初中数学——找规律

第一讲第一讲 找规律找规律 知识梳理知识梳理 所谓规律探索题指的是给出一组具有某种特定关系的数 式 图形或是给出与图形有 关的操作 变化过程 要求通过观察 分析 推理 探求其中所蕴含的规律 进而归纳或 猜想出一般性的结论 常见类型有 1 数字猜想型 2 数式规律型 3 图像变化猜想型 4 数形结合 猜想型 5 坐标变化型 解题策略 综合运用比较 猜想 概括 推理等方法 关键是仔细审题 归纳规律 合理推测 认真验证 从而得出问题的结论 知识点知识点 1 循环规律循环规律 一列数每隔 T 项就开始循环 或一列图形 符号 每隔 T 个就开始 循环 T 叫做循环周期 如果一列数或图形的循环周期为 T 则其第 kT 1 k 1 2 3 项与 第 1 项相同 则其第 kT 2 k 1 2 3 项与第 2 项相同 则其第 kT 3 k 1 2 3 项与第 3 项 相同 以此类推 正整数的 n 次幂的循环规律 对于任意一个正整数 a an n 1 2 3 的个位数字必循环 例如 2n n 1 2 3 的个位 数字循环规律为 2 4 8 6 2 4 8 6 循环周期为 4 知识点知识点 2 不循环的规律不循环的规律 等差数列等差数列 对于一列数 a1 a2 a3 如果始终有后面一项减去前面一项是一个固定常数 那 么这列数就叫等差数列 此时后一项与前一项的差值称为公差公差 通常记为 d 对于等差数列 其第 n 项为 an a1 n 1 d 前 n 项的和为 特别地 2 1n n aan S 奇数列奇数列 1 3 5 7 9 是等差数列 公差为 2 第 n 项为 2n 1 前 n 项和为 n2 偶数列偶数列 2 4 6 8 10 是等差数列 公差为 2 第 n 项为 2n 前 n 项和为 n2 n 等比数列等比数列 对于一列数 a1 a2 a3 如果始终有后面一项与前面一项的比值是一个固定常 数 那么这列数就叫等比数列 此时后一项与前一项的比值称为公比公比 通常记为 q 对于等比 数列 其第 n 项为 an a1qn 1 特别地 数列数列 1 1 1 1 1 是等比数列 公比为 1 第 n 项为 1 n 数列数列 1 1 1 1 是等比数列 公比为 1 第 n 项为 1 n 1 数列数列 1 0 1 0 1 第 n 项为 2 1 1 1 n 平方数列平方数列 1 4 9 16 25 的第 n 项为 n2 例题讲解例题讲解 1 2015 朝阳一模 一组按规律排列的式子 其中 a 2 2 5 a 3 10 a 4 17 a 5 26 a 第 7 个式子是 第个式子是 用含的式子表示 为正整数 nnn 巩固 一组按规律排列的式子 其中第 n 个式子是 3 2 9 4 25 8 65 16 2 2015 燕山一模 定义 对于任意一个不为 1 的有理数 a 把称为 a 的差倒数 a 1 1 如 2 的差倒数为 的差倒数为 记 是的差倒数 1 21 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 a 2 a 1 a 是的差倒数 是的差倒数 依此类推 则 3 a 2 a 4 a 3 a 2 a 2015 a 3 2013 西城一模 在平面直角坐标系 xOy 中 有一只电子青蛙在点 A 1 0 处 第一次 它从点 A 先向右跳跃 1 个单位 再向上跳跃 1 个单位到达点 A1 第二次 它从点 A1先向左跳跃 2 个单位 再向下跳跃 2 个单位到达点 A2 第三次 它从点 A2先向右跳跃 3 个单位 再向上跳跃 3 个单位到达点 A3 第四次 它从点 A3先向左跳跃 4 个单位 再向下跳跃 4 个单位到达点 A4 依此规律进行 点 A6的坐标为 若点 An的坐标为 2013 2012 则 n 4 2010 北京 北京 下图为手的示意图 在各个手指间标记字母 A B C D 请你按图中箭 头所指方向 即 ABCDCBABC 的方式 从 A 开始数连 续的正整数 1 2 3 4 当数到 12 时 对应的字母是 当字母 C 第 201 次出现时 恰好数到的数是 当字母 C 第 2n 1 次出现时 n 为正整数 恰 好数到的数是 用含 n 的代数式表示 AD CB 5 2012 丰台 在数学校本活动课上 张老师设计了一个游戏 让电动娃娃在边长为 1 的 正方形的四个顶点上依次跳动 规定 从顶点 A 出发 每跳动一步的长均为 1 第一 次顺时针方向跳 1 步到达顶点 D 第二次逆时针方向跳 2 步到达顶点 B 第三次顺时 针方向跳 3 步到达顶点 C 第四次逆时针方向跳 4 步到达顶点 C 以此类推 跳 动第 10 次到达的顶点是 跳动第 2012 次到达的顶点是 2010 北 京 11 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 6 12 石景山二模 如图所示 圆圈内分别标有 1 2 12 这 12 个数字 电子跳蚤 每跳一步 可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈 若电子跳蚤所在圆圈的 数字为 则电子跳蚤连续跳 步作为一次跳跃 例如 电子跳蚤n2 3n 从标有数字 1 的圆圈需跳步到标有数字 2 的圆圈内 完成一次12 13 跳跃 第二次则要连续跳步到达标有数字 6 的圆圈 依此规42 23 律 若电子跳蚤从 开始 那么第 3 次能跳到的圆圈内所标的数字为 第 2012 次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 7 11 北京 在上表中 我们把第 i 行第 j 列的数记为 其中 i j 都是不大于 5 的正 i j a 整数 对于表中的每个数 规定如下 当时 当时 i j a ij 1 i j a ij 0 i j a 例如 当 时 按此规定 表中的 25 个数中 共 2i 1j 2 1 1 i j aa 1 3 a 有 个 1 计算的值为 1 1 11 2 21 3 31 4 41 5 5iiiii aaaaaaaaaa 1 1 a 1 2 a 1 3 a 1 4 a 1 5 a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 2 4 a 2 5 a 3 1 a 3 2 a 3 3 a 3 4 a 3 5 a 4 1 a 4 2 a 4 3 a 4 4 a 4 5 a 5 1 a 5 2 a 5 3 a 5 4 a 5 5 a 8 2013 朝阳一模 在平面直角坐标系 xOy 中 动点 P 从原点 O 出发 每次向上平移 1 个单位长度或向右平移 2 个单位长度 在上一次平移的基础上进行下一次平移 例如第 1 次平移后可能到达的点是 0 1 2 0 第 2 次平移后可能到达的点是 0 2 2 1 4 0 第 3 次平移后可能到达的点是 0 3 2 2 4 1 6 0 依 此类推 我们记第 1 次平移后可能到达的所有点的横 纵坐标之和为 l1 l1 3 第 2 次 平移后可能到达的所有点的横 纵坐标之和为 l2 l2 9 第 3 次平移后可能到达的所有点的 横 纵坐标之和为 l3 l3 18 按照这样的规律 l4 ln 用含 n 的式子 表示 n 是正整数 y x1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 O 9 2012 石景山一模 石景山一模 一个正整数数表如下 表中下一行中数的个数是上一行中数的个数 的 2 倍 则第 4 行中的最后一个数是 第行中共有 个数 第行的nn 第个数是 n 第 1 行1 第 2 行3 5 第 3 行7 9 11 13 10 2013 石景山一模 将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律 第 5 行从左到右的第 3 个数为 第行 3 从左到右的nn 第 3 个数为 用含的代数式表示 n 11 2013 通州一模 定义一种对正整数 n 的 F 运算 当 n 为奇数时 结果为 31n 当 n 为偶数时 结果为 其中 k 是使得为奇数的正整数 并且运算重复进行 例 k n 2 k n 2 如 取 则 若 则第 2 次 F 运6n 123 63105 FFF 1n 算 的结果是 若 则第 2013 次 F 运算 的结果是 13n 12 2014 年海淀一模 在一次数学游戏中 老师在三个盘子里分别放了一些糖ABC 果 糖果数依次为 记为 游戏规则如下 若三个盘子 0 a 0 b 0 c 0 G 0 a 0 b 0 c 中的糖果数不完全相同 则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个 给另外两个盘子各放一 个 若有两个盘子中的糖果数相同 且都多于第三个盘子中的糖果数 则从这两个盘子字 母序在前的盘子中取糖果 记为一次操作 若三个盘子中的糖果数都相同 游戏结束 次操作后的糖果数记为 n n G n a n b n c 1 若 4 7 10 则第 次操作后游戏结束 0 G 2 小明发现 若 4 8 18 则游戏永远无法结束 那么 0 G 2014 G 13 2012 海淀二模 小东玩一种 挪珠子 游戏 根据挪动珠子的难度不同而得分不同 规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示 挪动珠子数 颗 23456 所得分数 分 511192941 按表中规律 当所得分数为 71 分时 则挪动的珠子数为 颗 当挪动 n 颗珠子 时 n 为大于 1 的整数 所得分数为 用含 n 的代数式表示 课堂练习课堂练习 1 2015 东城期末 如图 在平面直角坐标系中 将 ABO 绕点 A 顺时针旋转到 AB1C1 的位置 点 B O 分别落在点 B1 C1处 点 B1在 x 轴上 再将 AB1C1绕点 B1顺时针旋转到 A1B1C2的位置 点 C2在 x 轴上 将 A1B1C2绕点 C2顺时针旋转到 A2B2C2的位置 点 A2在 x 轴上 依次进行下去 若点 A 0 B 0 4 则点 B4的坐标为 点 B2014的 坐标为 2 2015 房山期末 抛物线 其中n 是是正整数 与 x 轴交于 2 211 11 n yxx n nn n An Bn两点 若以 AnBn表示这两点间的距离 则 A B 11 A BA B 1122 用含 n 的代数式表示 nn A BA BA BA B 112233 3 2015 丰台期末 在平面直角坐标系中 对于点 其中 我们把点xOy P x y0 y 叫做点 P 的衍生点 已知点的衍生点为 点的衍生点为 1 1 1 y xP 1 A 2 A 2 A 3 A 点的衍生点为 这样依次得到点 如果点的 3 A 4 A 1 A 2 A 3 A n A 1 A 坐标为 那么点的坐标为 如果点的坐标为 且点 1 2 3 A 1 A ba 在双曲线上 那么 2015 A x y 1 ba 11 4 2015 海淀期末 对于正整数 定义 其中表示的首n 2 10 10 nn F n f nn f nn 位数字 末位数字的平方和 例如 2 6 636F 22 123 1231310Ff 规定 为正整数 例如 1 F nF n 1 kk FnF F n k 1 12312310FF 21 123 123 10 1FF FF 1 求 2 4 F 2015 4 F 2 若 则正整数 m 的最小值是 3 4 89 m F 5 2015 怀柔期末 在平面直角坐标系xOy中 正方形 ABCD 的位置如右图所示 点 A 的坐标为 1 0 点 D 的坐标为 0 2 延长 CB 交 x 轴于点 A1 作正方形 A1B1C1C 延长 C1B1交 x 轴于 点 A2 作正方形 A2B2C2C1 按这样的规律进行下去 第 1 个正方形的面积为 第 n 个正方形的面积为 6 2015 门头沟 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 正方形 ABCD 顶点 A 1 1 B 3 1 我们规定 把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折 再向右平移 2 个单位 为 一次变换 1 如果正方形 ABCD 经过 1 次这样的变换得到正方形 A1B1C1D1 那么 B1的坐标是 2 如果正方形 ABCD 经过 2014 次这样的变换得到 正方形 A2014B2014C2014D2014 那么 B2014的坐标是 7 2015 密云期末 如图 边长为 1 的正方形 放置在平面直角坐标系中 顶点ABCD 与坐标原点 重合 点在轴上 将正方形沿轴正方向作无滑动滚动 AOBxABCDx 当点第一次落在轴上时 点的坐标是 点经过的路径的总长度是DxDD 当点第 2014 次落在轴上时 点经过的路径的总长度是 DxD D C B A x y O x y D C2 C C1 B2 B1 B A3A2A1A O BnCn Cn 1 Bn 1 Bn 2 Cn 2 O A B1 B2 B3 D C3 C2 C1 C1B1 O A B2 D C2 C3 B3 C1 A B1 O B2 D C2 8 2015 平谷期末 在直角坐标系中 我们把横 纵坐标都为整数的点叫做整点 设坐标 轴的单位长度为 1cm 整点 P 从原点 O 出发 作向上或向右运动 速度为 1cm s 当整点 P 从原点出发 1 秒时 可到达整点 1 0 或 0 1 当整点 P 从原点出发 2 秒时 可到达 整点 2 0 0 2 或 当整点 P 从原点出发 4 秒时 可以得到的整点的个数为 个 当整点 P 从原点出发 n 秒时 可到达整点 x y 则 x y 和 n 的关系为 9 2015 石景山期末 二次函数的图象如图 点 A0位于坐标原点 2 3xy 点 A1 A2 A3 An在 y 轴的正半轴上 点 B1 B2 B3 Bn在二次函数位于第一象限的图象上 点 C1 C2 C3 Cn在二次函数位于第二象限的图象上 四边形 A0B1A1C1 四边形 A1B2A2C2 四边形 A2B3A3C3 四边形 An 1BnAnCn都是菱形 A0B1A1 A1B2A2 A2B3A3 An 1BnAn 120 则 A1的坐标为 菱形 An 1BnAnCn的边长为 10 2015 通州期末 如图 在平面直角坐标系中 A 2 0 B 0 1 有一 组抛物线 Ln 它们的顶点 Cn Xn Yn 在直线 AB 上 并且经过点 Xn 1 0 当 n 1 2 3 4 5 时 Xn 2 3 5 8 13 根据上述规律 写出抛物线 L1 的表达式为 抛物线 L6 的顶点坐标为 抛物线 L6 与 X 轴的交点坐标为 11 2015 延庆期末 如图 AD 是 O 的直径 1 如图 1 垂直于 AD 的两条弦 B1C1 B2C2把圆周 4 等分 则 B1的度数是 B2的度数是 2 如图 2 垂直于 AD 的三条弦 B1C1 B2C2 B3C3把圆周 6 等分 则 B3的度数是 3 如图 3 垂直于 AD 的 n 条弦 B1C1 B2C2 B3 C3 BnCn把圆周 2n 等分 则 Bn的度 数是 用含 n 的代数式表示 Bn的度数 图 1 图 2 图 3 12 2015 燕山期末 在函数的图象上有点 P1 P2 P3 Pn Pn 1 它们 0 8 x x y 的横坐标依次为 1 2 3 n n 1 过点 P1 P2 P3 Pn Pn 1分别作 x 轴 y 轴的垂线段 构成如图所示的若干个矩形 将图中阴影部分的面积从左至右依次记 为 则点 P1的坐标为 1 S 2 S 3 S n S 2 S n S 用含 n 的代数式表示 课后作业课后作业 1 一组按规律排列的式子 其中第 6 个式子是 2 2 ba 4 32b a 8 43b a 16 54b a 第个式子是 为正整数 nn 2 09 东城一模 东城一模 按一定规律排列的一列数依次为 2 1 3 1 10 1 15 1 26 1 35 1 按此规律排列下去 这列数中的第 9 个数是 3 12 西城一模 西城一模 在平面直角坐标系中 我们称边长为 1 且顶点的横 纵坐标均为整数 的正方形为单位格点正方形 如图 在菱形 ABCD 中 四个顶点坐标分别是 8 0 0 4 8 0 0 4 则菱形 ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是 个 若菱形 AnBnCn D n的四个顶点坐标分别为 2n 0 0 n 2n 0 0 n n 为正 整数 则菱形 AnBnCn D n能覆盖的单位格点正方形的个数为 用含有 n 的式子表示 x y 8 8 4 4 O A B C D 4 2014 东城一模 如图 矩形 BCDE 的各边分别平行于 x 轴或 y 轴 物体甲和物体乙由 点 A 2 0 同时出发 沿矩形 BCDE 的边作环绕运动 物体甲按逆时针方向以 1 个单位 秒匀速运动 物体乙按顺时针方向以 2 个单位 秒匀速运动 则两个物体运动后的第 2 次相 遇地点坐标是 第 2014 次相遇地点的坐标是 5 2013 石景山一模 小涵设计了一个走棋游戏 在平面直角坐标系中 棋子从点xOy 出发 第 1 步向上走 1 个单位 第 2 步向上走 2 个单位 第 3 步向右走 1 个单位 0 0 第 4 步向上走 1 个单位 第 5 步向上走 2 个单位 第 6 步向右走 1 个单位 第 7 步向上走 1 个单位 依此规律走棋 1 当走完第 8 步时 棋子所处位置的坐标为 2 当走完第 100 步时 棋子所处位置的坐标为 6 2013 西城一模 如图 数轴上 点 A 的初始位置表示的数为 1 现点 A 做如下移动 第 1 次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 第 2 次从点向右移动 6 个单位长度至点 1 A 1 A 2 A 第