拉普拉斯变换表

附录附录 A 拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 1 表 A 1 拉氏变换的基本性质 齐次性 saFtafL 1 线性定理 叠加性 2121 sFsFtftfL 一般形式 1 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 k k k k n k knn n n dt tfd tf fssFs dt tfd L fsfsFs dt tfd L fssF dt tdf L M 2 微分定理 初始条件为 0 时 sFs dt tfd L n n n 一般形式 n k t n n knn n n tt t dttf ss sF dttfL s dttf s dttf s sF dttfL s dttf s sF dttfL 1 0 1 0 2 2 0 2 2 0 1 个共个共 LL M 3 积分定理 初始条件为 0 时 n n n s sF dttfL 个共 L 4 延迟定理 或称 域平移定理 t 1 sFeTtTtfL Ts 5 衰减定理 或称域平移定理 s asFetfL at 6 终值定理 lim lim 0 ssFtf st 7 初值定理 lim lim 0 ssFtf st 419 8 卷积定理 21 0 21 0 21 sFsFdtftfLdftfL tt 2 表 A 2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序 号 拉氏变换 E s 时间函数 e t Z 变换 E z 1 1 t 1 2 Ts e 1 1 0 n T nTtt 1 z z 3 s 1 1 t 1 z z 4 2 1 s t 2 1 z Tz 5 3 1 s 2 2 t 3 2 1 2 1 z zzT 6 1 1 n s n t n 1 lim 0 aTn nn a ez z an 7 as 1 at e aT ez z 8 2 1 as at te 2 aT aT ez Tze 9 ass a at e 1 1 1 aT aT ezz ze 10 bsas ab btat ee bTaT ez z ez z 11 22 s t sin 1cos2 sin 2 Tzz Tz 12 22 s s t cos 1cos2 cos 2 Tzz Tzz 13 22 as te at sin aTaT aT eTzez Tze 22 cos2 sin 14 22 as as te at cos aTaT aT eTzez Tzez 22 2 cos2 cos 420 15 aTsln 1 1 Tt a az z 3 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开 然后逐项查表进行 反变换 设是的有理真分式 sFs 01 1 1 01 1 1 asasasa bsbsbsb sA sB sF n n n n m m m m L L mn 式中系数 都是实常数 是正整数 按代数定理可 将展开为部分分式 分以下两种情况讨论 nn aaaa 110 mm bbbb 110 Lnm sF 无重根 0 sA 这时 F s 可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式 n i i i n n i i ss c ss c ss c ss c ss c sF 1 2 2 1 1 LL F 1 式中 是特征方程 A s 0 的根 为待定常数 称为 F s 在处的留数 可 按下式计算 n sss 21 L i c i s F 2 limsFssc i ss i i 或 i ss i sA sB c F 3 式中 为对 s A sAs的一阶导数 根据拉氏变换的性质 从式 F 1 可求得原函数 n i i i ss c LsFLtf 1 11 F 4 ts n i i i ec 1 有重根 0 sA 设有 r 重根 F s 可写为 0 sA 1 s 11nr r ssssss sB sF L 421 n n i i r r r r r r ss c ss c ss c ss c ss c ss c LLL 1 1 1 1 1 1 1 1 式中 为 F s 的 r 重根 为 F s 的 n r 个单根 1 s 1 r s n s 其中 仍按式 F 2 或 F 3 计算 则按下式计算 1 r c n c r c 1 r c 1 c lim 1 1 sFssc r ss r lim 11 1 sFss ds d c r ss r M lim 1 1 1 sFss ds d j c r j j ss jr F 5 M lim 1 1 1 1 1 1 1 sFss ds d r c r r r ss 原函数为 tf 1 sFLtf n n i i r r r r r r ss c ss c ss c ss c ss c ss c LLLL 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ts n ri i tsrrrr i ecectct r c t r c 1 12 211 1 2 1 L F 6 422 4 2 10 性质表及常用变换表 为了便于查阅和应用 最后 将单边拉普拉斯变换的性质和常用单边拉普拉 斯变换分别列于表 4 1 和 4 2 表中 表 4 1 单边拉普拉斯变换的性质 表 4 1 单边拉普拉斯变换的性质 序号 性 质 名称 信 号 拉普拉斯变换 0 定义 t 0 0 1 线性 max 1 2 2 尺 度 变换 f at a 0 F a 0 3 时移 f t t0 t t0 t0 0 e st0F s 0 4 复 频 移 F s sa a 0 f 1 t sF s f 0 0 5 时 域 微分 f n t snF s 0 时 域 积分 6 max 1 0 423 f 1 t f n t 7 时 域 卷积 f1 t f2 t f1 t f2 t 为因果信号 F1 s F2 s max 1 2 时 域 相乘 8 f t f 12 t 1 2 1 c 0 10 s 域 积分 0 初 值 定理 11 f 0 终 值 定理 12 f s 0 在收敛域内 表 4 2 常用单边拉普拉斯变