两线段和最小

精品文档 1欢迎下载 两线段和最小 求线段和的最小值问题 在初中数学中经常会遇到 利用轴对 称知识可以比较简单的解决 我们先通过一个非常典型的例题来推 导一个性质 一 性质推导一 性质推导 例题 如图所示 在河岸 L 的一侧有两个村庄 A B 现要在河 岸 L 上修建一个供水站 问供水站应建在什么地方 才能到 A B 两 村庄的距离之和最短 首先 我们来推导一个轴对称的性质 如图 作 B 点关于 L 的 对称点 B1 在直线 L 上任意定一点 M 连接 B B1 BM B1M 根据轴 对称知识 我们可以求证 BM B1M 所以 我们可以得出这样的性质 成轴对称的两个对应点到对成轴对称的两个对应点到对 称轴上任意一点的距离相等 称轴上任意一点的距离相等 在该例题中 利用这一性质 我们可得出 点 B 到河岸 L 上任 意点 M 的距离等于对称 B1到点 M 的距离 要使 AM B1M 最小 必须使 A M B1三点共线 也就是说 必须使点 M 与 A B1连线和 L 的交点 N 重合 所以 河岸上的 N 点为到 A B 的距离之和最小的点 精品文档 2欢迎下载 L N O B1 B A M 证明 M 为 L 上的任意点 因为 BM B1M 所以 BM AM B1M AM 而 B1M AM 大于 B1A 所以 结论成立 二 应用二 应用 1 1 在图 1 中 若 A 到直线 L 的距离 AC 是 3 千米 B 到直 线 L 的距离 BD 是 1 千米 并且 CD 的距离 4 千米 在直线 L 上找一 点 P 使 PA PB 的值最小 求这个最小值 解 作出 A1B 作法如上图 过 A1 点画直线 L 的平行线与 BD 的延长线交于 H 在 Rt A1BH 中 A1H 4 千米 BH 4 千米 用勾股定理求得 A1B 的长度为 4千米 2 即 PA PB 的最小值为 4千米 2 精品文档 3欢迎下载 LP A1 A C B D H 2 如图 1 在直角坐标系 XOY 中 X 轴上的动点 M x 0 到定点 P 5 5 和到 Q 2 1 的距离分别为 MP 和 MQ 那么当 MP MQ 取最小值时 点 M 的横坐标 x 5 5 2 1 Y X O Q P 123456 1 1 1 2 3 4 5 6 5 5 2 1 Y X MO Q P Q1 123456 1 1 1 2 3 4 5 6 解 如图 2 只要画出点 Q 关于 x 轴的对称点 Q1 2 1 连结 PQ1 交 x 轴于点 M 则 M 点即为所求 点 M 的横坐标只要先求 出经过 PQ1 两点的直线的解析式 y 2x 5 令 y 0 求得 x 5 2 也可以用勾股定理或相似三角形求出答案 图 1 图 2 图 1 精品文档 4欢迎下载 3 求函数 y 的最小值 2 610 xx 2 634xx 解 方法 把原函数转化为 y 因此可以理解为 1 3 2 x 22 3 5x 在 X 轴上找一个点 使它到点 3 1 和 3 5 的距离之和最小 解法同上一题 方法 如图 9 分别以 PM 3 x AM 1 为边和以 PN x 3 BN 5 为边构建使 3 x 和 x 3 在同一直线上的两个直角 PAM PNB 两条斜边的长就是 PA 和 PB 2 3 1x 22 3 5x 因此 求 y 的最小值就是求 PA PB 的最小值 只要利用轴对称性 质求出 BA1 的长 就是 y 的最小值 6 2 5 3 X 1 1 6 X 3 9 N B A A1 G M P 三 拓展三 拓展 一 一 三条线段的和最小的问题 三条线段的和最小的问题 如图 3 已知甲 乙 丙三人做接力游戏 开始时 甲站在 精品文档 5欢迎下载 AOB 内的 P 点 乙站在 OA 边上 丙站在 OB 边上 游戏规则 甲 将接力棒传给乙 乙将接力棒传给丙 最后丙跑至终点 P 处 如果 三人速度相同 试作图求出乙丙站在何处 他们比赛所用时间最短 析解 三人的速度一定且相同 要使比赛时间最短 只需 三人所走的路程最短 因此可以利用轴对称知识 作点 P 关于 OA OB 的对称点 连接 交 OA 于 交 OB P P P P O 于 则点和点应分别是乙 丙的位置 这样连接 O O O PO 则三人行的路程和为 PO POO OPOP OO OP OP P 规律总结 轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不 变的情况下改变位置 要注意体会轴对称在这方面的应用 二 利用菱形的对称性 求线段和的最小值 二 利用菱形的对称性 求线段和的最小值 精品文档 6欢迎下载 1 如图 5 在菱形 ABCD 中 AB 4a E 在 BC 上 EC 2a BAD 1200 点 P 在 BD 上 则 PE PC 的最小值是 A 6a B 5a C 4a D 2a 3 5 C E D P B A 6 E1 C E D P B A 解 如图 6 因为菱形是轴对称图形 所以 BC 中点 E 关于对 角线 BD 的对称点 E 一定落在 AB 的中点 E1 只要连结 CE1 CE1 即 为 PC PE 的最小值 这时三角形 CBE1 是含有 300 角的直角三角形 PC PE CE1 2a 所以选 D 3 2 已知在菱形 ABCD 中 A 600 AD 8 M N 分别是 AB BC 边 上的中点 P 是对角线 AC 上一动点 求 PM PN 的最小值 分析 因为动点 P 在菱形 ABCD 的对角线 AC 上 而 CD 边的中点 G 是 N 关于对称轴 AC 的对应点 所以 PG PN 因此求 PM PN 的最小值就转化为求 PM PG 的最小值 连接 MG 在 PMG 中 PM PG 的最小值就是 MG 即 PM PG MG 仅当 M P G 三点共线时取得最小值 精品文档 7欢迎下载 G N M C B A D P 解 取 CD 的中点 G 连接 PG AC 是菱形 ABCD 的对角线 PCG PCN 又 CB CD N 是 BC 边的中点 CN CG 又 PC PC PCG PCN PG PN 连接 MG 四边形 AMGD 为平行四边形 MG AD 8 在 PMG 中 仅当 P M G 三点共线时取等号 即 故 PM PN 的最小值为 8 三 三 利用正方形的对称性 求线段和的最小值利用正方形的对称性 求线段和的最小值 精品文档 8欢迎下载 已知如图 正方形 ABCD 的边长是 3 E 点分边 BC 为 2 1 P 为对角 线 BD 上一点 求 PE PC 的最小值 BC AD P E 分析 要想求 PE PC 的最小值 关键是确定点 P 的位置 根据对称的 知识我们知道点 P 的位置应是 点 C 关于直线 BD 的对称点和点 E 连 线与 BD 的交点 解 因为四边形 ABCD 为正方形 所以点 C 关于 BD 的对称点为 A 连接 AE 交 BD 于 P 点 则此时 PE PC 的最小值最小 最小值为 PE PC AE 13 四 利用等腰梯形的对称性 求线段和的最小值 四 利用等腰梯形的对称性 求线段和的最小值 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AB CD AD 1 B 60 直线 MN 为梯形 ABCD 的对称轴 P 为 MN 上一点 那么 PC PD 的最 小值为 精品文档 9欢迎下载 M N C B A D P 分析 在梯形 ABCD 中 因为 AB CD AD 易知梯形 ABCD 是等 腰梯形 又直线 MN 是梯形 ABCD 的对称轴 所以直线 MN 是底边 AD BC 的垂直平分线 连接 PA 由线段垂直平分线上任一点 到已 知线段两端的距离相等知 PA PD 所以求 PC PD 的最小值就转化 为求 PC PA 的最小值 即求 AC 的长度即可 解 连接 PA AB CD AD 1 梯形 ABCD 是等腰梯形 又直线 MN 是梯形 ABCD 的对称轴 PA PD 精品文档 10欢迎下载 过点 A 作 AE BC 过点 D 作 DF BC E F 为垂足 易证 ABE DCF BE CF 在 Rt ABE 中 B 60 AB 1 在 Rt ABC 中 由勾股定理 得 即 PA PC 的最小值为 当 A P C 三点共线时取得最小值 也可这样求 AC 的值 过 A 点作 CD 的平行线 交 BC 于 G 则 BG AB 1 GC AD 1 BC 2 而角 BCA DAC DCA 角 BCA 30 角 BAC 90 度 在三角形 ABC 中 可求得 AC 五 利用圆的对称性 求线段和的最小值 五 利用圆的对称性 求线段和的最小值 已知如图 AB 是 的直径 AB 2cm OC AB 点 D 是弧 AC 的三等 分点 P 是 OC 上一动点 求 PA PD 的最小值 精品文档 11欢迎下载 16 O A B C P D E P F C O A B D 分析 圆是一个轴对称图形 任意一条直径所在的直线都是它的 对称轴 圆上任意一点的关于直径所在直线的对称点都在圆上 解 作点 D 关于 OC 的对称点 F 连接 AF 此时 PA PD 的最小值为 AF 因为 AB 是圆 O 的直径 OC AB 则弧 AC 的度数为 900 因为 D 是 弧 AC 的三等分点 所以弧 AD 的度数是 600 弧 DC 的度数是 300 因 为点 D 与点 F 关于 OC 的对称 所以且弧 DC 与弧 CF 相等 都为 精品文档 12欢迎下载 300 AOF 1200 作 OE AF 则 AOE 600 在 Rt AOE 中 AO 1cm AOE 600 则 AE AF 3 六 利用坐标系的对称性 求线段和的最小值 六 利用坐标系的对称性 求线段和的最小值 如图 在直角坐标系中 有四个点 A 8 3 B 4 5 C 0 n D m 0 求四边形 ABCD 周长最短时的值 8 6 4 2 2 4 6 8 10 5510 D C B A A B 精品文档 13欢迎下载 分析 因为 A B 是定点且长度不变 四边形 ABCD 的周长最短 需使 AD CD BC 的值最小 由于 C D 两点未知 所以本题关键是 找 C D 两点 可考虑用轴对称的方法将 BC CD AD 这三条折线拉 直 解 分别作 A 点关于 x 轴 B 点关于 y 轴的对称点 A 8 3 B 4 5 连接 A B 分别交 x 轴 y 轴于 D C 点 设直线 A B 的解析式为 y kx b 把 x 8 y 3 x 4 y 5 分别代入得 8k b 3 4k b 5 解得 k 和 b 值 得到 A B 的解析式为 3y 2x 7 令 x 0 求得 y 得到 C 点 令 y 0 求得 x 得到 D 点 由以上几例可以看出 当求线段和的最小值时 常常借助轴对称 将两条线段转化到一条直线上 再利用 两点之间线段最短 进行 求解 四 链接四 链接 看这样一题 要在一条河上架一座桥 桥须与河岸垂直 两河 精品文档 14欢迎下载 岸平行 请提供一种设计方案 使从 A 地到 B 地的路径最短 请说 明理由 A B 请思考 1 这题为什么不能用轴对称知识解决 认真理解我 推导出的性质就可明白 2 如何用平移知识解决此题 3 类似我推导出的轴对称性质 平移的知识能否推导出类似的 性质 五 练习五 练习 1 2002 湖北黄岗竞赛题 如图 10 AOB 450 角内有一 点 P PO 10 在角两边上有两点 Q R 均不同于点 O 则 PQR 的周长最小值是 当 PQR 周长最小时 QPR 的 度数 精品文档 15欢迎下载 A B 10 10 O PQ R R Q P2 P1 B O A P 提示提示 画点 P 关于 OA 的对称点 P1 点 P 关于 OB 的对称点 P2 AOB 450 P1OP2是等腰直角三角形 P1P2 10 2 又问 当 PQR 周长最小时 QPR 的度数 答案 900 2 已知点 A 2 1 点 B 3 4 在 X 轴上求一点 P 使得 精品文档 16欢迎下载 PA PB 的值最小 这个最小值是 同例 2 3 北京市竞赛题 如图 11 在矩形 ABCD 中 AB 20 BC 10 若在 AC AB 上各取一点 M N 使 BM MN 的值最小 求 这个最小值 11 C D A B M N 提示提示 要使 BM MN 的值最小 应设法把折线 BM MN 拉直 从 而想到用轴对称性质来做 画出点 B 关于直线 AC 的对称点 B1 则 B1N 的长就是最小值 又因为 N 也是动点 所以 当 B1N AB 时这个值最小 利用 勾股定理和三角形面积公式可以求得这个最小值为 16 初三的同学 也可以用射影定理和面积公式求解 4 如图 12 在菱形 ABCD 中 DAB 1200 点 E 平分 BC 点 P 在 BD 上 且 PE PC 1 那么边长 AB 的最大值是 精品文档 17