函数一致连续证明的方法和技巧总结

精品文档 1欢迎下载 学士学位论文学士学位论文 BachelorBachelor s s ThesisThesis 编号 2013110254 研究类型理论研究 分类号 O17 论文题目关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法 作者姓名 胡 辉 学号 2009111010254 所在院系 数学与统计学院 学科专业名称 数学与应用数学 导师及职称 许绍元 教授 论文答辩时间 2013 年 5 月 25 日 精品文档 2欢迎下载 湖北师范学院学士学位论文诚信承诺书 中文题目 关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法 外文题目 Uniformly Continuous Function Proof of Certain Skills and Methods 学生姓名胡 辉学生学号 20091111010254 院系专业 数学与统计学院 数学与应用数学 学生班级0902 班 学学 生生 承承 诺诺 我承诺在学士学位论文活动中遵守学校有关规定 恪守学术规范 本 人学士学位论文内容除特别注明和引用外 均为本人观点 不存在剽窃 抄袭他人学术成果 伪造 篡改实验数据的情况 如有违规行为 我愿承 担一切责任 接受学校的处理 学生 签名 年 月 日 指导教师承诺指导教师承诺 我承诺在指导学生学士学位论文活动中遵守学校有关规定 恪守学术 道德规范 经过本人核查 该生学士学位论文内容除特别注明和引用外 均为该生本人观点 不存在剽窃 抄袭他人学术成果 伪造 篡改实验数 据的现象 指导教师 签名 年 月 日 精品文档 3欢迎下载3欢迎下载3欢迎下载 目目 录录 1 前言 1 2 函数一致连续 2 2 1 函数一致连续的定义 2 2 2 证明函数一致连续的相关真命题 2 2 3 函数一致连续相关定理 3 2 3 1 函数在区间上一致连续的充分条件 3 xf 2 3 2 函数在区间上一致连续的充要条件 6 xf 2 4 应用举例 8 3 函数非一致连续 12 3 1 函数非一致连续的定义 12 3 3 应用举例 14 4 参考文献 16 5 致谢 17 精品文档 4欢迎下载4欢迎下载4欢迎下载 关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法 胡辉 指导老师 许绍元 教授 湖北师范学院数学与统计学院 中国 黄石 435002 摘 要 本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论和定理 而且针对函数一致 连续证明的问题 给出了证明方法的流程图 该流程图对函数一致连续性证 给出了很清晰的思路 通过例题解释流程图使用方法 事实表明该流程图对 函数一致连续证明是非常有效的 相信这篇文章对大家证明函数一致连续性 具很大的指导作用 关键词 函数 一致连续性 命题和定理 流程图 例题 中图分类号 O17 Uniformly Continuous Function Proof of Certain Skills and Methods HuHui Tutor Xu Shaoyuan College of Mathematics and Statistics Hubei Norma University Huangshi Hubei 435002 Abstract Abstract In this paper several conclusions on the proof of the Uniform Continuity Function Theorem and a continuous function proof given flow chart of the method of proof with the flowchart the Uniform Continuity Function card gives a very clearideas through examples explain the flow chart to use The fact that this flowchart is very efficient on the number of uniformly continuous proof I believe this article we prove that the function continuity with the great guide KeywordsKeywords Function consistent continuity propositions and theorems flowchart example 精品文档 5欢迎下载5欢迎下载5欢迎下载 精品文档 1欢迎下载 关于函数一致连续性证明的若干技巧和方法 胡辉 指导老师 许绍元教授 湖北师范学院数学与统计学院 中国 黄石 435002 1 前言 本文综述了关于函数一致连续性证明的几个结论 并举例说明其应用 这对证明 函数的一直连续性具有一定的指导作用 函数的一致连续性是数学分析中的重要概念 和难点之一 大多数学分析教材对这方面的讨论较少 学生对一直连续性证明的掌握 往往不够 单从定义出发证明函数的一直连续性又较困难 因此本文给出了几个证明 函数一致连续的方法 并举例说明其应用 以供读者参考 本文综合了很多网上的资料以及很多相关有关函数一致连续的书籍 首先是给出 了函数一致连续的定义 用语言阐述了我们在大学数学分析中所学到的函数一致 连续的概念 并给出了有关函数一致连续证明的命题和定理 总结了函数一致连续的 充分条件和充要条件 并给出了函数非一致连续证明的充要条件 然后是给出了证明 函数一致连续的程序流程图 仔细地分析了各类函数是否一致连续 并给出了相关证 明的技巧 在给出证明技巧以后 我又总结了各种证明技巧的典型例题 给出例题的同时 给出了证明的各种思路和技巧 分不同的方法和思路给出了证明 在证明过程中先给 出证明思路 然后给出了证明过程 为读者可以提供很清晰的函数一致连续的证明技 巧 最后 我觉得函数一致连续的证明 一切都是源自于一致连续的定义 在理解函 数一致连续性的定义的过程中我们才能很清晰明了的得出其是否符合一致连续性的性 质 精品文档 2欢迎下载 2 函数一致连续 2 1 函数一致连续的定义 设为定义在区间上的函数 若对任给的 存在 使得对任 xfI0 0 何 只要 就有 则称函数在区间上 x xI xx f xf x xfI 一致连续 2 2 证明函数一致连续的相关真命题 命题 2 2 1 设在区间上有有界导数 则在区间上一致连续 xfI xfI 命题 2 2 2 设为连续的周期函数 则一致连续 xf xf 命题 2 2 3 设在有限开区间上连续 则在上一致连续的充 xf ba xf ba 要条件是及存在 对于区间和区间也有类似的结果 limxf ax limxf bx ba ba 证明 充分性 由在有限开区间上连续 有对任给的 存在正数 xf ba0 有 特别的 当时 0 xxbaxx f xf x aaxx 有 根据柯西收敛准则知 存在 同理可证存在 f xf x limxf ax limxf bx 必要性 因为与存在 令 limxf ax limxf bx lim lim xa xb f xxa F xf xxa b f xxb 在上连续 从而在上一致连续 因此在上一致连续 xF ba xF ba xf ba 推论 1 函数在内一致连续的充要条件是在上连续且 xf ba xf ba 存在 limxf ax 精品文档 3欢迎下载 推论 2 函数在 由一致连续的充要条件 在内连续 且 xf ba xf ba 存在 limxf bx 命题 2 2 4 若在上连续 且 有限 则在上 xf aAxf x lim a 一致连续 证明 因为 则对任给的 存在正数 只要 Axf x lim0 aM x xM 就有 又因为在上连续 则在上一致连续 f xf x xf 1 Ma xf 1 Ma 即对上述 存在 对任何 有 0 0 1 x xa Mxx f xf x 于是对任何 只要或 就有 所 x xa xx x xM f xf x 以在上一致连续 xf a 对于区间和也有类似的结果 对于区间和可以用命 a a a 题 3 和命题 4 判别一致连续性 命题 2 2 5 设区间的右端点为 区间左端点也为 若分别 1 I 1 Ic 2 I 2 Ic xf 在区间和上一致连续 则在上也一致连续 1 I 2 I xf 21 II 命题 2 2 6 设在上可导 且 则在上一 xf aAxf x lim xf a 致连续的充要条件为有限数 对于和也有类似的结果 A a 2 3 函数一致连续相关定理 2 3 1 函数在区间上一致连续的充分条件 xf 定理 2 3 1 1 若在闭区间上连续 则在上一致连续 xf ba xf ba 定理 2 3 1 2 设在上连续 在上一致连续 且 xf a xg a 则在上一致连续 lim 0 x g xf x xf a 证明 因为 则对任给的 存在正数 当时 lim 0 x g xf x 0 aM Mx 有 又因为在上一致连续 则对上述 存在 只 3 xfxg xg a0 0 1 精品文档 4欢迎下载 要 就有 因此对任何 1 xx 3 g xg x x xa x xM 有 xx xfxf xfxgxgxgxgxf 而在闭区间上一致连续 即对上述 只要 xf 1 Ma0 2 1 x xa M 就有 取 则当 2 xx f xf x 1max 21 x xa 时 有 所以在上一致连续 xx f xf x xf a 定理 2 3 1 3 设函数在区间上可导 其导数在区间上有界 则 xfI fxI 在区间上一致连续 xfI 证明 因为在区间上有界 则存在正数 对任意 有 xfIMIx Mxf 对任给的 取 对任何只要 则0 0 M n x xI xx f xf x fcxx M M A 其中 在之间 所以在区间上一致连续 c xx与 xfI 定理 2 3 1 4 设函数在内一致连续的充分条件 在内连 xf 续 且存在且有限 lim limxfxf xx 和 证明 1 先证在上一致连续 xf a 因为 有限 则对任给的 存在正数 使得对任意的Axf x lim0 aN 就有 又因为在上连续 则在 x xN f xf x xf 1 Na xf 上一致连续 即对上述 存在 对任何 1 Na0 0 1 x xa Nxx 有 于是对任何 只要或 就有 f xf x x xa xx x xN 所以在上一致连续 f xf x xf a 同理可证明在上一致连续 xf a 推论 1 在内一致连续的充分条件 在内连续 且 xf a xf a 与存在且有限 limxf ax limxf bx 精品文档 5欢迎下载 推论 2 在内一致连续的充分条件 在内连续 且 xf a xf a 存在且有限 limxf x 推论 3 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且 xf b xf b 都存在 f 推论 4 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且 xf b xf b 和都存在 f bo f 定理 2 3 1 5 若对于定义在区间上的函数和 I xf xg0 L x xI 有成立 而在上一致连续 则在上也一 xfxf L xgxg xgI xfI 致连续 证明 对于任给 由于在上一致连续 所以 使得对于 0 g xI0 x xI 只要 就有成立 故对于上述 结合已知条件有xx xgxg L 0 成立 xfxf L xgxg L L 从而可知在上一致连续 xfI 推论 6 若函数在区间上满足下述 Lipschitz 条件 即 xfIL 0 x x I 有成立 则在上一致连续 xfxf Lxx xfX 定理 2 3 1 6 设在上连续 且当时 以为渐近 xf a x xfdcxy 线 即 则在上一致连续 0 0 lim cdcxxf x xf a 证明 已知 则由柯西收敛准则给的 存在正 0 0 lim cdcxxf x 0 数 使得对任意的 就有0 A x xa A f xcxdf xcxd 2 2 xxcxfxfxxcxfxf 所以 2 xxcxfxf 精品文档 6欢迎下载 不妨设 则 2 xxc 2 xx c 取 于是 存在正数 当时有 c2 1 0 0 x xa A xx 1 2 f xf xc 又已知 在闭区间上连续 则在上一致连续 对上述 xf 1 Aa xf 1 Aa0 存在 当时 有 取 0 2 1 x xa A 2 xx f xf x 1max 21 则当且时 则可同属于无论哪部分都有 x xa xx 1 Aaa或 f xf x 所以在上一致连续 xf a 2 3 2 函数在区间上一致连续的充要条件 xf 定理 2 3 2 1 若在区间上有定义 则在上一致连续的充要条件是 xfI xfI 0 lim sup 0 xx x xI f xf x 证明 1 必要性 因在区间上一致连续 则对任给的 存在 对任 xfI0 0 0 何 只要 就有 从而 故当 x xI xx 2 f xf x 2x xI xx supf xf x 时 所以 0 0 sup 2 xx x xI f xf x 0 lim sup 0 xx x xI f xf x 2 充分性 由知 对任给的 存在 对任何 0 lim sup 0 xx x xI f xf x 0 0 0 只要 就有 取整数 当 x xI 0 xx sup xx x xI f xf x 0 x xI 时 所以函数在区间上一致 xx f xf x sup xx x xI f xf x xfI 连续 精品文档 7欢迎下载 定理 3 2 2 函数在区间上一致连续的充要条件为对任给的 对 xfI0 存在 当 有 x xI 0 N lim n f xf x N xx xfxf 定理 3 2 3 函数在区间上一致连续的充要条件是 在区间上满 xfI xfI 足的两个数列必有0 lim nn n yx nn yx0 lim nn n yfxf 连续函数 f 的一致连续性判断 结束 用定义是否易证 是 否 导函数是否有界是否是周期函数 由命题 2 2 2 证 明一致连续 否否 用命题 2 2 5 证 明一致连续 是否能看作I 12 II 由命题 2 2 1 证明一致连 续 是是 否 是 是否是有限区间I 否 否 是 否 端点处极限是否存在 I 是否闭区间 有限端点处极限是否 存在 不一致连续 lim x f x 是否存在 否 否 由命题 2 2 4 证明 由定理 2 3 1 1 证明 是 由命题 2 2 4 知 不一致连续 否 lim x fxA 否 由命题 2 2 4 证明 A 是否有限 是 是 精品文档 8欢迎下载 2 4 应用举例 例 2 4 1 证明 在上一致连续 xfxcos 0 证明 在上成立不等式 0 1 0 1 1 cos xcos x x x xx Lipthitz 条件 从而在上一致连续 又在连在 xf 上满足 1 1xcos 上1 0 续 由 Cantor 定理在一致连续 综上所述 在上一致连续 xcos 上1 0 xcos 0 应用 我们利用 Cantor 定理还可以得到较为实用的判定方法 设 在上连续 则在上一致连续 I a xfI xf xA xfI 证 因为 由 Cauthy 准则知 对 xf xA 时 有当MxxM 21 0 0 1 21 xfxf 又由于在有 Cantor 定理知在故对 xf 上连续 1 Ma xf 上一致连续 1 Ma 上述的且 有 431 0 0 xx当存在 1 Ma 43 xx 时 1 2 43 xfxf 取 则对 均有 1 min 1 且 axx xx 1 2 时 有 两式 由定义证明 由命题 2 2 6 不一致 连续 否 由命题 2 2 6 知一致 连续 精品文档 9欢迎下载 有一致连续性定义 在 命题得证 xfxf xf 上一致连续 a 例 2 4 2 函数 2 2 11 2 22 11 2 22 0 0 n nn n nn nxnxnn nn f xnxnxn n nn x 为中的其他点 问 在上是否一致连续 f x 0 解 在上非一致连续 f x 0 显然 在上连续 且 且 f x 0 0 0 f xx 1 1 1 2n a n f x dx 收敛 但故 从而可知在上非一致连续 lim lim nn f nn lim 0 n f n f x 0 例 2 4 3 用定义证明在上一致连续 x 0 证明 令 先证在上一致连续 xfx xf 1 设且 1 21 xx 21 xx 2 21 21 21 21 xx xx xx xx 取 当且时 有 0 2 1 21 xx 21 xx 2 21 21 xx xx 即证在上一致连续 xf 1 例 2 4 4 设 证明在上一致连续 xx x xf 1 sin 1 2 xf 1 精品文档 10欢迎下载 解题思路一 若考虑到的有界性及结合三角函数性质此题可以用定义证明 1 2 x x 但是证明过程比较繁琐 证明 对任何的 1 x xxx 21 21 21 21 sinsinsinsin 1 1 1 1 xxxx f xf x xxxxxxxx 1111 2 2 2 2 cossin 1 1 122 xxx xxxx xxx AA 11 1 1 2 1 1 12 xx xx xxx A 7 4 xx 7 4 则 0 lim sup 0 xx x xI f xf x 解题思路二 若考虑函数导函数的有界性 因为 fx xxxxxxx 1 cos 1 1 11 cos 11 sin 1 1 222 4 7 1 11 1 1 222 xxxx 则由命题 2 2 1 方法可证 证明 由题意 因为在上连续 所以对任意的 有 xf 1 1 21 xx 1212 f xf xfx xx 21 4 7 xx 又因为 fx 222 1111111 sincoscos 1 1xxxxxxx 222 111 1 1 xxxx 7 4 精品文档 11欢迎下载 从而由函数一致连续的定义 对人给的 存在 使得对任何0 7 4 0 只要 就有 1 21 xx 21 xx 1212 f xf xfx xx 21 4 7 xx 7 4 4 7 证毕 解题思路三 假设没有考虑到导数有界 从区间考虑 是无穷区间 且含有限端 点 1 考虑 则由命题 2 2 4 方法可证 0 1 sin 1 2 lim xx x x 证明 因为在上连续 且 所以 xx x xf 1 sin 1 2 1 0 1 sin 1 2 lim xx x x 在上一致连续 xx x xf 1 sin 1 2 1 例 2 4 5 设 证明在上一致连续 x exxf 1 2 xf 1 分析 解题思路一 由于在上是有界的及这个函数的一致连续性 x e 1 1 2 x 所以可以用定义证明 解题思路二 假设没有考虑到用定义证明 由于不是周期函数 考虑导数 xf 是否有界 由于对任意 有 1 2 2 1 x x fxe x 1 x 2 1 2 1 x x exf x 2 2 1 x x e e2 则由命题 2 2 1 可证 证明 在上 1 2 2 1 x x fxe x 11 1 2 1 xx ex 1 11 22 1111 1 1 4 xx fxeee xxxx 即在上有界 从而由定理 2 3 1 5 可证 fx 1 解题思路三 若考虑导数有界有一定的困难 可按照流程图往下考虑 又因为 比较容易考虑 所以可以由命题 2 2 6 证明 lim lim 1 xx fxfx 而 解题思路四 利用定理 2 3 1 3 设 因为 在上有界 所以在上一致连续 3 xxg g x 1 g x 精品文档 12欢迎下载 函数在上连续 且有 x exxf 1 2 1 2 3 lim lim 1 x nn exxxfxg 11 lim 1 32 xx n xee 0 则在上一致连续 x exxf 1 2 1 例 2 4 6 设 证明在上一致连续 1 1 arctan 2 x xxxf xf 0 解题思路 由于在上是一致连续的 故考虑xxg 0 在上一致连续 显然不是周期函数 但也不容 1 1 arctan 2 x xxh 0 xh xh 易求出 不妨考虑在和时的极限 由于 xh0 x xlim 2 x h x 1 ln 1 000 lim limarctan limarctan00 x x xxx h xxe 则由命题 2 2 3 和命题 2 2 4 可证 例 2 4 7 证明在上一致连续 xxfsin 0 x 分析 解题思路一 由于 sinsin 2 sincos 22 xxxxxx xxxx xx 可以考虑把区间分为 在上无界 但连 0 1 1 0 1 1 cos 2 fxx x xf 续 由定理 2 3 1 1 可知在上一致连续 在上 xf 0 1 1 1 sin sin 2 xxxx 可由定义证明在上一致连续 由命题 2 2 5 可知在上一致连续 xf 1 xf 0 解题思路二 若考虑函数导数 因为在上无界 1 cos 2 fxx x fx 0 可以考虑把区间分成 在上一致连续 在上有界 0 1 1 xf 0 1 fx 1 精品文档 13欢迎下载 由命题 2 2 1 可知 在上一致连续 由命题 2 2 5 可知在上一 xf 1 xf 0 致连续 3 函数非一致连续 3 1 函数非一致连续的定义 设为定义在区间上的函数 若对任给的 存在 当 xfI0 0 时 有 则称函数在上非一致连续 x xI xx f xf x xfI 3 2 函数在区间上非一致连续的判定方法 关于在区间上非一致连续的判定方法 从函数的一致连续的充要条件中 可以 xfI 得出其中的反问题 因此主要有以下三种方法来判定非一致连续 1 非一致连续的定义 2 在区间上非一致续的充要条件是与至少有一个 xf ba limxf ax limxf bx 不存在 3 在区间上非一致连续的充要条件 在区间上的两数列 满足 xfI nn yx 必有 0lim nn n yx0 lim nn n yfxf 假设函数在区间上一致连续 则对于任意 存在 不妨设 xf a0 0 对于任意 且当时 成立 又因为 x xa xx xfxf 2 收敛 故对上述的 必存在 当 时 有 a dxxf 0 M x x M x x f t dt 2 2 总存在 使且 于是有 x M x x xxxM xx xf xxx xxx f x dtf t dtf t dt xx xx f xf t dtf t dt 精品文档 14欢迎下载 22 2 即 xf 22 22 于是 当时 有 即与矛盾 所0 0 MMx xf limxf x 0 limxf x 0 以假设不成立 从而在区间上非一致连续 f x a 定理 3 2 1 函数在区间上非一致连续的充要条件是在上存在两个数列 xfII 使 但当使 nn xx lim 0 nn n xx n0 不趋于 nn xfxf 证明 1 必要性 因为在区间上非一致连续 则存在 取 xfI0 0 存在数列当时 有 即当0 1 n n Ixx nn n xx nn 1 0 nn xfxf 时 0 lim nn n xx0 不趋于 nn xfxf n 2 充分性 若在区间上一致连续 则对任给的 存在 对任 xfI0 0 意只要 就有 又因为 则对上述 x xI xx f xf x 0 lim nn n xx 存在 对任何的 有 所以 即0 NNn nn xx nn xfxf 这与已知矛盾 所以在区间上非一致连续 0 lim nn n xfxf xfI 3 3 应用举例 例 3 3 1 证明在区间上一致连续 M 为任意整数 在上 2 xxf M 0 0 非一致连续 分析 利用定义 证明 使得 有0 M2 Mxx 0 xx Mxxxxxxxxxxxfxf2 22 在区间上一致连续 为任意整数 2 xxf M 0M 在上取两个数列 但是 0nxnx nn 1 0lim nn n xx 精品文档 15欢迎下载 01lim nn n xfxf 所以在上非一致连续 2 xxf 0 例 3 3 2 证明函数 在上非一致连续 2 xxf x exf R 证明 1 在上取两个数列 Rnxnx nn 1 0 1 1 lim 1 lim lim nn nnxx nn nn n 但 01 1 lim lim nnxfxf n nn n 由定理 2 3 1 4 知函数在上非一致连续 2 xxf R 2 在上取两个数列 Rnxnx nn ln 1ln 0 1 lnlim ln 1 ln lim lim n n nnxx nn nn n 但 0 1 1 lim lim lim ln 1ln nnelexfxf n nn n nn n 由定理 3 3 4 知 在上非一致连续 xf x e R 例 3 3 3 设在上连续 且处处不为 证明在上一致连续 xf ba 0 xf 2 1 ba 分析 利用闭区间连续函数的性质 同时掌握定理 2 3 1 5 和一致连续定义的灵活 应用 证明 在上连续 则在上一致连续 xf ba xf ba 故 对任意的 只要 就有 0 00 x xI 0 xx 2 f xf x 在上连续 所以使 xf ba mM Mxfm 22 11 fxfx 22 22 fxfx fxfx 精品文档 16欢迎下载 4 f xf xf xf x m 4 2M m 因此 在上一致连续 xf 2 1 ba 参考文献 1 欧阳光中 数学分析 M 上海 复旦大学出版社 1992 153 167 2 王向东 数学分析的概念与方法 M 上海 上海科技出版社 1994 84 86 3 华东师范大学数学系 数学分析 上册第三版 M 北京 高等教育出 版社 200