数学建模期末考试题

班级 通工班级 通工 13 学号 学号 0313 姓名 姓名 成绩 成绩 西安邮电大学理学院西安邮电大学理学院 2014 年年 12 月月 3 日日 2 一 解释下列词语 并举例说明 每小题满分 5 分 共 15 分 1 模型 答 为了一定的目的 人们对原型的一个抽象 通过抽象和化简 使用数学语言 对实际问题的一个近似描述 以便于人们更深刻的 认识所研究的对象 举例 牛顿定律 假设 1 物体为质点 忽略物体的大小和形状 2 没有阻力 摩擦力及其他外力 令 x t 表示在 t 时刻物体的位置 则 2 2 2 数学模型 答 数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁 在数学发展的 进程中无时无刻不留下数学模型的印记 它包括三大特征 1 实践性 有实际背景 有针对性 接受实践的检验 2 应用性 注意实际问题的要求 强调模型的实用价值 3 综合性 数学知识的综合 模型的综合 举例 管道包扎 问题 用带子包扎管道 使带子全部包住管道 且用料最 省 假设 1 直圆管 粗细一致 2 带子无弹性等宽 3 带宽小于圆管截面周长 4 包扎时不剪断带子且不重叠 设 W 为带宽 C 为截面周长 L 为管长 M 为带长 则 M 2 2 3 抽象模型 答 通过人们对原型的反复认识 将获取的知识以经验的形式 直接存储在大脑中的模型称之谓抽象模型 3 举例 如汽车司机对方向盘的操作 二 简答题 每小题满分 8 分 共 24 分 1 模型的分类 答 1 按研究方法和对象的数学特征分 初等模型 几何 模型 优化模型 微分方程模型 图论模型 逻辑模型 稳定性模 型 扩展模型等 2 按研究对象的实际领域 或所属学科 分 人口模型 交通模型 环境模型 生态模型 生理模型 城镇规划模型 水资 源模型 污染模型 经济模型 社会模型等 3 按是否考虑随机因素分 确定性模型 随机性模型 4 按是否考虑模型的变化分 静态模型 动态模型 5 按应用的离散方法或连续方法分 离散模型 连续模型 6 按人们对事物发展过程的了解程度分 黑箱模型 灰箱 模型 白箱模型 白箱模型 指那些内部规律比较清楚的模型 如 力学 热学 电学以及相关的工程技术问题 灰箱模型 指那些内部规律尚不十分清楚 在建立和改善模型 方面都还不同程度上都还有许多工作要做的问题 如气象学 生态 学 经济学等领域的模型 黑箱模型 指一些内部规律还很少为人 们所知的现象 如生命科学 社会科学等方面的问题 但由于因素 众多 关系复杂 也可以简化为灰箱模型来研究 2 数学建模的基本步骤 答 1 模型准备 了解问题的实际背景 明确建模目的 搜集必要 4 的信息如现象 数据等 尽量弄清对象的主要特征 形成一个比较 清晰的 问题 由此初步确定用哪一类模型 才能有应对的方法 在模型准备阶段要深入调查研究 虚心向实际工作者请教 尽量掌 握第一手资料 2 模型假设 根据对象的特征和建模目的 抓住问题的本质 忽略次要因素 做出必要的 合理的简化假设 对于建模的成败这 是非常重要和困难的一部 步 假设得不合理或太简单 会导致错误 的或无用的模型 假设作得过分详细 试图把复杂对象的众多因素 都考虑进去 会使你很难或无法继续下一步的工作 常常在合理与 简化之间做出恰当的折中 通常 作假设的依据 一是出于对问题 内在规律的认识 二是来自对现象 数据的分析 以及二者的综合 想象力 洞察力 判断力以及经验 在模型假设中起着重要作用 3 模型构成 根据所作的假设 用数学的语言 符号描述对象 的内在规律 建立包含常量 变量等的数学模型 如优化模型 微 分方程模型 差分方程模型 图的模型等 这里除了需要一些相关 学科的专门知识外 还常常需要较为广阔地应用数学方面的知识 要善于发挥想象力 注意使用类比法 分析对象与熟悉的其他对象 的共性 借用已有的模型 建模时还应遵循的一个原则是 尽量采 用简单的数学工具 因为你的模型总是希望更多的人了解和使用 而不是只供少数专家欣赏 4 模型求解 可以采用解方程 画图形 优化方法 数值计算 统计分析等各种数学方法 特别是数学软件和计算机技术 模型分析 对求解结果进行数学上的分析 如结果的误差分析 统 计分析 模型对数据的灵敏性分析 对假设的强健性分析等 模型检验 把求解和分析结果翻译回到实际问题 与实际的现象 数据比较 检验模型的合理性和适用性 如果结果与实际不符 问 题常常出在模型假设上 应该修改 补充假设 重新建模 如上图 中的虚线所示 这一步对于模型是否真的有用非常关键 要以严肃 认真的态度对待 有些模型要经过几次反复 不断完善 真到检验 结果获得某种程度上的满意 5 模型应用 应用的方式与问题性质 建模目的及最终的结果 5 有关 应当指出 并不是所有问题的建模都要经过这些步骤 有时 各步骤之间的界限也不那么分明 建模时不要拘泥于形式上的按部 就班 3 数学模型的作用 答 数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简 化难为 易 便于人们采用定量的方法去分析和解决实际的问题 正因为如 此 数学模型在科学发展 科学预见 科学预测 科学管理 科学 决策 驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特 殊的重要作用 数学不仅是人们认识世界的有力工具 而且对于人 的素质培养 无论是在自然科学 还是社会科学中都随时发生着作 用 使其终生受益 特别是 当代计算机科学的发展和广泛应用 使得数学模型的方法如虎添翼 加速了数学向各个学科的渗透 产 生了众多的边缘学科 数学模型还物化于各种高科技之中 从家用 电器到天气预报 从通信到广播电视 从核电站到卫星 从新材料 到生物工程 高科技的高精度 高速度 高安全 高质量 高效率 等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算 控 制来实现的 三 解答题 满分 20 分 写出必要的推理过程及演算步骤 C 路线选择路线选择 9n 2 9n 4 某人从南郊前往北郊火车站乘火车 有两条路可走 第一条路穿 过市中心 路程较短 但交通拥挤 所需时间 以分钟计 服从正态分布 第二条路沿环城公路走 路程较长 但意外阻塞较少 所需时 35 80 N 间服从正态分布 试问 1 假如有 50 分钟时间可用 应走哪条 40 20 N 6 路 2 若只有 40 分钟时间可用 又应该走哪条路线 答 1 1 模型准备 此问题属于概率学中的已知正态分布求 解概率问题 因此可用正态分布解法求解 2 模型假设 走两条路均严格服从正态分布 3 模型构成 设 X 表示 该人沿第一条线路从南郊到北郊火车站所需的时间 表示 该人沿第一条线路从南郊到北郊火车站所需的时间小于 1 50 分钟的概率 Y 表示 该人沿第二条线路从南郊到北郊火车站 所需的时间 表示 该人沿第一条线路从南郊到北郊火车站所需 2 的时间小于 50 分钟的概率 4 模型求解 由以上分析可知 X 35 80 Y 40 20 则 X50 1 68 0 95352 1 50 35 80 Y50 2 24 0 98745 2 50 40 20 所以 该人从南郊到北郊火车站沿第二条路走 在 50min 内到达的 概率比沿第一条路的概率大 故此时应选择第二条路走 2 若有 40min 可用 则可同理 1 X40 0 56 0 71226 1 40 35 80 Y40 0 0 5 2 40 40 20 所以 该人从南郊到北郊火车站沿第一条路走 在 40min 内到达的 概率比沿第二条路的概率大 故此时应选择第一条路走 5 模型分析 由此可见 当所需时间越短 应选择第一条路 所需 7 时间越多 应选择第二条路 四 综合题 四 综合题 21 分 分 O 验血分组问题验血分组问题 7n 5 7n 4 7n 1 在一个人数很多的团体中普查某种疾病 为此需要对团体中团 体成员逐个验血 一般来说 若血样呈阳性 则有此种疾病 呈阴 性则无此种疾病 逐个验血工作量也很大 为了减少验血的工作量 有位统计学家提出一种方案 把团体中的成员进行分组 再把组内 所有人员的血样混合后再检验 若呈阴性 则该组内所有人员都无 此疾病 这时只需作一次检验 若呈阳性 这时为搞清楚谁患有此 种疾病 则对组内每个人员分别检验 共需检验次 若该团体中1k 患此病症的概率为 且各人得此种疾病相互独立 那么此种方法p 能否减少验血次数 若能减少 那么减少多少工作量 答 1 模型准备 这是一个概率学中离散型随机变量的应用的 数学模型 运用公式计算出用新的验血方法平均每个人检验次数比 逐个验血少的平均次数的数学期望 分析数据 得出结果 2 模型假设 假设对该团体的检验过程不会出错 并严格遵守 离散性随机变量过程 3 模型构成 设该团体共有 k 人 X 表示用新方法验血时 每 个人需要检验的平均次数 则 X 只能有两种取值 当该团体无疾病 时 X 当该团体有人患病时 X 1 若用旧方法检验 则 1 1 X 1 4 模型求解 由以上分析可知 用新方法检验时 X 的分布律为 P X P X 1 1 1 1 1 1 则每个人检验的平均次数的数学期望为 8 E X 1 1 1 而用旧方法检验的数学期望 E X 1 所以减少的工作量 Q 为 Q 1 1 5 模型分析 经过计算可知 当 k 越大 Q 越大 p 越小 Q 越大 五 复述题 五 复述题 20 分 分 Q 三级火箭发射卫星模型 3n 1 答 1 论文题目 三级火箭发射卫星 2 论文摘要 通过计算一级火箭发射的初速度和末速度 火 箭的推进力和升空速度 理性型火箭的条件 进而得到多级火箭发 射卫星的条件 在进一步得到三级火箭发射卫星的优点 3 关键字 净载体 动量守恒 理想火箭 多级火箭 4 论文正文 1 问题提出 为什么不能用一级火箭发射人造卫星 问题分析及模型假设 1 0 卫星能进入 600km 高空轨道 火箭必须的最低速度 1 1 假设卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周 卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动 1 2 假设地球是固定于空间中的一个均匀球体 其质量集中于 球心 1 3 假设其它星球对卫星的引力忽略不计 模型设计 设地球半径为 R 中心为 O 质量为 M 曲线 C 表示地球表 面 C 表示卫星轨道 C 的半径为 r 卫星的质量为 m 建模与求解 9 1 根据假设 卫星只受地球引力 由牛顿万有引力定律可知 其引力大小为 F G 1 2 若把卫星放在地球表面 则由 1 式得 Mg G 又 F mg 所以得 2 2 mg 即 v R 7 6 km s 2 2 2 火箭推进力及升空速度 火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组成 燃料燃烧 产生大量气体从火箭末端喷出 给火箭一个向前的推力 火箭飞行 要受地球引力 空气阻力 地球自转与公转等的影响 使火箭升空 后作曲线运动 1 模型假设 为使问题简化 假设 2 1 火箭在喷气推动下作直线运动 火箭所受的重力和空气阻 力忽略不计 2 2 在 t 时刻火箭质量为 m t 速度为 v t 且均为时间 t 的连 续可微函数 2 3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身的速度 u 为常数 即气体 相对于地球的速度为 v t u 2 建模与分析 由于火箭在运动过程中不断喷出气体 使其质量不断减少 在 t t t 内的减少量可由微分公式表示为 m t t m t t t v t t v t t t o o 10 由动量守恒定律可得 m u 表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度的乘积 v t uln 0 0 此式表明 在一定的条件下 火箭升空速度由喷气速度 相对火 箭 及质量比决定 这为提高火箭速度找到了正确途径 尽可能提高 火箭燃烧室产生的气体喷出的速度 这需要从燃料上想办法 尽可 能减少在时刻火箭的质量 这要从结构上想办法 3 一级火箭末速度上限 火箭卫星系统的质量可分为三部分 净载质量 有效负载 如 卫星 燃料质量 结构质量 如外壳 燃料容器及推进器 一级火箭末速度上限主要是受目前技术条件的限制 同理可求解二级 三级 四级火箭模型 由此模型可知 用三级 火箭代替二级火箭很值得 但用四级火箭代替三级火箭时重量减轻 不多 而实际上由于工艺的复杂性及每集火箭都需要配备一个推进 器 所