数值分析(清华大学出版社)

精选文档 供参考 第一章 3 已知 求以下近似值的相对误差 并问它们各有多少位有效数字 e 2 7182818 A x 1 2 2 7 A xe x 2 718 A xe x 3 4 0 027 100 A e xx 0 02718 100 A e xx 解 1 1 2 7182818 2 70 27 10 A xex 1 0 01828 0 050 5 10 A xx 有 2 位有效数字2 7 A x 3 6 8 10 A A xx x 2 2 718 A x 3 0 00028 0 00050 5 10 A xx 有 4 位有效数字2 718 A x 4 1 04 10 A A xx x 3 1 0 027182818 0 0270 27 10 100 A e xx 3 0 0001828 0 00050 5 10 A xx 有 2 位有效数字0 027 A x 3 6 8 10 A A xx x 4 0 02718 A x 5 0 0000028 0 0000050 5 10 A xx 有 4 位有效数字2 718 A x 4 1 04 10 A A xx x 精选文档 供参考 4 正方形的边长大约为 100cm 应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 2 cm 解 由可知 若要求 2 22 AAAAAA lllll AA 1 2 AA l 则 即边长应满足 200 1 1002 1 2 2 A l l l AA AA 200 1 100 l 5 1 1 cos2 1 0 9994 0 0006 只有一位有效数字 1 cos2 2sin 1 2 0 0175 0 6125 3 10 0 3327 44 100917298 6 10125 6 具有几位有效数字则称若 位有效数字具有 xx aaax A nk A x A n k n321 3 2355 10 10a 5 0 0 2106125 0 105 0105 010 位有效数字有 41060919 0 105 0105 0 100005 0100001702 0 100917298 6 100919 6 1060919 0 100919 6 9994 0 1 0349 0 2cos1 2sin 2cos1 3 437 4444 44 22 2 位有效数字有 4092 6 105 0105 0 100005 0 100002702 0 100917298 6 10092 6 10092 6 4 90 2 90 2cos1 437 4444 4 42 6 求解方程 使其根至少有四位有效数字 计算中要求用 2 5610 xx 73827 982 精选文档 供参考 解 利用求根公式求得两个根为 2 4 2 bbac a 28783x 由与 五位有效数字 可知78328 x982 27783 五位有效数字 1 2878355 982x 只有两位有效数字 不符合题意 018 0 982 272878328 2 x 由于两个相近数相减误差很大 所以利用韦达定理可知 2 11 1 0 017863 c a x xx 7 设 用四舍五入的六位数字运算分别计 1 xxxxf xx x xg 1 算和的近似值 并分析哪个结果计算比较准确 原因何在 500 f 500 g 解 用四舍五入法保存 6 位有效数字可得 22 3607500 22 3830501 1500 113607 223830 22500 5001500 500 500 f 1748 113607 223830 22500 5001500 500 500 g 而1747553 11 500 500 gf 因此比较准确 原因是相近数相减有效数字会有所损失 故更加准确 500 g 500 g 8 下列公式要怎样变换才能使数值计算时能避免有效数字的损失 1 1 1 1 1 2 Ndx x N N 2 1 11 x x x x x 3 1 ln 1ln xxx 4 4 sincos 22 xxx 精选文档 供参考 解 1 因为 当 N 充分大时为两个相近数相减 NNdx x N N arctan 1arctan 1 1 1 2 设 则 从而 1arctan N Narctan tan1 N tan N 1 1 1 1 1 tantan1 tantan tan 2 NNNN NN 因此 1 1 arctan 1 1 2 1 2 NN dx x N N 2 当 x 充分大时为两个相近数相减 利用分子有理化得 x x x xx x x x x 11 211 3 当 x 充分大时为两个相近数相减 利用对数的性质得 x xx 1 1lnln 1ln 4 当时为两个相近数相减 利用三角公式性质得 4 xxxx2cossincos 22 10 已知 x 试求中函数的范围和 11 求下列向量的范数和 1 xx 2 x 1 4 3 1 2 T x 2 2 cos sinNkkkx k 解 1 10 4 1 xx30 2 x 2 kk kkxx2cossin 2 1 k x41 2 13 求下列矩阵 A 的范围 以及 1 A 2 AA A 1 2 12 34 A 210 121 012 A 解 1 6 1 1 1 max n i j n i Ax 精选文档 供参考 5 46 1 2 2 T AA A 7 1 max x AAx 5 3723 A max T A A 2 4 1 1 1 max n i j n i Ax 3 4142 1 2 2 22 T AA A 4 1 max x AAx 3 4142 A max 22 T A A 19 确定 a 的取值范围使 为对称正定矩阵 411 12 12 a a A 解 由题可知 A 矩阵为对称矩阵 而 A 成为对称正定矩阵的充要条件是 A 的顺序主子式 3 2 1 0 i i 故02 1 22 04 2 2 2 2 a a a a 则 2 3 2 01224 411 12 12 2 3 a aaa a 则 故联立可以得到 2 3 2a 21 210 12 01 b a A 精选文档 供参考 分别求出所有的 a b 值 使得 1 A 奇异 2 A 严格对角占优 3 A 对称正定 解 1 因为 奇异 所以矩阵 的行列式的值等于零 求得 值应满足 2 根据严格对角占优矩阵的定义可列出不等式 12 1 b a 解得1 1 ba 3 因为矩阵 对称 所以 因为 A 对称正定 所以 A 的所有顺