高数函数与极限教案

授课时间 20 年 9 月 日 使用班级 授课时间 20 年 9 月 日 使用班级 授课章节名称 授课章节名称 第 1 章 函数 极限与连续 第 1 节 函数 二 第 2 节 极限 教学目的 教学目的 1 理解复合函数的定义及复合过程 分段函数的定义及表示方法 极 限的概念 函数左极限与右极限的概念 2 熟练掌握 x 和 0 xx 时 f x 的极限存在的充要条件 3 理解无穷大 无穷小的概念 4 掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质 会用无穷小量的性 质求教学重点 教学重点 1 函数极限与数列极限的概念 求极限的方法 2 无穷大量与无穷小量的概念及性质 教学难点 教学难点 1 函数极限的定义 2 无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用 教学方法 教学方法 讲授 启发式 讲练结合 教学手段 教学手段 传统讲授 作业 作业 层次 1 书 16 页 1 2 1 2 4 6 层次 2 书 16 页 5 7 教案实施效果追记 教案实施效果追记 手书 第第 1 1 章章 函数 极限与连续函数 极限与连续 第第 1 1 节节 函数 二 函数 二 第 第 2 2 节节 极限极限 复习及课题引入复习及课题引入 时间 5 分钟 1 作业题处理 2 复习函数的相关性质以及基本初等函数的相关知识点 讲授新内容讲授新内容 一 函数的概念 二 一 函数的概念 二 时间 15 分钟 1 复合函数 引例 公司员工问题 某公司员工的工资占公司利润的若干比例 而公司的利润又取决于所 销售的商品的数量 因此 该公司员工的工资由所销售商品的数量决定 定义 7 设 ufy 其中 xu 且函数 xu 的值域包含在 函数 ufy 的定义域内 则称 xfy 为由 ufy 与 xu 复合而成的复合函数复合函数 其中u称为中间变量中间变量 例如 可复合成 xuuysin 2 xy 2 sin 注意 并不是任意两个函数都能构成复合函数并不是任意两个函数都能构成复合函数 如 如 和就不能构成复合函数 因为对函数 2 1uy 2 2 xu 而言 必须要求变量 而 所以对任何 2 1uy 11 u22 2 xu 的值 都得不到确定的对应值 xy 利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数 还可 以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数 这对于今后掌握微积分的 运算时很重要的 例 4 将下列复合函数进行分解 1 2 xycosln 3 sin xy 解解 1 是由 复合而成的 xycosln uyln xucos 2 是由 复合而成的 3 sin xy 3 uy xusin 2 初等函数 定义 8 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所 构成并用一个式子表示的函数 称为初等函数初等函数 例如 等都是初等函数 xycosln 1 1 2 x xxx y2cos2 xy 3 分段函数 定义 9 在自变量的不同变化范围中 对应法则用不同式子表示的函数 称为分段函数分段函数 注注 1 分段函数仍旧是一个函数 而不是几个函数 分段函数的定义域是 各段函数定义域的并集 2 分段函数一般不是初等函数 除 x x x y 0 0 x x 例如 符号函数 就是一个分段函数 其定义域为 1 0 1 sgn x 0 0 0 x x x 例 5 设 求及函数的定义域 1 1 2 xy x 31 10 01 x x x 2 2 1 0fff 解 函数的定义域为 12 2 1 2 1 1 2 1 20 0 fff 3 1 二 极限概念 二 极限概念 时间 10 分钟 引例 中国古代哲学家庄周在 庄子 天下篇 中引述惠施的话 一尺之锤 日取一半 万世不竭 析 这句话的意思是指一尺的木棒 第一天取它的一半 即尺 第 2 1 二天再取剩下的一半 即尺 第三天再取第二天剩下的一半 即尺 4 1 8 1 这样一天天地去下去 而木棒是永远也取不完的 尽管木棒永远也取不完 可到了一定的时候 还能看得见吗 看不见 意味着什么 不就是快没了吗 终极的时候 就近乎没有了 它的终极状 态就趋于零 极限概念引出 事实上 假设木棒为一个单位长 用表示第天 n xn 截取之后所剩下的长度 可得 2 1 8 1 4 1 2 1 321 n n xxxx 这样构成一列有次序的数 设想无限增大 记为 321n xxxxn 在这个过程中 无限接近于一个确定的数值 零 这个确定 n n x 的数值在数学上称为上面这列有次序的数 所谓数列 当 321n xxxx 时的极限 n 复习复习 高中知识高中知识 数列的概念 通项概念 数列就是按照一定顺序排列成的一列数 一般记为 321n xxxx 简记为 其中称为数列的通项通项 n x n x 例如 数列 1 2 3 4 5 的通项是 可以记为 数列nxn n 的通项是 可以记为 数列 的通 5 1 4 1 3 1 2 1 1 n xn 1 1 n 2 2 2 2 2 5432 项是 可以记为 n n x2 2 n 数列也可看成自变量为正整数的函数 其定义域是 n xn nfxn 全体正整数 当自变量依次取 1 2 3 一切正整数时 对应的函数值n 就排列成数列 n x 2 极限概念 定义 10 教学方法 板书 对于数列 n x 若当n无限增大时 通项 n x 无限接近于某个确定的常数A 则常数A称为数列 n x 的极限极限 此时也称数列 n x 收敛于A 记为 Axn n lim 或 nAxn 若数列 n x 的极限不存在 则称数列 n x 发散发散 注意 数列极限是个动态概念 是变量无线运动渐进变化的过程 是一个变 量 项数为 无线运动的同时另一个变量 对应的通项 无限接近于某n n x 一个确定常数的过程 这个常数 极限 是这个无线运动变化的最终趋势 根 据函数关系的定义 引出数列是特殊的函数这个概念 例 1 画数轴数形结合思想 1 1 5 6 4 5 3 4 2 3 2 1 n n n n xn 2 3 1 81 1 27 1 9 1 3 1 3 1 nn n x 3 1 1 1 1 1 1 nn n x 解 当时 数列 1 的通项越来越接近于常数 1 而数列 n n n xn 1 2 的通项越来越接近于常数 0 数列 3 的通项在 1 n n x 3 1 n n x1 与 1 之间交替出现而不趋于任何确定的常数 所以 1 1 1 lim n n n 2 0 3 1 lim n n 3 不存在 析 从数轴上标出一些点 来说明数列无限运动变 n n 1lim 化的最终趋势 三 函数的极限三 函数的极限 时间 20 分钟 数列是一种特殊形式的函数 把数列的极限推广可得到函数的极限 根据 自变量的变化过程 分两种情况讨论 1 时函数的极限 教学方法 讲解 7 分钟 x xf 引例 设备折旧问题 某高校为进行以工作过程为导向的课程教学 购置一批数控机床为教学设 备 投资额是 100 万元 每年的折旧费为这批数控机床账面价格 即以前各年 折旧费用提取后余下的价格 那么这批数控机床的账面价格 单位 万元 10 1 第一年为 100 第二年为 100 第三年为 100 第四年为 10 9 2 10 9 100 第年为 100 那么 当无限增大时 该批数控机床 3 10 9 n n 10 9 n 的账面价格如何变化 显然 从它的变化趋势可以看出 随着年数的无限增大时 账面价格无限 接近于 0 引例反映了一个特点 当自变量逐渐增大时 相应的函数值逐渐接近于一 个确定的常数 为此给出下面定义 定义 11 函数 yf x 在 内有定义 若 x 无限增大时 相应 的函数值 f x 无限接近于一个确定的常数 A 则称函数 f x 以 A 为极限 记 为 x lim f x A 或 f x A x 若当x 或x 时 函数无限接近于一个确定的常数 A 记 为 lim x f x A 或 lim x f x A 例如 111 lim0 lim0 lim0 xxx xxx 画出图形解释 不难证明 函数 f x 在x 时的极限与在x x 时的极限 有以下关系 定理 1 lim lim lim xxx f xAf xf xA 例 2 书 16 页 3 讨论 是否存在 根据函数图像观察 lim x x e 2 时函数的极限 13 分钟 0 xx xf 1 邻域概念 设且 则开区间称为点的邻域 记为R 0 x0 00 xx 0 x 即 0 xU 000000 xxxxxxxxxxU 点称为这邻域的中心 称为这邻域的半径 0 x 有时用到的领域需要把领域的中心去掉 点的领域去掉中心后 称为 0 x 0 x 点的去心邻域 记为 即 0 x 0 xU 000000 0 xxxxxxxxU 为了方便 有时把开区间称为的左领域 把开区间 00 xx 0 x 称为的右邻域 00 x x 0 x 2 举例说明 1x 时 函数无限接近于多少 书 13 页图像 观察 当 1x 时 1f xx 无限接近 2 当 1x 时 2 1 1 x g x x 无限接近 2 f x 在 x 1 有定义 g x 在 x 1 处无定义 定义 12 如果当 0 xx 时 函数 f x 无限趋近于一个确定的常数 A 则称 A 为函数 f x 当 0 xx 时的极限 记作 0 lim xx f xA 或 f xA 当 0 xx 时 此时也称 0 lim xx f x 存在 如果当 0 xx 时 函数 f x 不趋近于任何一个确定的 常数 则称 0 lim xx f x 不存在 注意 1 函数 xf 当 x x0时的极限是否存在 与 xf 在点 0 x 处是否有定义 无关 如上例 2 若函数极限存在 则极限值必唯一 唯一性 1 单侧极限 10 分钟 在讨论当 0 xx 时函数 f x 的极限问题中 对 0 xx 的过程 若限制 0 xx 或 0 xx 便出现了单侧极限的概念 定义 13 设 f x 在 0 x 的某左 或右 邻域内有定义 当自变量x 从 0 x 的左 或右 侧无限接近于 0 x 时 函数 f x 的值无限接近于某一确定的常数 A 则称 A 为 0 xx 时函数 f x 的左 或右 极限 记为 0 lim xx f x A 或 0 lim xx f x A 函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限 显然 下面结论成立 定理 2 0 00 lim lim lim xx xxxx f xAf xf xA 例 3设 求 并讨论 2 1 1 1 1 2 1 1 xx f xx xx 11 lim lim xx f xf x 1 lim x f x 解 因为 21limlim 2 11 xxf xx 01limlim 11 xxf xx 又因为 xfxf xx 11 limlim 由定理 2 可知 不存在 画出图像书 14 页图 1 6 1 lim x f x 练习 判断函数 2 2 1 xx xx y 在点 2x 是否存在极限 讲授方法 数形结合 作图板演 四四 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 时间 32 分钟 1 无穷小量的定义 洗涤效果 在用洗衣机清洗衣物时 清洗次数越多 衣物上残留的污渍就越少 当洗 涤次数无限增大时 衣物上的污渍趋于零 在对许多事物进行研究时 常遇到事物数量的变化趋势为零 为此 给出 如下定义 定义 14 在自变量的某一变化过程中 极限为 0 的量称为该变化过程的无 穷小量 简称无穷小 例如 当时 是 0 1 cosx 无穷小 当0 x 23 sinxxx x 时 是无穷小 当时 是无穷小 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 xx 注意 1 无穷小量不是很小的数 它是一个极限的概念 2 数零是唯一可作为无穷小的常数 3 无穷小是个变量 2 无穷小量的性质 性质 1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量 例如 当 x 0 时 是无穷小量 而无穷多个无穷小的代数和未必sinxx 是无穷小 如 1 1 111 lim nnnn n 性质 2 无穷小量与有界量之积是无穷小量 例如 当 x 0 时 是无穷小量 当 时 是无穷小量 sinxxx 1 sin x x 推轮 1 任一常数与无穷小量之积是无穷小量 例如 当 x 0 时 是无穷小量 3sin x 推论 2 有限个无穷小量之积是无穷小量 注 两个无穷小之商未必是无 穷小 3 无穷小与函数极限的关系 定理 3 函数的充分必要条件是 其中 Axf lim Axf0lim 注意 定理 3 中 下面没有标明自变量变化过程的记号 lim 是指自变量 的变化过程可以是 中的任何x 0 xx 0 xx x x x 一种 例如 则 其中 又如 因为 4lim 1 xf x 4xf0lim 1 x 而 所以 2 121 xx x 0 1 lim x x 2 21 x x 2 无穷大量的定义 本利核算 某人又本金 A 元 银行存款年利率为 不考虑个人所得税 那么 此人第r 一年末的本利和为 第二年 本利和为 第年末的本 1 rA 2 1 rA n 利和为 存款时间越长 本利和也无限增长 n rA 1 定义 15 若 或 则称为当 或 lim 0 xf xx limxf x xf 0 xx 时的无穷大量 简称无穷大 例如 所以当 时 为无穷大 因为 所 o