No3内积空间正规矩阵下概述.ppt

高等代数与矩阵分析 重庆邮电大学数理学院鲜思东e mail xiansd 第三章内积空间 正规矩阵与Hermite矩阵 3酉变换 正交变换 4幂等矩阵 正交投影 7Hermite变换 正规变换 2标准正交基 Schmidt方法 1欧式空间 酉空间 8Hermite矩阵 Hermite二次齐式 9正定二次齐式 正定Hermite矩阵 5对称与反对称变换 6Schur引理 正规矩阵 10Hermite矩阵偶在复相合下的标准形 11Rayleigh商 例1设是欧式空间的一个子空间 那么在上的正交投影变换就是一个对称变换 5 对称和反对称矩阵 定义1设是欧式空间上一个线性变换 如果对任意的 都有 证明任取设 称为的一个对称变换 于是有 由正交投影的定义 则 定义2设是欧式空间上的一个线性变换 如果对任意都有 称为的一个反对称变换 定理3欧式空间的对称变换是可对角化的线性变换 定理1设是欧式空间上一个对称变换 如果是的不变子空间 则也是的不变子空间 定理2欧式空间上的线性变换是对称变换的充要条件是在的任意一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵 定理4设是欧式空间上一个反对称变换 如果是的不变子空间 则也是的不变子空间 定理5欧式空间上的线性变换是反对称变换的充要条件是在的任意一个标准正交基下的矩阵是反对称矩阵 在这个标准基下对应的矩阵为 因此既是正交变换 又是对称变换 称其为镜面反射 例2在中 设为过直角坐标系原点的平面的单位法向量 变换是 可以验证 对任意 任意实数有 将扩展为的一个标准基 有 6 Schur引理与正规矩阵 从纯代数角度看 如果去掉乘积为单位矩阵的限制 两矩阵是可交换矩阵 联想到正交矩阵的逆即为其转置 因此如果再限定两矩阵互为转置 即要求成立 情况又如何 两方阵互逆的条件是成立关系式 显然对称矩阵和反对称矩阵都满足要求 正交矩阵当然也满足这个要求 因此具有性质的矩阵就 一统江湖 具有了统一性 我们称之为正规矩阵 对称矩阵最主要的性质是可以对角化 尤其是可以正交对角化 推广到正规矩阵后这个性质是否还能保留呢 为此 我们先给出下面的引理 定义1设 若存在使得 则说酉相似 或正交相似 于 一 Schur引理 100多年前 1909年 给出的Schur引理是矩阵理论中的重要定理 是很多其他重要结论的基础 在矩阵计算中也具有相当重要的地位 并称为方阵的Schur分解 定理1 Schur引理 任何复方阵必酉相似于一个上三角阵 即存在酉矩阵 使 证明 用数学归纳法 的阶数为1时定理显然成立 现设的阶数为时定理成立 考虑的阶数为时的情况 取阶矩阵的一个特征值 对应的单位特征向量为 构造以为第一列的阶酉矩阵 因为构成的一个标准正交基 故 因此 其中是阶矩阵 根据归纳假设 存在阶酉矩阵满足 上三角矩阵 令那么 其中等号成立的充要条件是酉相似于对角矩阵 证明由Schur引理 存在 使得 定理2 Schur不等式 设为的特征值 则 其中 结论成立 故 即 又 试求酉矩阵使得为上三角矩阵 例1 已知矩阵 解 首先求矩阵的特征值 所以为矩阵的三重特征值 当时 有单位特征向量 再解与其内积为零的方程 求得一个单位解向量 再解与内积为零的方程组 又求得一个单位解向量 计算可得 取 再求矩阵的特征值 所以为矩阵的二重特征值 当时 有单位特征向量 令 求得一个单位解向量 再解与其内积为零的方程 取 计算可得 令 则 于是有 矩阵即为所求的酉矩阵 二 正规矩阵 定义2方阵是正规的 当且仅当 引理2满足的三角阵必是对角阵 设 如果同样满足 那么称矩阵为一个实正规矩阵 引理1设为正规矩阵 则与酉相似的矩阵均是正规矩阵 证明 对上三角阵 比较等式 两边乘积矩阵在第行第列位置上的元素 并注意到 因此对 有 当时 有 可知 对施行归纳法 可得 证毕 例2判断下列矩阵是不是正规矩阵 1 实对称矩阵 2 实反对称矩阵 3 正交矩阵 4 酉矩阵 5 Hermite矩阵 6 反Hermite矩阵 7 形如的矩阵 H 阵 反H 阵 正交矩阵 酉矩阵 对角矩阵都是正规矩阵 定理3方阵是正规的 当且仅当与对角矩阵酉相似 并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特征值 证明 必要性 如果是正规矩阵 那么存在酉矩阵及对角阵使得 即 因此 充分性 若有 显然可验证 称之为正规矩阵的结构定理 推论3 正规矩阵属于不同特征值的征向量彼此正交 推论2 阶正规矩阵有个线性无关的特征向量 推论1 设是正规矩阵 是的特征值 对应的特征向量是 则是的特征值 其对应的特征向量是 解 先计算矩阵的特征值 求正交矩阵使得为对角矩阵 例1 设 其特征值为 对于特征值解线性方程组 求得其一个基础解系 现在将单位化并正交化 得到两个标准正交向量 对于特征值解线性方程组 求得其一个基础解系 将其单位化得到一个单位向量 将这三个标准正交向量组成矩阵 则矩阵即为所求正交矩阵且有 例2 设 求酉矩阵使得为对角矩阵 解 先计算矩阵的特征值 对于特征值解线性方程组 其特征值为 求得其一个基础解系 现在将单位化 得到一个单位向量 对于特征值解线性方程组 求得其一个基础解系 将其单位化得到一个单位向量 对于特征值解线性方程组 求得其一个基础解系 将其单位化得到一个单位向量 将这三个标准正交向量组成矩阵 则矩阵即为所求酉矩阵且有 定理4 设是正规矩阵 则 1 是H 阵的充要条件是的特征值为实数 3 是酉矩阵的充要条件是的特征值的模长为1 2 是反H 阵的充要条件是的特征值实部为零 注意 正规矩阵绝不仅此三类 例3 设是一个反H 阵 证明 是酉矩阵 证明 根据酉矩阵的定义 由于是反H 阵 所以这样 于是可得 这说明为酉矩阵 例4 设是一个阶H 阵且存在自然数使得 证明 证明 由于是正规矩阵 所以存在一个酉矩阵使得 于是可得 这样 从而 即 例5设为正规矩阵 且 则 因为是正规矩阵 所以存在酉矩阵 使得 再由 得 因此 即 故 从而 故 定理5设为正规矩阵 则可以同时酉对角化的充要条件是可以同时酉对角化的含义是存在一个阶酉矩阵使得 结论设为Hermite 实对称 矩阵 且则存在酉矩阵使得 课后思考 1 实正规矩阵是否正交相似于实对角矩阵 2 实正规矩阵是否正交相似于复对角矩阵 3 实正规矩阵正交相似于什么样的 简单 矩阵 7 Hermite变换与正规变换 单从变换的角度我们很难把Hermite变换 对称变换 与正规变换联系起来 但从Hermite矩阵 对称矩阵 的定义 或者从Hermite矩阵 对称矩阵 都可对角化上却能找到两者的关联 这似乎可以作为数学的 奇异美 的一个例证 正规变换可以说是对称变换 正交变换等的推广和抽象 即只关心永恒的主题 对角化 的问题 这又一次体现出现代数学高度的抽象和统一 推广到酉空间 相应的矩阵称为Hermite矩阵 满足关系式 既然矩阵与变换一一对应 那么Hermite矩阵以及实对称矩阵与什么样的变换对应呢 我们知道 实对称矩阵满足关系式 设在酉空间的一组标准正交基下的矩阵表示为且 任取 设 则 定义1设是酉空间 或欧氏空间 上的线性变换 称为上的Hermite变换 自伴变换 如果对任意 都有 一 Hermite变换 自伴变换 定理1酉空间 或欧氏空间 上的线性变换是Hermite变换 自伴变换 的充要条件是在的任意一组标准正交基下的矩阵满足 所以 从而 证明 必要性 设在的一组标准正交基下的矩阵表示为 充分性显然 定义2设是酉空间上的线性变换 如果对任意 都有并称为的一个反Hermite变换 定理2酉空间上的Hermite变换的特征值是实数 定理3酉空间上的线性变换是反Hermite变换的充要条件是在的任意一组标准正交基下的矩阵满足 例1 Cayley变换 方阵是实反对称矩阵 那么是非奇异的 并且Cayley变换矩阵 证明 因为 所以对任意的 有 因此 对于 由于 从而方程组只有零解 所以是非奇异的 由于 所以 从而可推出 是正交矩阵 定义3设是酉 欧氏 空间上的线性变换 如果存在上一个线性变换 使得称有一个伴随变换 定理4设是一个酉 欧氏 空间 是上一个标准正交基 是上的线性变换 且在上述基对应的矩阵为 那么的伴随变换在该基下的矩阵表示为 另外 伴随矩阵的一些重要性质 定理5 设是维酉 欧氏 空间 和都是上的线性变换 为一个 实 复数 则 定理6 设是维酉 欧氏 空间 是上的一个线性变换 如果是的不变子空间 那么也是的不变子空间 定义4设是酉 欧氏 空间 是上的线性变换 如果满足 二 正规变换 NormalTransformation 称为是正规变换 定理7 设是维酉 欧氏 空间 是上的一个线性变换 是正交变换的充要条件是在的任意一个标准正交基下的矩阵式正规矩阵 定理8正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是酉相似的 证明 设正规变换在的两组标准正交基和下的矩阵表示分别为 并设 显然过渡矩阵是酉矩阵 请试试自己证明一下 因为 所以 结论成立 根据定理8 正规变换在任一标准正交基下的矩阵表示必定酉相似于对角阵 上一节有 正规矩阵一定酉相似于一个对角矩阵 定理10 酉空间上的一个线性变换是正交变换 当且仅当在中存在一个标准正交基 使得在该基下对应的矩阵为对角矩阵 定理9 设是酉空间的一个正规变换 则存在的一个标准正交基 使得在该基下对应的矩阵为对角矩阵 即酉空间上的正规变换是可以对角化的线性变换 例2 设为一个幂等H 阵 则存在酉矩阵使得 证明 由于为一个H 阵 所以存在酉矩阵使得 又由于为一个幂等H 阵 从而 或 将1放在一起 将0放在一起 那么可找到一个酉矩阵使得 这里为矩阵的秩 8 Hermite矩阵及Hermite二次齐式 Hermite矩阵的基本性质 一 Hermite矩阵及实对称矩阵的性质 引理 设 则 1 都是H 阵 2 是反H 阵 3 如果是H 阵 那么也是H 阵 为任意正整数 4 如果是可逆的H 阵 那么也是可逆的H 阵 5 如果是H 阵 反H 阵 那么是反H 矩阵 H 阵 这里为虚数单位 6 如果都是H 阵 那么也是H 阵 这里均为实数 7 如果都是H 阵 那么也是H 阵的充分必要条件是 定理2 设 则 1 是H 阵的充分必要条件是对于任意的是实数 2 是H 阵的充分必要条件是对于任意的阶方阵为H 阵 定理1 定理3 设 则是H 阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵使得 H 阵的结构定理 其中 此定理经常叙述为 H 阵酉相似于实对角矩阵 推论 实对称阵正交相似于实对角矩阵 定理4设 则是实对称矩阵的充要条件是存在 使得 其中是实数 定理5设是秩为的阶Hermite矩阵 则存在 满足 其中是实数 二 Hermite二次型 实二次齐式 其对应的矩阵 显然是Hermite矩阵 定义1Hermite二次型或复二次型指的是复系数二次齐次复多项式 称是Hermite二次齐式 若做可逆线性变换则 显然 且 定理6对于Hermite二次型存在酉变换 将二次型化为标准型 其中是的特征值 注意 任何一个实二次齐次多项式都可以写成实二次型 但是一个复二次齐次多项式不一定是一个Hermite二次型 定理7 惯性定理 对于Hermite二次齐式 存在可逆的线性变换 将二次型化成规范型 其中是的秩 解 例1 写出下面Hermite二次型的矩阵表达式 并用酉线性替换将其化为标准形 9 正定二次齐式和正定Hermite矩阵 实数域内经常处理的矩阵是对称正定矩阵 关于它有许多优美的结论 将数域推广到复数域 考察相应的结论 这就是本节的主题 定义1设是酉空间 或欧氏空间 上的Hermite变换 或对称变换 称为上的正定变换 非负定变换 如果对任意 都有并称在的任意一组标准正交基下的矩阵表示为正定Hermite矩阵或正定对称矩阵 非负定Hermite矩阵或非负定对称矩阵 定义2Hermite二次型称为正定的 如果对任意 恒有 当且仅当时 其对应的矩阵显然是正定Hermite矩阵 定义3Hermite二次型称为非负定的 如果对任意 恒有 其对应的矩阵显然是非负定Hermite矩阵 引理1若是正线上三角阵 且是酉矩阵 则是单位阵 引理2Hermite二次型的正定性 负定性 半正定性 半负定性 经满秩线性变换下保持不变 定理1对Hermite二次型 下列命题是等价的 1 是正定的 2 的特征值全是正数 3 存在阶可逆矩阵 使得 4 存在阶可逆矩阵 使得 5 存在阶可逆Hermite矩阵 使得 6 存在正线上三角矩阵使得 且此分解是唯一的 证明 可证 以及 定理2 霍尔维茨 Hurwitz 定理 阶Hermite矩阵为正定Hermite矩阵的充要条件是矩阵的各阶顺序主子式皆为正数 即这里 推论阶Hermite矩阵为负定Hermite矩阵的充要条件是 例1 设是一个正定的H 阵 且又是酉矩阵 则 证明 由于是一个正定H 阵 所以必存在酉矩阵使得 由于又是酉矩阵 所以 这样必有 从而 例2 设是一个正定的H 阵 是一个反H 阵 证明 与的特征值实部为零 证明 设为矩阵的任意一个特征值 那么有 由于是一个正定H 阵 所以存在可逆矩阵使得 将其代入上面的特征多项式有 这说明也是矩阵的特征值 另一方面注意矩阵为H 反阵 从而实部为零 同样可以证明另一问 例3 设是一个正定的H 阵 是一个反H 阵 证明 是可逆矩阵 证明 由于是一个正定H 阵 所以存在可逆矩阵使得 另一方面注意矩阵仍然为正定H 阵 而矩阵为H 反阵 由上面的例题结论可知 这表明是可逆的 于是 定理3对阶Hermite矩阵 下列命题是等价的 1 是非负定的 2 的特征值全是非负的 3 存在阶可逆矩阵 使得这里为的秩 4 存在秩为的阶矩阵使得 5 存在阶Hermite矩阵 使得 证明 设为的全部特征值 由于是半正定的 所以 于是有 例4 设是一个半正定的H 阵且证明 定理4 设是正定 半正定 Hermite矩阵 那么存在唯一的正定 半正定 Hermite矩阵使得 且对任何一个与可交换的矩阵必和可以交换 即若 则 定义4给定实二次齐式称为正定的 如果对任意 恒有 当且仅当时 其对应的矩阵显然是正定矩阵 定义5给定实二次齐式称为非负定的 如果对任意 恒有 其对应的矩阵显然是非负定矩阵 定理6对阶实对称矩阵 下列命题是等价的 1 半正定的 2 的特征值全是非负的 3 存在阶可逆矩阵 使得这里为的秩 4 存在秩为的阶矩阵使得 5 对任何阶可逆矩阵 使得半正定的 定理7 设是正定 半正定 实对称矩阵 那么存在唯一的正定 半正定 实对称矩阵使得 且对任何一个与可交换的矩阵必和可以交换 即若 则 例5 设都是阶正定H 阵 则的根全为正实数 证明 因为是正定的 所以存在可逆矩阵使得 另一方面注意到是一个正定H 阵 从而有 例6 Schur补 思考题 阶方阵有如下分块则是正定Hermite矩阵的充要条件是和的Schur补都是正定Hermite矩阵 证明 利用即可 例7 广义特征值问题的同时合同对角化 对于广义特征值问题 如果均为Hermite矩阵 并且还是正定矩阵 那么存在可逆矩阵 使得 这里是原广义特征值问题的特征值 证明 由于是Hermite正定矩阵 所以有 再根据是Hermite矩阵 所以有酉相似 令 则有 因此 最后根据 得 这说明是的特征值 因此也是广义特征值的特征值 定理1设均为阶Hermite 阵 且又是正定的 证明必存在使得 10 Hermite矩阵偶在复合同 复相合 下的标准形 与 同时成立 其中是与无关的实数 证明 由于是正定H 阵 所以存在使得 又由于也是H 阵 那么存在使得 其中是H 阵的个实特征值 如果记 则有 下面证明个实特征值与无关 令 那么是特征方程 的特征根 又由于 因此是方程的根 它完全是由决定的与