高等数学 上册 (黄立宏 廖基定 著) 复旦大学出版社 第六章 课后答案

习题六习题六 1 指出下列各微分方程的阶数 1 一阶 2 二阶 3 三阶 4 一阶 2 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解 2 1 2 5xyy yx 解 由 2 5yx 得 10yx 代入方程得 22 102 510 xxxx 故是方程的解 2 0 3sin4cosyyyxx 解 3cos4sin 3sin4cosyxxyxx 代入方程得 3sin4cos3sin4cos0 xxxx 故是方程的解 2 3 20 exyyyyx 解 222 2 ee 2 e 24 e xxxx yxxxxyxx 代入方程得 2e0 x 故不是方程的解 12 121212 4 0 ee xx yyyyCC 解 1212 22 11221122 ee ee xxxx yCCyCC 代入方程得 121212 22 11221211221212 ee ee ee 0 xxxxxx CCCCCC 故是方程的解 3 在下列各题中 验证所给二元方程为所给微分方程的解 22 1 2 2 xy yxyxxyyC 证 方程 22 xxyyC 两端对x求导 220 xyxyyy 得 2 2 xy y xy 代入微分方程 等式恒成立 故是微分方程的解 2 2 20 ln xyx yxyyyyyxy 证 方程 ln yxy 两端对x求导 11 yy xy 得 1 y y x y 式两端对x再求导得 222 11 1 1 y y xxyy 将 y y 代入到微分方程 等式恒成立 故是微分方程的解 4 从下列各题中的曲线族里 找出满足所给的初始条件的曲线 22 0 1 5 x xyCy 解 当 0 x 时 y 5 故C 25 故所求曲线为 22 25yx 2 12 00 2 e 0 1 x xx yCC xyy 解 2 212 22 e x yCCC x 当x 0 时 y 0 故有 1 0C 又当x 0 时 1y 故有 2 1C 故所求曲线为 2 e x yx 5 求下列各微分方程的通解 1 ln0 xyyy 解 分离变量 得 d1 d ln y x yyx 积分得 11 dlnd ln yx yx lnlnlnlnyxc lnycx 得 ecxy 1 2 1 y y x 解 分离变量 得 dd 11 yx yx 积分得 dd 11 yx yx 得通解 2 12 1 yxc 3 ee d ee d0 x yxx yy xy 解 分离变量 得 ee dd 1 e1 e yy yx yx 积分得 ln e1 ln e1 ln yx c 得通解为 e1 e1 xy c 4 cos sin dsincos d0 xy xxy y 解 分离变量 得 coscos dd0 sinsin xy xy xy 积分得 lnsinlnsinlnyxc 得通解为 sinsin yxc 5 yxy 解 分离变量 得 d d y x x y 积分得 2 1 1 ln 2 yxc 得通解为 2 1 1 2 e e x c ycc 6 210 xy 解 21yx 积分得 21 dyxx 得通解为 2 yxxc 32 7 4230 xxy y 解 分离变量 得 23 3d 42 dyyxxx 积分得 342 yxxc 即为通解 8 ex yy 解 分离变量 得 e de d yx yx 积分得 e de d yx yx 得通解为 ee yx c 6 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解 2 0 1 e 0 x y x yy 解 分离变量 得 2 e de d yx yx 积分得 2 1 ee 2 yx c 以 0 0 xy 代入上式得 1 2 c 故方程特解为 2 1 e e1 2 yx 2 2 sinln e x yxyyy 解 分离变量 得 dd lnsin yx yyx 积分得 tan 2 e x c y 将 e 2 xy 代入上式得 1c 故所求特解为 tan 2 e x y 7 求下列齐次方程的通解 22 1 0 xyyyx 解 2 d 1 d yyy xxx 令 dd dd yyu uux xxx 原方程变为 2 dd 1 ux x u 两端积分得 2 ln 1 lnlnuuxc 2 2 1 1 uucx yy cx xx 即通解为 222 yyxcx d 2 ln d yy xy xx 解 d ln d yyy xxx 令 y u x 则 dd dd yu ux xx 原方程变为 dd ln1 ux uux 积分得 ln ln1 lnlnuxc ln1 ln1 ucx y cx x 即方程通解为 1 ecxyx 22 3 dd0 xyxxy x 解 2 22 1 d d y yxy x y xxy x 令 y u x 则 dd dd yu ux xx 原方程变为 2 d1 d uu ux xu 即 d1d d d ux xu u xux 积分得 2 1 1 lnln 2 uxc 2 1 2 2ln2ln y xc x 故方程通解为 2222 1 ln yxcxcc 332 4 d3d0 xyxxyy 解 3 33 22 1 d d3 3 y yxy x xxy y x 令 y u x 则 dd dd yu ux xx 原方程变为 3 2 d1 d3 uu ux xu 即 2 3 3d d 1 2 ux u ux 积分得 3 1 1 ln 21 lnln 2 uxc 以 y x 代替u 并整理得方程通解为 33 2yxcx d 5 d yxy xxy 解 1 d d 1 y y x y x x 令 y u x 则 dd dd yu ux xx 原方程变为 d1 d1 uu ux xu 分离变量 得 2 11 dd 1 u ux ux 积分得 2 1 1 arctanln 1 lnln 2 uuxc 以 y x 代替u 并整理得方程通解为到 2arctan 22 2 1 1 e y x xycc c 22 6 y y xxy 解 2 d d 11 y y x x y x 即 2 d 1 d xxx yyy 令 x v y 则 dd dd xv xyvvy yy 原方程可变为 2 d 1 d v vyvv y 即 2 d 1 d v yv y 分离变量 得 2 dd 1 vy y v 积分得 2 ln 1 lnlnvvyc 即 2 1 y vv c 2 2 2 2 1 2 1 y vv c yyv cc 以 yvx 代入上式 得 2 2 2 c y c x 即方程通解为 22 2ycxc 8 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解 22 0 1 3 d2d0 1 x yxyxy xy 解 2 2 d d 3 y y x x y x 令 yux 则得 2 d2 d3 uu ux xu 分离变量 得 2 3 3d d ux u uux 积分得 3lnln 1 ln 1 lnuuucx 即 2 3 1 lnln u c u x 得方程通解为 223 yxcy 以x 0 y 1 代入上式得c 1 故所求特解为 223 yxy 1 2 2 x xy yy yx 解 设 yux 则 dd dd yu ux xx 原方程可变为 d d x u u x 积分得 2 1 lnln 2 uxc 得方程通解为 22 2 lnln yxxc 以x 1 y 2 代入上式得c e2 故所求特解为 22 2 ln2 yxx 9 利用适当的变换化下列方程为齐次方程 并求出通解 1 253 d 246 d0 xyxxyy 解 设 1 1xXyY 则原方程化为 25 d25 d24 24 Y YXY X Y XXY X 令 d25 d24 Yuu uuX XXu 2 42d d 472X uX u uu 2 2 2 2 2 1 1 87 3 lnd 2472 13d ln 472 22472 1114 ln 472 d 26241 1141 ln 472 lnln 262 u Xu uu u uu uu uuu uu u uuc u 26 221 623 2 642 2 32 332 41 6ln3ln 472 lnln 2 41 472 2 41 2 41 2 u Xuuccc u u Xuuc u Xuuc Xuuccc 代回并整理得 2 3 43 23 yxyxccc 2 1 d 41 d0 xyxyxy 解 d1 d41 yxy xyx 作变量替换 令 1 0 xXyYY 原方程化为 1 d d4 14 Y YXY X Y XXY X 令Y uX 则得 2 d1d14 d14d14 uuuu uXX XuXu 分离变量 得 2 14d d 14 uX u ux 积分得 2 22 2 11d 14 lnd 14214 11 arctan2ln 14 22 u Xu uu uuc 即 2 2lnln 14 arctan2Xuuc 22 ln 14 arctan2Xuuc 代回并整理得 22 2 ln 4 1 arctan 1 y yxc x 3 d 334 d0 xyxxyy 解 作变量替换 vxy 则 dd 1 dd yv xx 原方程化为 d 1 d34 vv xv 1 1 d2 2 d34 34 dd 2 2 31 ddd 22 3 ln 2 2 32ln 2 2 2 vv xv v vx v vvx v vvxc vvxccc 代回并整理得 32ln 2 xyxyc d1 4 1 d y xxy 解 令 uxy 则 dd 1 dd uy xx 原方程可化为 d1 d u xu 分离变量 得 ddu ux 积分得 2 1 1 2 uxc 2 1 22uxc 故原方程通解为 2 1 2 2 xyxccc 10 求下列线性微分方程的通解 1 e x yy 解 由通解公式 d d eeee de eed x x xxxx x yxcxc xc 2 2 32xyyxx 解 方程可化为 12 3yyx xx 由通解公式得 1 1 d d 2 2 e 3 ed 12 3 d 13 2 32 x x x x y xxc x xx xc xx c xx x sin 3 cose x yyx 解 cos d cos d sin sin ee eed x x x x x x yxc xc 4 44yxyx 解 22 4 d 4 d 22 ee4 ed 4 ed xx xx xx yxxc xxc 222 222 eee1 xxx cc 3 5 2 2 2 xyyx 解 方程可化为 2 d1 2 d2 y yxx xx 1 1 d d 2 2 2 ln 2 2ln 2 3 e 2 2 ed e2 2 ed 2 2 2 d 2 2 x x x x xx y xxc xxc xxxc xc x 22 6 1 24 xyxyx 解 方程可化为 2 22 24 11 xx yy xx 2 2 2 2 2 2 d d 1 1 2 3 ln 1 2 2 4 e ed 1 4 e4d 3 1 x x x x x x x x y xc x xc xxc x 11 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解 d11 1 sin 1 d x y yxy xxx 解 1 1 d d11 sin esin d cos ed x x x x x yx xccx xc xx x 以 1xy 代入上式得 1c 故所求特解为 1 1 cos yx x 2 31 1 2 23 1 0 x yxyy x 解 2 2 3 23 d3ln x xxxc x 2 2 22 3 3 2 3 d2 3 3lnd3ln eeed ed x xx xxxxx x xyxc xc 2 22 33 11 e ee 22 xxx xxcc 以x 1 y 0 代入上式 得 1 2e c 故所求特解为 2 3 11 e 22e x yx 12 求下列伯努利方程的通解 2 1 cossin yyyxx 解 令 1 21 zyy 则有 dd 12 12 cossin sincos dd zz zxxzxx xx 1 d 1 d e sincos ed ee sincos desin x x xxx z xxxc xxxccx 1 esin x cx y 即为原方程通解 4 11 2 12 33 yyx y 解 令 3 d 21 d z zyzx x d d e21e 21 ed x x x zxc xxc 3 e 21 1 x y cx 即为原方程通解 13 求下列各微分方程的通解 1 sinyxx 解 方程两边连续积分两次得 2 1 3 12 1 cos 2 1 sin 6 yxxc yxxc xc 2 exyx 解 积分得 1 e dee xxx yxxxc 112 2 12123 ee de2e 1 e2e d 3 e 2 xxxx xxx yxcxxc xc yxc xcxxc xc xc 3 yyx 解 令 py 则原方程变为 d d 1 1 ee1 ed x x x ppxppxpcx xxc 故 2 112 1 e1 de 2 xx ycxxcxxc 3 4 yyy 解 设 yp 则 d d p yp y 原方程可化为 3 d d p ppp y 即 2 d 1 0 d p pp y 由p 0 知y c 这是原方程的一个解 当 0p 时 2 2 dd 1d d1 pp py yp 1 12 1 arctan d lnsin tan pyc y xycc yc 2 212 arcsin e e cx yccc 1 5 y x 解 1 1 dlnyxc x x 112 1211 ln dln ln 1 ycxxxc xc xx xc xccc x 2 1 6 1 y x 解 1 2 1 darcsin 1 yxxc x 2 112 arcsin darcsin1 yxcxxxxc xc 7 0 xyy 解 令 yp 则得 1dd 00 px pp xpx 1 lnlnlnpxc 得 1 c p x 故 1 12 dln c yxcc x x 3 8 10y y 解 令 py 则 d d p yp y 原方程可化为 33 d 10 dd d p y pp pyy y 2222 1 1 22 11 2 112 222 112112 11 222 dd dd 1 2122 11 c pypyc yy y xx cyc y c yc xc c yc xcc yc xc 14 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解 3 11 1 10 1 0 xx y yyy 解 令 yp 则 d d p yp y 原方程可化为 3 3 d1 1dd d p ypp py yy 22 1 2 1 2 111 222 1 pyc pc y 由 1 1 0 xyyp 知 1 1c 从而有 2 2 2 2 1 dd 1 1 y yp y y yx y yxc 由 1 1xy 得 2 1c 故 22 2xyx 或 2 2yxx 2 11 2 1 0 1 xx x yxyyy 解 令 yp 则 yp 原方程可化为 2 11 pp xx 1 1 d d 1 1 2 1 1 e ln ed x x x x pxc xc x x 则 1 1 ln yxc x 以 1 1xy 代入上式得 1 1c 则 1 ln1 yx x 2 2 1 lnln 2 yxxc 当x 1 时 y 0 代入得 2 0c 故所求特解为 2 1 lnln 2 yxx 200 1 3 0 1 xx yyy x 解 1 arctanyxc 当 0 0 xy 得 1 0c 2 2 2 arctan darctand 1 1 arctanln 1 2 x yx xxxx x xxxc 以x 0 y 0 代入上式得 2 0c 故所求特解为 2 1 arctanln 1 2 yxxx 2 00 4 1 1 0 xx yyyy 解 令 py 则 py 原方程可化为 2 1pp 2 1 1 d d 1 arctan tan p x p pxc ypxc 以 0 0 xy 代入上式得 1 ck 2 tan dln cos yxkxcxk 以x 0 y 1 代入上式得 2 1c 故所求特解为 ln1cos yxk 2 00 5 e 0 y xx yyy 解 令 yp 则 d d p yp y 原方程可化为 2 d e d y p p y 即 2 de d y p py 积分得 22 1 111 e 222 y pc 22 1 e y pc 以 0 0 xyy 代入上式得 1 1c 则 2 e1 y py 2 2 d d e1 arcsine y y y x xc 以x 0 y 0 代入得 2 2 c 故所求特解为 arcsine 2 y x 即 esincos 2 y xx 即 lnsecyx 00 6 3 1 2 xx yy yy 解 令 d d p yp yp y 原方程可化为 1 2 d 3 d p py y 1 2 3 2 2 1 d3d 1 2 2 p pyy pyc 以 0 2 1xypy 代入得 1 0c 故 3 4 2ypy 由于 30yy 故 3 4 2yy 即 3 4 d 2d y x y 积分得 1 4 2 42yxc 以x 0 y 1 代入得 2 4c 故所求特解为 4 1 1 2 yx 15 求下列微分方程的通解 1 20yyy 解 特征方程为 2 20rr 解得 12 1 2rr 故原方程通解为 2 12 ee xx ycc 2 0yy 解 特征方程为 2 10r 解得 1 2 ri 故原方程通解为 12 cossinycxcx 2 2 dd 3 420250 dd xx x tt 解 特征方程为 2 420250rr 解得 12 5 2 rr 故原方程通解为 5 2 12 e t xcc t 4 450yyy 解 特征方程为 2 450rr 解得 1 2 2ri 故原方程通解为 2 12 e cossin x ycxcx 5 440yyy 解 特征方程为 2 440rr 解得 12 2rr 故原方程通解为 2 12 e x ycc x 6 320yyy 解 特征方程为 2 320rr 解得 1 2rr 故原方程通解为 2 12 ee xx ycc 16 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 00 1 430 6 10 xx yyyyy 解 特征方程为 2 430rr 解得 12 1 3rr 通解为 3 12 ee xx ycc 3 12 e3 e xx ycc 由初始条件得 121 122 64 3102 ccc ccc 故方程所求特解为 3 4e2e xx y 00 2 440 2 0 xx yyyyy 解 特征方程为 2 4410rr 解得 12 1 2 rr 通解为 1 2 12 e x ycc x 2 212 1 e 22 x x yccc 由初始条件得 1 1 221 2 2 1 10 2 c c ccc 故方程所求特解为 1 2 2 e x yx 00 3 4290 0 15 xx yyyyy 解 特征方程为 2 4290rr 解得 1 2 25ri 通解为 2 12 e cos5sin5 x ycxcx 2 2112 e 52 cos5 52 sin5 x yccxccx 由初始条件得 11 212 00 52153 cc ccc 故方程所求特解为 2 3esin5 x yx 00 4 250 2 5 xx yyyy 解 特征方程为 2 250r 解得 1 2 5ri 通解为 12 cos5sin5ycxcx 12 5sin55cos5ycxcx 由初始条件得 11 22 22 551 cc cc 故方程所求特解为 2cos5sin5yxx 17 求下各微分方程的通解 1 22exyyy 解 2 210rr 12 1 1 2 rr 得相应齐次方程的通解为 1 2 12 ee x x ycc 令特解为 exyA 代入原方程得 2 eee2e xxxx AAA 解得 1A 故 exy 故原方程通解为 2 12 eee x xx ycc 2 2 25521yyxx 解 2 250rr 12 5 0 2 rr 对应齐次方程通解为 5 2 12e x ycc 令 2 yx axbxc 代入原方程得 22 2 62 5 32 521axbaxbxcxx 比较等式两边系数得 137 3525 abc 则 32 137 3525 yxxx 故方程所求通解为 5 32 2 12 137 e 3525 x yccxxx 3 323 e x yyyx 解 2 320rr 12 1 2rr 对应齐次方程通解为 2 12 ee xx ycc 令 e x yx AxB 代入原方程得 22 e3 e xx AxBAx 解得 3 3 2 AB 则 2 3 e3 2 x yxx 故所求通解为 2 2 12 3 eee3 2 xxx yccxx 4 25e sin2 x yyyx 解 2 250rr 1 2 12ri 相应齐次方程的通解为 12 e cos2sin2 x ycxcx 令 e cos2sin2 x yxAxBx 代入原方程并整理得 4 cos24 sin2sin2BxAxx 得 1 0 4 AB 则 1 e cos2 4 x yxx 故所求通解为 12 1 e cos2sin2 e cos2