双缝干涉条纹间距公式的推导——两种方法

双缝干涉条纹间距公式的推导双缝干涉条纹间距公式的推导 双缝干涉条纹间距公式的推导双缝干涉条纹间距公式的推导 O 2 d 2 d x y 如图建立直角坐标系 其如图建立直角坐标系 其 x 轴上横坐标为轴上横坐标为的点与的点与的点为两波源 这两个波源的振动情况完全相同 则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离的点为两波源 这两个波源的振动情况完全相同 则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离 2 d 2 d 差为波长整数倍差为波长整数倍 零除外 的双曲线簇 其中 零除外 的双曲线簇 其中 为所有双曲线的公共焦点 这个双曲线簇的方程为 为所有双曲线的公共焦点 这个双曲线簇的方程为 n 0 2 d 0 2 d 1 222 22 2 2 2 nd y n x O 2 d 2 d x y 用直线用直线去截这簇双曲线 直线与双曲线的交点为加强的点 将去截这簇双曲线 直线与双曲线的交点为加强的点 将代入双曲线簇的方程 有 代入双曲线簇的方程 有 ly ly 1 222 22 2 2 2 nd l n x 解得 解得 222 2 4 nd l nx 上式中 上式中 d 的数量级为的数量级为 为为 故 故 x 的表达式简化为 的表达式简化为 m 4 10 m 7 10 2222 dnd 2 2 4 d l nx 其中其中 的数量级为的数量级为 d 的数量级为的数量级为 故 故 x 的表达式简化为 的表达式简化为 lm 0 10m 4 10 4 2 2 10 d l d ln d l nx 2 2 可见 交点横坐标成一等差数列 公差为可见 交点横坐标成一等差数列 公差为 这说明 这说明 d l 1 条纹是等间距的 条纹是等间距的 2 相邻两条纹的间距为 相邻两条纹的间距为 d l 至此 证明了条纹间距公式 至此 证明了条纹间距公式 d l x 杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的 杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的 海军航空工程学院海军航空工程学院 李磊李磊 梁吉峰梁吉峰 选自选自 物理教师物理教师 2008 年第年第 11 期期 在杨氏双缝干涉实验中 在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹 或者暗纹 中心间距为 x L d 其中 L 为双缝与屏的间距 d 为双缝间距 对单色光 而言 其波长 为定值 所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹 但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此 如 图 1 我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的 但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同 问题到底出在哪里呢 首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释 如图 2 设定双缝 S1 S2的间距为 d 双缝所在平面与光屏 P 平行 双缝与屏之间的垂直距离为 L 我们在屏上任取一点 P1 设定点 P1与双缝 S1 S2的距离分别为 r1和 r2 O 为双缝 S1 S2的中点 双缝 S1 S2的连线的中垂线与屏的交点为 P0 设 P1与 P0的距离为 x 为了获得明显的干涉条纹 在通常情况下 L d 在这种情况下由 双缝 S1 S2发出的光到达屏上 P1点的光程差 r 为 S2M r2 r1 dsin 1 其中 也是 OP0与 OP1所成的角 因为 d L 很小 所以 sin tan 2 x L 因此 r dsin d x L 当 r d k 时 屏上表现为明条纹 其中 k 0 1 2 3 x L 当 r d k 时 屏上表现为暗条纹 其中是 k 0 1 2 3 x L 1 2 我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置 当 x k 时 屏上表现为明条纹 其中 k 0 1 2 4 L d 当 x k 时 屏上表现为暗条纹 其中 k 0 1 2 4 1 2 L d 我们还可以算出相邻明条纹 或者暗条纹 中心问的距离为 x xk 1 xk 5 L d 至此我们得出结论 杨氏双缝干涉条纹是等间距的 问题就在于以上的推导过程中 我们用过两次近似 第 1 次是在运用公式 r r2 r1 dsin 的时候 此式近似成立的条件是 S1P1S2很小 因此有 S1M S2P1 S1M OP1 因此 P0OP1 S2S1M 如果要保证 S1P1S2很小 只要满足 d L 即可 因此 r dsin 是满足的 第 2 次近似是因为 d L 很小 所以 sin tan 下面我们通过表 1 来比较 sin 与 tan 的数值 表 1 1 2 3 4 5 6 7 sin 0 0174520 0348990 0523590 0697560 0871550 1045280 121869 tan 0 0174550 0349200 0524070 0699260 0874880 1051040 122784 8 9 10 11 sin 0 1391730 1564340 1736480 190808 tan 0 1405400 1583840 1763260 194380 从表 1 中我们可以看出当 6 时 0 6 因此当 6 时 相对误差就超过了 0 6 因此我们通常说 sin tan 成立的条件是 5 当 5 时 tan sin sin sin tan 就不再成立 而在杨氏双缝干涉实验中 很小所对应的条件应该是 x L 这应该对应于光屏上靠近 P0的点 在此种情况下上述的推导过程是成立的 干 涉条纹是等间距的 而当 x 较大时 也就是光屏上离 P0较远的点所对应的 角也较大 当 5 时 sin tan 就不再成立 上述推导过程也就不完全成立了 2 式就不能再用了 此时 sin 22 xL x 所以 r dsin k 屏上表现为明条纹 其中 k 0 1 2 22 xL dx r dsin k 屏上表现为暗条纹 其中 k 0 1 2 22 xL dx 1 2 因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为 x 屏上表现为明条纹 其中 k 0 1 2 222 kd Lk x 屏上表现为暗条纹 其中 k 0 1 2 222 2 1 2 1 kd kL 则相邻的明条纹中心问距为 x明 xk 1 明一 xk 明 222 1 1 kd kL 222 kd Lk 邻暗条纹中心间距为 x暗 xk 1 暗一 xk 暗 222 2 1 1 2 1 1 kd kL 222 2 1 2 1 kd kL 由上式可见相邻的明 暗条纹就不再是等间距的了 这也正如教科书上的照片所示的条纹分布 下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数 例 1 用氦氖激光器 频率为 4 74 10