顿的力学理论仍用几何方法讨论到18世纪中期，欧拉和达朗贝尔开始用分析方法，而拉格朗日在使力学分析化方面最出色，他在1788年出版的分析力学一书，就是分析力学这门学科建立的代表作他一生的全部力学论文以及同时代人的力学贡献，都归纳到这部著作中他的研究目的是使力学成为数学分析的分支他在分析力学的序言中说：“我在其中阐明的方法，既不要求作图，也不要求几何的或力学的推理，而只是一些按照一致而正规的程序的代数(分析)运算喜欢分析的人将高兴地看到，力学变成了它的一个新分支，并将感激我扩大了它的领域”实际情况正是这样拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方法他首先引入广义坐标概念，故广义坐标又称为拉格朗日坐标一个力学系统可用有限个坐标qj(j=1，2，N)表示；qj= dqj/dt为相应的广义速度力学系统总动能T(拉格朗日称之为活力)表为qjqj和时间t的函数后，定义为作用，最小作用原理成为I=0拉格朗日用变分法讨论I=0时，导出了力学系统的运动方程为其中Qj为力学系统受到的作用力在广义坐标中的表达式，称为广义力如力为保守的，则存在势函数V，(16)式成为(16)或(17)式就是第二类拉格朗日方程后来SD泊松(Poisson)等引入函数L就取名为拉格朗日函数拉格朗日还把这些方法用于研究质点组，刚体和流体在流体力学中讨论流体内各点的运动方法仍称为拉格朗日方法最后收集到文集中的分析力学是第二版，共分两卷，785页第一卷中一半讲述“静力学”，主要讨论质点组和流体的平衡问题从分析静力学原理开始，讨论了质点组和流体的平衡条件，并用于研究行星的形状第一卷后半和第二卷全部讨论“动力学”动力学部分共分为十三章，前四章讲述动力学原理和建立质点系统运动方程的拉格朗日方法，包括(16)，(17)式的推导以及运动的一般性质第五章“用任意常数变化解动力学问题的一般近似方法”中，把他在微分方程解法中的任意常数变异法用于解动力学方程后面讨论了一阶近似的求积方法第七章“关于能看作质点的自由物体系统在引力作用下的运动”主要讲天体力学的基本问题第八、九章讨论不动中心吸引问题和刚体动力学第十章讨论地球自转和月球天平动最后三章讨论流体动力学基本问题，作为拉格朗日方法的应用拉格朗日创立分析力学使力学发展到新的阶段拉格朗日方程(16)，(17)式推广了牛顿第二运动定律；使得在任意坐标系下有统一形式的运动方程，便于处理各种约束条件等优点，至今仍为动力学中的最重要的方程在分析力学第二版印出(第二卷1816年)后不久，WR哈密顿(Hamilton)于1834年提出广义动量并建立哈密顿正则方程，又同KG雅可比(Jacobi)一起建立哈密顿-雅可比方法(1837)后，分析力学正式奠基建成，很快用到各学科领域天体力学的奠基者 天体力学是在牛顿发表万有引力定律(1687)时诞生的，很快成为天文学的主流它的学科内容和基本理论是在18世纪后期建立的主要奠基者为欧拉，AC克莱罗(Clairaut)、达朗贝尔、拉格朗日和拉普拉斯最后由拉普拉斯集大成而正式建立经典天体力学拉格朗日一生的研究工作中，约有一半同天体力学有关，但他主要是数学家，他要把力学作为数学分析的一个分支，而又把天体力学作为力学的一个分支对待虽然如此，他在天体力学的奠基过程中，仍有重大历史性贡献首先在建立天体运动方程上，拉格朗日用他在分析力学中的原理和(16)，(17)式，建立起各类天体的运动方程其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，现在仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛应用，此方程对摄动理论的建立和完善起了重大作用，方程在1780年获巴黎科学院奖的论文“彗星在行星作用下的摄动理论研究”(Recherches sur la thorie des perturbations queles tes peuvent prouver par laction des plantes)13中给出，得到达朗贝尔和拉普拉斯的高度评价另外在一篇有关三体问题的获奖文章中8，把三体问题的运动方程组第一次降到七阶在天体运动方程解法中，拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解8，即拉格朗日平动解其中两个解是三体围绕质量中心作椭圆运动过程中，永远保持等边三角形他的这个理论结果在100多年后得到证实 1907年2月22日，德国海德堡天文台发现了一颗小行星后来命名为希腊神话中的大力士阿基里斯(Achilles)，编号588，它的位置正好与太阳和木星形成等边三角形到1970年前，已发现15颗这样的小行星，都以希腊神话中特洛伊(Troy)战争中将帅们的名字命名有9 颗位于木星轨道上前面60处的拉格朗日特解附近，名为希腊人(Greek)群；有6颗位于木星轨道上后面60处的解附近，名为脱罗央(Trojan)群1970年以后又继续发现40多颗小行星位于此两群内，其中我国紫金山天文台发现四颗，但尚未命名至于为什么在特解附近仍有小行星，是因为这两个特解是稳定的1961年又在月球轨道前后发现与地月组成等边三角形解处聚集的流星物质，是拉格朗日特解的又一证明至今尚未找到肯定在三个拉格朗日共线群(三体共线情况)处附近的天体，因为这三个特解不稳定另外，拉格朗日在一阶摄动理论中也有重要贡献，提出了计算长期摄动方法(文集，pp125414)，并与拉普拉斯一起提出了在一阶摄动下的太阳系稳定性定理(参见世界著名科学家传记天文学家中“拉普拉斯”条)此外，拉格朗日级数(8)式在摄动理论中有广泛应用在具体天体的运动研究中，拉格朗日也有大量重要贡献，其中大部分是参加巴黎科学院征奖的课题他的月球运动理论研究论文多次获奖1763年完成的“月球天平动研究”(Recherches sur laLibration de la lune)6获1764年度奖，此文较好地解释了月球自转和公转的角速度差异，但对月球赤道和轨道面的转动规律解释得不够好后来在1780年完成的论文解决得更好(参见文集，pp5123)获1772年度奖的就是著名的三体问题论文8，也是针对月球运动研究写出的获1774年度奖的论文为“关于月球运动的长期差”(Sur lequation sculaire de la lune)9，其中第一次讨论了地球形状和所有大行星对月球的摄动关于行星和彗星运动的论文也有两次获奖1776年度获奖的是他在1775年完成的三篇论文10，11，12，其中讨论了行星轨道交点和倾角的长期变化对彗星运动的影响1780年度的获奖论文就是提出著名的拉格朗日行星运动方程的那篇13获1766年度奖的论文是“木星的卫星运动的偏差研究”(Recherches sur les ingualits des satellites de Jupiter)7，其中第一次讨论了太阳引力对木