课 题：不等式小结与复习（1）

1 / 6课 题：不等式小结与复习（1）课题：不等式小结与复习（1） 教学目的： 1理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法； 2掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值；3掌握含绝对值的不等式的性质； 4会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质 授课类型：复习课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1基本不等式、极值定理； 2简述不等式证明的几种常用方法:比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造 二、讲解范例： 例 1 求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？解一：， 解二：当即时， 2 / 6答：以上两种解法均有错误 解一错在取不到“=” ，即不存在使得； 解二错在不是定值（常数） 正确的解法是： 当且仅当即时 例 2 若，求的最值 解： 从而 即 例 3 设且，求的最大值 解： 又， 即 例 4 已知且，求的最小值 解： 当且仅当即时 例 5 将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形） ，作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪3 / 6去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？ 解：设剪去的小正方形的边长为则其容积为 当且仅当即时取“=” 即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为 例 6 已知 01，试比较的大小 解一： 01, 解二： 01, 解三：01-x2, 左-右= 01 例 7 已知 x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xyac+bd 证一：（分析法）a,b,c,d,x,y 都是正数 要证：xyac+bd 4 / 6只需证：(xy)2(ac+bd)2 即(a2+b2)(c2+d2)a2c2+b2d2+2abcd 展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd 即 a2d2+b2c22abcd 由基本不等式，显然成立,xyac+bd 证二：（综合法）xy= 证三：（三角代换法）x2=a2+b2，不妨设a=xsina,b=xcosa y2=c2+d2不妨设 c=ysinb,d=ycosb ac+bd=xysinasinb+xycosacosb=xycos(a-b)xy 例 8 已知 x1,x2 均为正数，求证： 证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证： 即 再平方 A B c D P 5 / 6m 化简整理得（显然成立）原式成立 证二：（反证法）假设 化简可得（不可能）原式成立 证三：（构造法）构造矩形 ABcD，使AB=cD=1,BP=x1,Pc=x2 当DPc 时，AP+PD 为最短取 Bc 中点 m，有Dmc,Bm=mc=,AP+PDAm+mD 即 三、课堂练习：1求下列函数的最值： 1(min=6) 2() 21时求的最小值，的最小值 2设，求的最大值(5) 3若,求的最大值 4若且，求的最小值 3若，求证：的最小值为 3 4制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱