斐波纳契《计算之书》中的数列问题

精品文档 1欢迎下载 斐波纳契斐波纳契 计算之书计算之书 中的数列问题中的数列问题 汪 晓 勤 华东师大数学系 上海 200062 斐波纳契 Leonardo Fibonacci 1170 1250 是中世纪欧洲最重要的数学家 其 代表作之一是 计算之书 1202 然而 除了包括 兔子问题 在内的少数名题外 人 们对此书的具体内容知之甚少 本文对该书第十二章 1 中的数列问题作一考察 以供 HPM 视角下 数列 教学设计之参考 1 1 等差数列等差数列 计算之书 的第十二章开篇给出等差数列的求和方法 设等差数列的首项 末项 项数 公差 前n项和分别为 n d和 斐波纳契有 1 a n a n S 命题命题 1 1 1 1 n aand 命题命题 2 2 若 则 1 2 nn n Saa 1 ad 1 1 2 nn n aa S a 由命题 2 易得 命题命题 3 3 2 1 3521nn 命题命题 4 4 24621nn n 问题 1 已知 求 1 7a 31 n a 3d n S 根据命题 1 斐波纳契先求得 再根据命题 2 求得 1 1 n aa n d n S 问题 2 求 36960 直接利用命题 2 的第二部分即可 问题 3 甲乙二人长途旅行 甲日行 20 里 乙第一日行 1 里 第二日行 2 里 第三日 行 3 里 依此类推 日增 1 里 问 二人几日后相遇 精品文档 2欢迎下载 由命题 2 故斐波纳契的解法如下 20 乘以 2 得 40 从中减去 1 得 120 2 n nn 39 此即二人相遇所需天数 问题 4 甲日行 21 里 乙从 1 里开始 日行里数按连续奇数逐日递增 问 几日后 乙追上甲 由命题 3 易得 21n 问题 5 甲日行 30 里 乙从 2 里开始 日行里数按连续偶数逐日递增 问 几日后 乙追上甲 由命题 4 易得 以下问题的解法均类似 29n 问题 6 甲日行 60 里 乙第一日行 3 里 第二日行 6 里 第三天 9 里 等等 问 几日后乙追上甲 问题 7 甲日行 60 里 乙第一日行 5 里 以后日增 5 里 问 几日后乙追上甲 在下面的问题中 甲的日行里数不能被乙的日增里数整除 问题 8 甲日行 10 里 乙第一日行 3 里 以后日增 3 里 问 几日后乙追上甲 因方程没有整数解 故取最近的一个正整数 5 5 日中甲行 50 里 乙 33 10 2 n nn 行 45 里 在第六日 乙日行 18 里 甲行 10 里 故日后乙追上甲 因此 日后乙追 5 8 5 5 8 上甲 在另一本高水平的数学著作 平方数之书 中 斐波纳契利用命题 3 解决了一位名叫 约翰 Johannes 的宫廷学者向他提出的难题 求一个有理数x 使得x2 5和x2 5都是 有理数的平方 2 2 2 高阶等差数列高阶等差数列 斐波纳契给出 命题命题 5 5 222 1 12121 6 nn nn 命题命题 6 6 2 22 1 132121214 12 nnnn 命题命题 7 7 2 22 1 24222242 12 nnnn 斐波纳契的一般结果是 精品文档 3欢迎下载 命题命题 8 8 设为等差数列 公差为 则有 12 n a aa 1 da 222 12n aaa 1 2 6 nnn aadad d 在 平方数之书 中 斐波纳契给出了上述公式推导 3 因 2 226 kkkkkkk aadadad aada d 分别令 将n个等式相加 得1 2 3 kn 2 111 1 226 n nnnk k aadadad aadda 即 2 111 1 1 22 6 n knnn k aaadadad aad d 令 即得命题 5 令 得命题 6 若 得命题 7 一 1 1ad 1 1 2ad 1 2ad 般地 令 即得命题 8 1 ad 应用命题 5 8 斐波纳契解决了如下的 问题 9 求 和 2222 12310 22222 13579 22222 246810 22222 48121620 对于更一般的首项为a 公差为d的等差数列 斐波纳契有 2 2 22 111 1211 nnn kkk akdnaadkdk 3 3 等比数列等比数列 等比数列是以连比例的形式出现的 斐波纳契给出 命题命题 9 9 如果是一等比数列 构成连比例 则有 12321 n a aaa 121222nn a aa a 2 11nnn aaa 精品文档 4欢迎下载 问题 10 将 10 分成不相等的三部分 使得最小部分乘以最大部分等于中间部分自乘 斐波纳契的解法是 先考察等比数列 1 2 4 三项相加得 7 但结果应为 10 故各 项乘以 依次得 和 10 7 3 1 7 6 2 7 5 5 7 问题 11 将 10 分成四部分 使第一部分乘以第四部分 等于第二部分乘以第三部分 又第一部分乘以第三部分等于第二部分自乘 第二部分乘以第四部分等于第三部分自乘 与问题 10 类似 考察数列 1 2 4 8 四项相加得 15 但结果应为 10 故各项乘以 即得所求 2 3 问题 12 将 10 分成五部分 使第一部分乘以第五部分等于第二部分乘以第四部分 等于第三部分自乘 且第一部分乘以第四部分等于第二部分乘以第三部分 第一部分乘以 第三部分等于第二部分自乘 第二部分乘以第五部分等于第三部分乘以第四部分 第三部 分乘以第五部分等于第四部分自乘 同上题 考察数列 1 2 4 8 16 五项相加 31 但结果应为 10 故各项乘以 10 31 即得所求 显然 上述三题的答案并不唯一 因为可以构造出无数个等比数列 问题 13 棋盘 64 格 上的数列满足 任意一项等于它前面一项的两倍 求棋盘上数 列各项的和 斐波纳契十分熟悉下面的结果 命题命题 1010 21 122221 nn 由此可得棋盘上数列之和为 但这个数字实 64 2118 446 744 073 709 551 615 在太大了 于是斐波纳契给出了一种记法 将 65536 即棋盘前两行之和再加 1 比占的金 币 古罗马金币单位 装入一个保险箱 将 65536 个这样的保险箱放进一座房子 再将 65536 座这样的房子放进一座城市 于是 65536 座这样的城市所含的金币数减去 1 就是 棋盘上所有数字之和 问题 14 某人投资 1 第纳尔生利 五年后 获 1 第纳尔的两倍 又五年 获 2 第纳尔 的两倍 因此每五年本息翻一番 求从这 1 第纳尔经过 100 年后增长到多少第纳尔 问题 15 一人出售 20 双皮鞋 第一双卖 1 第纳尔 第二双卖 2 第纳尔 第三双卖 4 第纳尔 依次加倍直到最后一双 求卖得的总钱数 利用命题 10 问题 15 中的总钱数比问题 14 中的钱数少 1 精品文档 5欢迎下载 问题 16 7 个老翁去罗马 每人有 7 匹骡子 每匹骡子负 7 个袋子 每只袋子装 7 块 面包 每块面包配有 7 把刀 每把刀配有 7 个鞘 求总数 斐波纳契给出两种解法 其中第一种是逐项直接相加 第二种类似于古代埃及祭司的 递推方法 65 7 17 17 17 17 177 1SS 从斐波纳契的解法中 我们不难得出等比数列求和公式的一种推导方法 命题命题 1111 首项为a 公比为q的等比数列前n项和为 则 n S 1nn SaqS 问题 17 树有百枝 枝有百巢 巢有百卵 卵有百禽 求总数 利用问题 16 中的方法 可得 4 100 1 100 1 100 1 100101010100S 以下三问所求均为等比数列的一项 问题 18 某人有 100 镑 每年每 4 镑本金盈利 1 镑 18 年后他得到多少镑 问题 19 一人持有 100 比占的金币 过 12 座城市 在每座城市 他必须交纳的金 1 10 币 问 此人离开第 12 座城市时 身上还剩多少金币 问题 20 有个大酒桶里有 100 小桶的酒 每月从中拿走剩下的十分之一 求在年末的 时候 即 12 个月后 剩下多少小桶的酒 4 4 递推数列递推数列 问题 21 某人将 100 镑存入银行 每镑月息为 4 第纳尔 每年取出 30 镑 问 每年 减少几镑 他的钱能在银行存几年 几月 几天和几小时 在这个问题中 我们设为第年取款后帐户上所余钱数 则数列满足 n an n a 0 100a 1 6 30 5 nn aa 设 斐波纳契发现 是一个公比为的等比数列 前七项分别为 1nnn baa n b 6 5 1 10b 2 12b 3 2 14 5 b 4 7 17 25 b 5 92 20125b 6 552 24 625 b 7 2687 29 3125 b 从 100 中减去前六项之和 得 为六年后帐户余钱 除以 再化为小时 187 99 625 438 625 7 b 精品文档 6欢迎下载 按 1 年 360 天 1 天 12 小时计算 得第七年所存时间为 8 天小时 7 818 一般地 我们有 命题命题 1212 设递推数列满足 n a 01 nn aa aqap 0 0 0apq 则是一公比为的等比数列 1nnn baa n bq 问题 22 一人经过 7 道门进入果园 摘苹果若干 离开果园时 他把一半苹果加上 个苹果给了第一个门卫 把剩下的一半加上一个给了第二个门卫 依次把剩下的苹果分给 其他五个门卫 最后 只剩下 个苹果 问 此人在果园摘了多少个苹果 斐波纳契用两种方法来解本题 我们用一般形式来说明其中的第一种方法 第二种为 一元一次方程解法 假设进入果园须经过若干道门 由外到内依次为第 1 道 第 2 道 等 等 园 n 园 园 3 园 园 2 园 园 园 园 1 园 图 1 乐园摘果 见图 1 离开果园 通过第n道门后剩下的苹果数为 则为一递推数列 满足 n a n a 11 1 21 nn aaa 斐波纳契给出了数列的前 8 项 1 4 10 22 46 94 190 382 但没有给出通项公 式 1 3 22 n n a 问题 23 某人经商 共有四种砝码 可用来称 1 40 之间的所有整数磅 求每种砝码 各重几磅 后人误将本问题称为 Bachet 砝码问题 斐波纳契给出的答案是 四种砝码的重量 从小到大依次为 1 3 9 27 斐波纳契还将问题加以推广 设可用来称从 1 磅开始的任 意连续整数磅 砝码的重量从小到大依次为 则数列是一个递 1 a 2 a n a n a 精品文档 7欢迎下载 推数列 满足 1121 1 211 nn aaaaan 由递推关系得 故是首项为 1 公比为 3 的等比数列 如 用 1 31 nn aan n a 1 3 9 27 81 四个磅数的砝码 可以称从 1 磅开始直到 121 磅的重量 问题 24 一对兔子 出生后第三个月可以繁殖出一对小兔子 问一对兔子一年中可繁 殖出多少对兔子 斐波纳契数列即因本题而诞生 斐波纳契给出了各月兔子对数之间的递推关系 但他不曾寻找这个数列的通项公式 更意想不到它会有如此广泛 12 3 nnn aaan 的应用 问题 25 棋盘上的数列满足 任意一项等于它前面所有各项和的两倍 求棋盘上数 列各项之和 本问题中的数列为递推数列 满足 设前n项和 1121 1 2 nn aaaaa 为 则斐波纳契的求和方法可以归结如下 n S 因 故 121 2 nn aaaa 121 121121 121 1 2 3 3 nnn nn n n Saaaa aaaaaa aaa S 于是知 数列是一个首项为 1 公比为 3 的等比数列 因此 从而得 n S 1 3n n S 所求和为 斐波纳契只给出数 63 64 31 144 561 273 430 837 494 885 949 696 427S 列的前几项 而没有给出通项公式 事实上 由已知递推关系立得 n a 1 1a 1 2 nn aS 2 2 32 n n 5 5 余余 论论 计算之书 是斐波纳契商途中学到的各地数学知识的之集大成者 许多问题都源于 古代埃及 巴比伦 中国 印度 希腊 阿拉伯的数学文献以及欧洲黑暗时期的作者如阿 精品文档 8欢迎下载 尔昆 Alcuin 735 804 等的数学著作 类似于问题 3 8 的行程问题已见于中国汉代 九章算术 中的盈不足章 今有良马与驽马发长安 至齐 齐去长安三十里 良马初 日行一百九十三里 日增一十三里 驽马初日行九十七里 日减半里 良马先至齐 复还 迎驽马 问 几何日相逢及各行几何 问题 16 是莱因得纸草书和古巴比伦泥版上有关等 比数列问题的翻版 问题 17 则让我们想起 孙子算经 出门望堤 问题 今有出门望 见九堤 堤有九木 木有九枝 枝有九巢 巢有九禽 禽有九雏 雏有九毛 毛有九色 问各几何 另文介绍 斐波纳契的命题 10 已为阿尔昆以及 10 世纪的阿拉伯数学家所 知 但在递推数列方面 斐波纳契多有创新 除了印度数学家婆什伽罗 Bhaskara 1114 1185 的 丽拉沃蒂 另文介绍 计算之书 是历史上最早较系统地讨论数列问 题解法的数学著作 古人不见今时