高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理学案（有答案）

1 / 16高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理学案（有答案）本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第五章解三角形与平面向量学案 23正弦定理和余弦定理导学目标：1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题自主梳理1三角形的有关性质(1)在ABc 中，ABc_；(2)ab_c，abc；(3)aA_B；(4)三角形面积公式：SABc12ah12absinc12acsinB_；(5)在三角形中有：sin2Asin2BAB 或_三角形为等腰或直角三角形；sin(AB)sinc，sinAB2cosc2.2正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容_2 / 162Ra2_，b2_，c2_.变形形式a_，b_，c_；sinA_，sinB_，sinc_；abc_；abcsinAsinBsincasinAcosA_；cosB_；cosc_.解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.自我检测1(XX上海)若ABc 的三个内角满足3 / 16sinAsinBsinc51113，则ABc()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形c一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2(XX天津)在ABc 中，内角 A，B，c 的对边分别是 a，b，c，若 a2b23bc，sinc23sinB，则 A 等于()A30B60c120D1503(XX烟台模拟)在ABc 中，A60，b1，ABc 的面积为 3，则边 a 的值为()A34(XX山东)在ABc 中，角 A，B，c 所对的边分别为 a，b，c.若 a2，b2，sinBcosB2，则角 A 的大小为_5(XX北京)在ABc 中，若b1，c3，c23，则 a_.探究点一正弦定理的应用例 1(1)在ABc 中，a3，b2，B45，求角A、c 和边 c；4 / 16(2)在ABc 中，a8，B60，c75，求边 b 和 c.变式迁移 1(1)在ABc 中，若 tanA13，c150，Bc1，则 AB_；(2)在ABc 中，若 a50，b256，A45，则B_.探究点二余弦定理的应用例 2(XX咸宁月考)已知 a、b、c 分别是ABc中角 A、B、c 的对边，且 a2c2b2ac.(1)求角 B 的大小；(2)若 c3a，求 tanA 的值变式迁移 2在ABc 中，a、b、c 分别为 A、B、c 的对边，B23，b13，ac4，求 a.探究点三正、余弦定理的综合应用例 3在ABc 中，a、b、c 分别表示三个内角 A、B、c的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状5 / 16变式迁移 3(XX天津)在ABc 中，AcABcosBcosc.(1)证明：Bc；(2)若 cosA13，求 sin4B3 的值1解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用2在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍3在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法 “化繁为简” “化异为同”是解此类问题的突破口(满分：75 分)6 / 16一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(XX湖北)在ABc 中，a15，b10，A60，则 cosB 等于()A2.在ABc 中 AB3，Ac=2，Bc=，则 ABAc等于()A32B3在ABc 中，sin2A2cb2c(a，b，c 分别为角A，B，c 的对边)，则ABc 的形状为()A正三角形 B直角三角形c等腰直角三角形 D等腰三角形4(XX聊城模拟)在ABc 中，若 A60，Bc43，Ac42，则角 B 的大小为()A30B45c135D45或 1355(XX湖南)在ABc 中，角 A，B，c 所对的边长分别为 a，b，c，若 c120，c2a，则()AabcabDa 与 b 的大小关系不能确定题号 12345答案二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)7 / 166在ABc 中，B60，b2ac，则ABc 的形状为_7(XX广东)已知 a，b，c 分别是ABc 的三个内角 A，B，c 所对的边，若 a1，b3，Ac2B，则sinc_.8(XX龙岩模拟)在锐角ABc 中，ADBc，垂足为 D，且 BDDcAD236，则BAc 的大小为_三、解答题(共 38 分)9.在ABc 中，角 A，B，c 所对的边分别为 a，b，c，且满足，ABAc=3.(1)求ABc 的面积；(2)若 bc6，求 a 的值10(12 分)(XX陕西)在ABc 中，已知 B45，D 是 Bc 边上的一点，AD10，Ac14，Dc6，求 AB 的长11(14 分)(XX重庆)设ABc 的内角 A、B、c 的对边长分别为 a、b、c，且 3b23c23a242bc.8 / 16(1)求 sinA 的值；(2)求 2sinA4sinBc41cos2A 的值答案自主梳理1(1)(2)(4)12bcsinA(5)AB2bsinBcsincb2c22bccosAa2c22accosBa2b22abcosc2RsinA2RsinB2Rsinca2Rb2Rc2RsinAsinBsincb2c2a22bca2c2b22aca2b2c22ab自我检测1c4.6课堂活动区例 1解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况具体判断方法如下：在ABc 中已知 a、b 和 A，求 B.若 A为锐角，当 ab 时，有一解；当 absinA 时，有一解；当 bsinAbsinA时，无解若 A 为直角或钝角，当 ab 时，有一解；当 ab 时，无解9 / 16解(1)由正弦定理 asinAbsinB 得，sinA32.aB，A60或 A120.当 A60时，c180456075，cbsincsinB622；当 A120时，c1804512015，cbsincsinB622.综上，A60，c75，c622，或 A120，c15，c622.(2)B60，c75，A45.由正弦定理 asinAbsinBcsinc，得basincsinA434.b46，c434.变式迁移 1(1)102(2)60或 120解析(1)在ABc 中，tanA13，c150，A 为锐角，sinA110.又Bc1.根据正弦定理得 ABBcsincsinA102.(2)由 bA，由 asinAbsinB，得 sinBbsinAa256502232，0180B60或 B120.10 / 16例 2解(1)a2c2b2ac，cosBa2c2b22ac12.0，B3.(2)方法一将 c3a 代入 a2c2b2ac，得 b7a.由余弦定理，得 cosAb2c2a22bc5714.0，sinA1cos2A2114，tanAsinAcosA35.方法二将 c3a 代入 a2c2b2ac，得 b7a.由正弦定理，得 sinB7sinA.由(1)知，B3，sinA2114.又 b7aA，cosA1sin2A5714.tanAsinAcosA35.方法三c3a，由正弦定理，得 sinc3sinA.B3，c(AB)23A，sin(23A)3sinA，sin23cosAcos23sinA3sinA，32cosA12sinA3sinA，5sinA3cosA，tanAsinAcosA35.11 / 16变式迁移 2解由余弦定理得，b2a2c22accosBa2c22accos23a2c2ac(ac)2ac.又ac4，b13，ac3，联立 ac4ac3，解得 a1，c3，或 a3，c1.a 等于 1 或 3.例 3解题导引利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系解方法一(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cosAsinB2b2cosBsinA，由正弦定理，得sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA，sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0，sin2Asin2B，由02，得 2A2B 或 2A2B，即ABc 是等腰三角形或直角三角形方法二同方法一可得 2a2cosAsinB2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得a2bb2c2a22bcb2aa2c2b22ac，12 / 16a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0，ab 或 c2a2b2，三角形为等腰三角形或直角三角形变式迁移 3解题导引在正弦定理asinAbsinBcsinc2R 中，2R 是指什么？a2RsinA，b2RsinB，c2Rsinc 的作用是什么？(1)证明在ABc 中，由正弦定理及已知得sinBsinccosBcosc.于是 sinBcosccosBsinc0，即 sin(Bc)0.因为，从而 Bc0.所以 Bc.(2)解由 ABc 和(1)得 A2B，故 cos2Bcos(2B)cosA13.又 0，于是 sin2B1cos22B223.从而 sin4B2sin2Bcos2B429，cos4Bcos22Bsin22B79.所以 sin4B3sin4Bcos3cos4Bsin3427318.课后练习区13 / 161D6等边三角形解析b2a2c22accosB，aca2c2ac，(ac)20，ac，又 B60，ABc 为等边三角形71解析由 Ac2B 及 ABc180知，B60.由正弦定理知，1sinA3sin60，即 sinA12.由 aB，A30，c180AB180306090，sincsin901.8.4解析设BAD，DAc，则 tan13，tan12，tanBActan()tantan1tantan1312113121.BAc 为锐角，BAc 的大小为 4.9解(1)因为 cosA2255，14 / 16所以cosA2cos2A2135，sinA45.(4 分)又由 ABAc3 得 bccosA3，所以 bc5，因此 SABc12bcsinA2.(8 分)(2)由(1)知，bc5，又 bc6，由余弦定理，得 a2b2c22bccosA(bc)2165bc20，所以 a25.(12 分)10解在ADc 中，AD10，Ac14，Dc6，由余弦定理得，cosADcAD2Dc2Ac22ADDc10036196210612，(6 分)ADc120，ADB60.(8 分)在ABD 中，AD10，B45，ADB60，15 / 16由正弦定理得 ABsinADBADsinB，ABADsinADBsin