高考数学（理科）一轮复习函数与方程学案有答案

1 / 18高考数学（理科）一轮复习函数与方程学案有答案本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 学案 11函数与方程导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值自主梳理1函数零点的定义(1)对于函数 yf(x)(xD)，把使_成立的实数x 叫做函数 yf(x)(xD)的零点(2)方程 f(x)0 有实根函数 yf(x)的图象与_有交点函数 yf(x)有_2函数零点的判定如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数 yf(x)在区间_内有零点，即存在 c(a，b)，使得_，这个_也就是 f(x)0 的根我们不妨把这一结论称为零点存在性定理3二次函数 yax2bxc(a0)的图象与零点的关2 / 18系0二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的交点_，_无交点零点个数_4.用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证_，给定精确度 ；第二步，求区间(a，b)的中点 c；第三步，计算_：若_，则 c 就是函数的零点；若_，则令 bc此时零点 x0(a，c)；若_，则令 ac此时零点 x0(c，b)；第四步，判断是否达到精确度 ：即若|ab|，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复第二、三、四步自我检测1(XX福建)f(x)x22x3，x02lnxx0 的零点个数为()3 / 18A0B1c2D32若函数 yf(x)在 R 上递增，则函数 yf(x)的零点()A至少有一个 B至多有一个c有且只有一个 D可能有无数个3如图所示的函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()ABcD4设 f(x)3x3x8，用二分法求方程 3x3x80在 x(1,2)内近似解的过程中得 f(1)0，f()0，则方程的根所在的区间是()A(1,)B(,)c(,2)D不能确定5(XX福州模拟)若函数 f(x)的零点与 g(x)4x2x2 的零点之差的绝对值不超过，则 f(x)可以是()Af(x)4x1Bf(x)(x1)2cf(x)ex1Df(x)ln(x)探究点一函数零点的判断例 1判断函数 ylnx2x6 的零点个数4 / 18变式迁移 1(XX烟台模拟)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0,1时，f(x)x，则函数 yf(x)log3|x|的零点个数是()A多于 4 个 B4 个c3 个 D2 个探究点二用二分法求方程的近似解例 2求方程 2x33x30 的一个近似解(精确度)变式迁移 2(XX淮北模拟)用二分法研究函数 f(x)x3lnx12 的零点时，第一次经计算 f(0)0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为()，12B(0,1)f12，1，12探究点三利用函数的零点确定参数例 3已知 a 是实数，函数 f(x)2ax22x3a，如果函数 yf(x)在区间1,1上有零点，求 a 的取值范围变式迁移 3若函数 f(x)4xa2xa1 在(，)上存在零点，求实数 a 的取值范围5 / 181全面认识深刻理解函数零点：(1)从“数”的角度看：即是使 f(x)0 的实数 x；(2)从“形”的角度看：即是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标；(3)若函数 f(x)的图象在 xx0 处与 x 轴相切，则零点x0 通常称为不变号零点；(4)若函数 f(x)的图象在 xx0 处与 x 轴相交，则零点x0 通常称为变号零点2求函数 yf(x)的零点的方法：(1)(代数法)求方程 f(x)0 的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件 f(a)0 表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点3有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能6 / 18不变(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(XX天津)函数 f(x)2x3x 的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)c(0,1)D(1,2)2(XX福州质检)已知函数 f(x)log2x13x，若实数 x0 是方程 f(x)0 的解，且 0x0，则f(x1)的值()A恒为负 B等于零c恒为正 D不小于零3下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()4函数 f(x)(x2)(x5)1 有两个零点 x1、x2，且x1x2，则()Ax15Bx15cx157 / 18D255(XX厦门月考)设函数 f(x)4x4，x1x24x3，x1，g(x)log2x，则函数h(x)f(x)g(x)的零点个数是()A4B3c2D1题号 12345答案二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6定义在 R 上的奇函数 f(x)满足：当 x0 时，f(x)XXxlogXXx，则在 R 上，函数 f(x)零点的个数为_7(XX深圳模拟)已知函数 f(x)x2x，g(x)xlnx，h(x)xx1 的零点分别为 x1，x2，x3，则x1，x2，x3 的大小关系是_8(XX0，且a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是_三、解答题(共 38 分)9(12 分)已知函数 f(x)x3x2x214.证明：存在 x0(0，12)，使 f(x0)x0.10(12 分)已知二次函数 f(x)4x22(p2)x2p2p1 在区间1,1内至少存在一个实数 c，使8 / 18f(c)0，求实数 p 的取值范围11(14 分)(XX杭州调研)设函数 f(x)ax2bxc，且 f(1)a2，3a2b，求证：(1)a34；(2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设 x1，x2 是函数 f(x)的两个零点，则2|x1x2|574.答案自主梳理1(1)f(x)0(2)x 轴零点(a)0(a，b)f(c)0c3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)两个一个无(a)0f(c)f(c)0f(a)0自我检测1c当 x0 时，令 x22x30，解得 x3；当 x0 时，令2lnx0，解得 xe2，所以已知函数有两个零点2B课堂活动区9 / 18例 1解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数yf(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧解方法一设 f(x)lnx2x6，ylnx 和 y2x6 均为增函数，f(x)也是增函数又f(1)02640，f(x)在(1,3)上存在零点又 f(x)为增函数，函数在(1,3)上存在唯一零点方法二在同一坐标系画出 ylnx 与 y62x 的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数 ylnx2x6 只有一个零点变式迁移 1B由题意知 f(x)是偶函数并且周期为 2.由 f(x)log3|x|0，得 f(x)log3|x|，令 yf(x)，ylog3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数 y 轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x0，xR 的范围内共 4 个10 / 18例 2解题导引用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间a，b长度尽可能小，且满足 f(a)0；求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度 ，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，直到|ab| 时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一解设 f(x)2x33x3.经计算，f(0)30，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程 2x33x30 在(0,1)内有解取(0,1)的中点，经计算 f()0，又 f(1)0，所以方程 2x33x30 在(,1)内有解，如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.(a，b)(a，b)的中点 fab211 / 18(0,1)()0(,1)()0(,)()0(,)()0(,)|至此，可以看出方程的根落在区间长度小于的区间(,)内，可以将区间端点作为函数 f(x)零点的近似值因此是方程2x33x30 精确度的一个近似解变式迁移 2D由于 f(0)0，而 f(x)x3lnx12 中的 x3 及 lnx12 在12，上是增函数，故 f(x)在12，上也是增函数，故 f(x)在 0，12 上存在零点，所以 x00，12，第二次计算应计算 0 和 12 在数轴上对应的中点x1012214.例 3解若 a0，f(x)2x3，显然在1，1上没有零点，所以 a0.令 48a(3a)8a224a40，解得 a372.当 a372 时，f(x)0 的重根 x3721,1，当 a372 时，f(x)0 的重根x3721,1，12 / 18yf(x)恰有一个零点在1,1上；当 f(1)0，即 15 时，yf(x)在1,1上也恰有一个零点当 yf(x)在1,1上有两个零点时，则a10，或a10，解得 a5 或 a372.综上所述实数 a 的取值范围是 a1 或 a372.变式迁移 3解方法一(换元)设 2xt，则函数 f(x)4xa2xa1 化为g(t)t2ata1(t(0，)函数 f(x)4xa2xa1 在(，)上存在零点，等价于方程 t2ata10，有正实数根(1)当方程有两个正实根时，a 应满足a240t1t2a10，解得：1a222；13 / 18(2)当方程有一正根一负根时，只需t10，即 a1；(3)当方程有一根为 0 时，a1，此时方程的另一根为 1.综上可知 a222.方法二令 g(t)t2ata1(t(0，)(1)当函数 g(t)在(0，)上存在两个零点时，实数 a 应满足a2400，解得1a222；(2)当函数 g(t)在(0，)上存在一个零点，另一个零点在(，0)时，实数 a 应满足 g(0)a10，解得 a1；(3)当函数 g(t)的一个零点是 0 时，g(0)a10，a1，此时可以求得函数 g(t)的另一个零点是 1.综上(1)(2)(3)知 a222.课后练习区1B因为 f(1)1230，所以 f(x)在区间(1,0)上存在零点14 / 182A3c能用二分法求零点的函数必须在给定区间a，b上连续不断，并且有 f(a)、B 中不存在f(x)0，D 中函数不连续4c5B当 x1 时，函数 f(x)4x4 与 g(x)log2x的图象有两个交点，可得 h(x)有两个零点，当 x1 时，函数 f(x)x24x3 与 g(x)log2x 的图象有 1 个交点，可得函数 h(x)有 1 个零点，函数 h(x)共有 3 个零点63解析函数 f(x)为 R 上的奇函数，因此 f(0)0，当x0 时，f(x)XXxlogXXx 在区间(0，1XX)内存在一个零点，又 f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而函数在 R 上的零点的个数为 3.7x1x3解析令 x2x0，即 2xx，设 y2x，yx；令 xlnx0，即 lnxx，设 ylnx，yx.在同一坐标系内画出 y2x，ylnx，yx，如图：x11，令 xx10，则(x)2x10，x152，15 / 18即 x3352x3.8a1解析设函数 yax(a0，且 a1)和函数 yxa，则函数 f(x)axxa(a0，且 a1)有两个零点，就是函数 yax(a0，且 a1)与函数 yxa 有两个交点，由图象可知当 01 时两函数只有一个交点，不符合；当 a1)的图象过点(0,1)，而直线 yxa 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数 a 的取值范围是 a1.9证明令 g(x)f(x)x.(2 分)g(0)14，g(12)f(12)1218，g(0)0.(8 分)又函数 g(x)在(0，12)上连续，(10 分)所以存在 x0(0，12)，使 g(x0)0.即 f(x0)x0.16 / 18(12 分)10解二次函数 f(x)在区间1,1内至少存在一个实数 c，使 f(c)0 的否定是：对于区间1,1内的任意一个x 都有 f(x)0.(4 分)此时f0，即2p23p902p2p10，解得：p32 或p3.(10 分)二次函数 f(x)在区间1,1内至少存在一个实数 c，使 f(c)0 的实数 p 的取值范围是332.(12 分)11证明(1)f(1)abca2，3a2b2c0.又