带通抽样定理

精品文档 1欢迎下载 信号与系统 A 2 课程自学报告 实施报告 题 目 带通采样定理与软件无线电 精品文档 2欢迎下载 带通抽样定理 实际中遇到的许多信号是带通型信号 这种信号的带宽往往远小于 信号中心频率 若带通信号的上截止频率为 H f 下截止频率为 L f 这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率 H f 可按照带通抽样定 理确定抽样频率 定理定理 带通抽样定理带通抽样定理 一个频带限制在 HL ff内的时间连续信号 tx 信号带宽 LH ffB 令NBfM H 这里N为不大于 BfH 的最大正整数 如果抽样频率 s f满足条件 m f f m f L s H 2 1 2 10 Nm 3 1 9 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号 tx 对信号 tx以频率 s f抽样后 得到的采样信号 s nTx的频谱是 tx的频 谱经过周期延拓而成 延拓周期为 s f 如图 3 3 所示 为了能够由 抽样序列无失真的重建原始信号 tx 必须选择合适的延拓周期 也 就是选择采样频率 使得位于 HL ff和 LH ff 的频带分量不会和 延拓分量出现混叠 这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原 始信号 由于正负频率分量的对称性 我们仅考虑 HL ff的频带分量不会出 现混叠的条件 在抽样信号的频谱中 在 HL ff频带的两边 有着两个延拓频谱分 量 sLsH mffmff 和 1 1 sLsH fmffmf 为了避免混 叠 延拓后的频带分量应满足 LsL fmff 3 1 10 HsH ffmf 1 3 1 11 综合式 3 1 10 和式 3 1 11 并整理得到 m f f m f L s H 2 1 2 3 1 12 这里m是大于等于零的一个正数 如果m取零 则上述条件化 为 Hs ff2 3 1 13 这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样 m取得越大 则符合式 3 1 12 的采样频率会越低 但是 m有一个上限 因为 m f f L s 2 而为了避免混叠 延拓周期要大于两 倍的信号带宽 即Bfs2 因此 B f B f f f m LL s L 2 22 3 1 14 精品文档 3欢迎下载 由于N为不大于BfH 的最大正整数 因此不大于BfL 的最大正整数 为1 N 故有10 Nm 综上所述 要无失真的恢复原始信号 tx 采样频率 s f应满足 m f f m f L s H 2 1 2 10 Nm 3 1 15 f 0 0 f fX fXs L f H f H f L f L f H f H f L f sL mff sH fmf 1 sL mff sH fmf 1 s f s f 图图 3 33 3 带通采样信号的频谱带通采样信号的频谱 带通抽样定理在频分多路信号的编码 数字接收机的中频采样数字 化中有重要的应用 作为一个特例 我们考虑NBfH 1 N 的情况 即上截止频率为 带宽的整数倍 若按低通抽样定理 则要求抽样频率NBfs2 抽样 后信号各段频谱间不重叠 采用低通滤波器或带通滤波器均能无失 真的恢复原始信号 根据带通抽样 若将抽样频率取为Bfs2 m值 取为1 N 抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠 采用带通滤 波器仍可无失真地恢复原始信号 但此时抽样频率远低于低通抽样 定理NBfs2 的要求 图 3 4 所示为BfH3 Bfs2 时抽样信号的 频谱 精品文档 4欢迎下载 2B3B 3B 2B f 0 4B5B0 B f f 0B 5B 4B f 0B B fX s ffX s ffX fXs 图图 3 43 4 BfH3 Bfs2 时的抽样频谱时的抽样频谱 在带通抽样定理中 由于 10 M 带通抽样信号的抽样频率在 B2 到 B4 之间变化 如图 3 5 所示 s f H f 1 NM 2 1 3 1 4 1 5 1 B2B3B4B5B6B B 2B 3B 5B 0 图图 3 3 5 5 带通抽样定理带通抽样定理 由以上讨论可知 低通信号的抽样和恢复比起带通信号来 要简单 通常 当带通信号的带宽当带通信号的带宽B大于信号的最低频率大于信号的最低频率 L f时 在抽样时把信号当作低通信号处理 使用低通抽样定时 在抽样时把信号当作低通信号处理 使用低通抽样定 理理 而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理 模拟电 话信号经限带后的频率范围为 300Hz 3400Hz 在抽样时按 精品文档 5欢迎下载 低通抽样定理 抽样频率至少为 6800Hz 由于在实际实现 时滤波器均有一定宽度的过渡带 抽样前的限带滤波器不 能对 3400Hz 以上频率分量完全予以抑制 在恢复信号时也 不可能使用理想的低通滤波器 所以对语音信号的抽样频 率取为 8kHz 这样 在抽样信号的频谱之间便可形成一定 间隔的保护带 既防止频谱的混叠 又放松了对低通滤波 器的要求 这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样的方法 在实际应用中是很常见的 软件无线电所覆盖的频率范围一般都比较宽 只有宽频段才能具有广泛的适应性 这样宽的频段号的频谱Xs 可表示为 Xs 1 Ts n X n s 用 Nyquist 低通采样 1 是不现实的 而实际上软件无 线电中的各种无线电信号的瞬时信号带宽都比较 窄 这样采用带通采样将使采样速率大大降低 本 文重点是通过对带通采样定理进行严格的数学推导 和论证 利用一系列不等式组提出了带通采样理论 上能达到的最小采样速率 精品文档 6欢迎下载 用用 matlabmatlab 对定理进行仿真对定理进行仿真 fs 100000 抽样频率 N 2 16 t 0 N 1 fs t 时间 W 0 N 1 fs N W 频率 y cos 1200 2 pi t cos 1250 2 pi t cos 1300 2 pi t y 原始信号 chyang zeros 1 N 抽样信号 T round fs 250 频率为 250HZ for i 1 N if mod i T 0 chyang i 1 end end y2 y chyang y2 为抽样后的信号 精品文档 7欢迎下载 hw fft y N 快速傅里叶变换 HW abs hw 取幅度值 W 0 N 1 fs N 频率值 figure 1 subplot 2 1 1 plot t 1 8000 y 1 8000 grid on title 滤波前信号 y xlabel 时间 s 原始信 号 subplot 2 1 2 plot W 1 N 64 HW 1 N 64 查看信号频谱 grid on title 滤波前信号频谱图 xlabel 频率 Hz ylabel 振幅 H e jw 精品文档 8欢迎下载 hwch fft chyang N HWCH abs hwch 取幅度值 W 0 N 1 fs N 频率值 figure 2 subplot 2 1 1 stem t 1 10000 chyang 1 10000 grid on title 抽样信号 chyang xlabel 时间 s subplot 2 1 2 plot W 1 N 64 HWCH 1 N 64 agrid on title 抽样信号频谱图 xlabel 频率 Hz ylabel 振幅 H e jw 精品文档 9欢迎下载 hw2 fft y2 N 快速傅里叶变换 HW2 abs hw2 取幅度值 W 0 N 1 fs N 频率值 figure 3 subplot 2 1 1 plot t 1 8000 y2 1 8000 grid on title 采样之后 xlabel 时间 s subplot 2 1 2 plot W 1 N 64 HW2 1 N 64 设置带通滤波器 ws 1130 fs 2 1370 fs 2 ws1 ws2 阻带截止频 率 wp 1180 fs 2 1320 fs 2 wp1 wp2 通带截止频 率 n wn buttord wp ws 3 15 求滤波器阶数 n 与截止频率 精品文档 10欢迎下载 wn b a butter n wn 求滤波器 H s 的表达式的 分子分母系数 b a y3 filter b a y2 y2 为 y 经过滤波器之后的 函数 hw3 fft y3 N HW3 abs hw3 figure 4 subplot 2 1 1 plot t 1 8000 y3 1 8000 axis 0 0 1 0 02 0 02 grid on title 滤波后信号 xlabel 时间 s subp