函数的周期性练习题兼答案

1 函数周期性分类解析函数周期性分类解析 一 定义 若 T 为非零常数 对于定义域内的任一 x 使恒 xfTxf 成立 则 f x 叫做周期函数 T 叫做这个函数的一个周期 二 重要结论 1 则是以为周期的周期函数 f xf xa yf x Ta 2 若函数 y f x 满足 f x a f x a 0 则 f x 为周期函数且 2a 是它的一个周期 3 若函数 则是以为周期的周期函数 f xaf xa xf2Ta 4 y f x 满足 f x a a 0 则 f x 为周期函数且 2a 是它的一个周期 xf 1 5 若函数 y f x 满足 f x a a 0 则 f x 为周期函数且 2a 是它的一个周 xf 1 期 6 则是以为周期的周期函数 1 1 f x f xa f x xf2Ta 7 则是以为周期的周期函数 1 1 f x f xa f x xf4Ta 2 8 若函数 y f x 满足 f x a x R a 0 则 f x 为周期函数且 4a 是它 1 1 xf xf 的一个周期 9 若函数 y f x 的图像关于直线 x a x b b a 都对称 则 f x 为周期函数且 2 b a 是它的一个周期 10 函数的图象关于两点 都对称 则 yf x xR 0 A a y 0 B b y ab 函数是以为周期的周期函数 f x 2 ba 11 函数的图象关于和直线都对称 则函 yf x xR 0 A a yxb ab 数 是以为周期的周期函数 f x 4 ba 12 若偶函数 y f x 的图像关于直线 x a 对称 则 f x 为周期函数且 2是它a 的一个周期 13 若奇函数 y f x 的图像关于直线 x a 对称 则 f x 为周期函数且 4是它的a 一个周期 14 若函数 y f x 满足 f x f x a f x a a 0 则 f x 为周期函数 6a 是它的一个周 期 15 若奇函数 y f x 满足 f x T f x x R T 0 则 f 0 2 T 3 函数的周期性练习题高一函数的周期性练习题高一 一 选择题 共一 选择题 共 15 小题 小题 1 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x f x 2 f x 2 且 x 1 0 时 f x 2x 则 f log220 A 1B C 1D 2 设偶函数 f x 对任意 x R 都有 f x 3 且当 x 3 2 时 f x 4x 则 f 107 5 A 10 B C 10 D 3 设偶函数 f x 对任意 x R 都有 f x 且当 x 3 2 时 f x 4x 则 f 119 5 A 10 B 10 C D 4 若 f x 是 R 上周期为 5 的奇函数 且满足 f 1 1 f 2 3 则 f 8 f 4 的值为 A 1 B 1C 2D 2 5 已知 f x 是定义在 R 上周期为 4 的奇函数 当 x 0 2 时 f x 2x log2x 则 f 2015 A 2B C 2D 5 6 设 f x 是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数 如图表示该函数在区间 2 1 上的图象 则 f 2014 f 2015 A 3B 2C 1D 0 7 已知 f x 是定义在 R 上的偶函数 并满足 当 2 x 3 f x x 则 f 5 5 A 5 5 B 5 5 C 2 5 D 2 5 8 奇函数 f x 满足 f x 2 f x 当 x 0 1 时 f x 3x 则 f log354 A 2 B C D 2 4 9 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 0 且周期是 4 若 f 1 5 则 f 2015 A 5 B 5C 0D 3 10 f x 对于任意实数 x 满足条件 f x 2 若 f 1 5 则 f f 5 A 5 B C D 5 11 已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 5 f x 5 且 0 x 5 时 f x 4 x 则 f 1003 A 1B 0C 1D 2 12 函数 f x 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数 当 0 x 2 时 f x x2 x 则函数 y f x 的图象在区间 0 6 上与 x 轴的交点个数为 A 6B 7C 8D 9 13 已知函数 f x 是定义在 上的奇函数 若对于任意的实数 x 0 都有 f x 2 f x 且当 x 0 2 时 f x log2 x 1 则 f 2014 f 2015 f 2016 的值为 A 1 B 2C 2D 1 14 已知 f x 是定义在 R 上且周期为 3 的函数 当 x 0 3 时 f x 2x2 4x 1 则方程 f x 在 3 4 解的个数 A 4B 8C 9 D 10 15 已知最小正周期为 2 的函数 f x 在区间 1 1 上的解析式是 f x x2 则函数 f x 在实数集 R 上的图象与函数 y g x log5x 的图象的交点的个 数是 A 3 B 4C 5D 6 二 填空题 共二 填空题 共 10 小题 小题 16 已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f 1 且对任意的 x 都有 f x 3 则 f 2014 17 若 y f x 是定义在 R 上周期为 2 的周期函数 且 f x 是偶函数 当 x 0 1 时 f x 2x 1 则函数 g x f x log5 x 的零点个数为 18 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 则 f 2013 的值为 5 19 定义在 R 上的函数 f x 的图象关于点 0 对称 且满足 f x f x f 1 1 f 0 2 则 f 1 f 2 f 3 f 2010 的值为 20 定义在 R 上的函数 f x 满足 当 x 0 4 时 f x x2 1 则 f 2011 21 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 6 f x 当 3 x 1 时 f x x 2 2 当 1 x 3 时 f x x 则 f 1 f 2 f 3 f 2012 22 若函数 f x 是周期为 5 的奇函数 且满足 f 1 1 f 2 2 则 f 8 f 14 23 设 f x 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数 若 f 2 1 f 2014 则实数 a 的取值范围是 24 设 f x 是周期为 2 的奇函数 当 0 x 1 时 f x 2x 1 x 则 25 若 f x 2 则 f 2 f 14 三 解答题 共三 解答题 共 5 小题 小题 26 设 f x 是定义在 R 上的奇函数 且对任意实数 x 恒有 f x 2 f x 当 x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当 x 2 4 时 求 f x 的解析式 3 计算 f 0 f 1 f 2 f 2004 27 函数 f x 是以 2 为周期的偶函数 且当 x 0 1 时 f x 3x 1 1 求 f x 在 1 0 上的解析式 6 2 求的值 28 已知定义域为 R 的函数 f x 为奇函数 且满足 f x 4 f x 当 x 0 1 时 f x 2x 1 1 求 f x 在 1 0 上的解析式 2 求 f 24 的值 29 已知函数 f x 既是奇函数又是周期函数 周期为 3 且 x 0 1 时 f x x2 x 2 求 f 2014 的值 30 定义在 R 上的奇函数 f x 有最小正周期 2 且当 x 0 1 时 f x 2x 2 x 1 求 f x 在 1 0 上的解析式 2 判断 f x 在 2 1 上的单调性 并给予证明 7 函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 15 小题 小题 1 解答 解 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 函数 f x 为奇函数 又 f x 2 f x 2 函数 f x 为周期为 4 是周期函数 又 log232 log220 log216 4 log220 5 f log220 f log220 4 f log2 f log2 f log2 又 x 1 0 时 f x 2x f log2 1 故 f log220 1 故选 C 2 解答 解 因为 f x 3 故有 f x 6 f x 函数 f x 是以 6 为周期的函数 f 107 5 f 6 17 5 5 f 5 5 故选 B 3 解答 解 函数 f x 对任意 x R 都有 f x f x 3 则 f x 6 f x 即函数 f x 的周期为 6 f 119 5 f 20 6 0 5 f 0 5 又 偶函数 f x 当 x 3 2 时 有 f x 4x f 119 5 故选 C 4 解答 解 f x 是 R 上周期为 5 的奇函数 f x f x f 1 f 1 可得 f 1 f 1 1 8 因为 f 2 f 2 可得 f 2 f 2 3 f 8 f 8 5 f 3 f 3 5 f 2 3 f 4 f 4 5 f 1 1 f 8 f 4 3 1 2 故选 C 5 解答 解 f x 的周期为 4 2015 4 504 1 f 2015 f 1 又 f x 是定义在 R 上的奇函数 所以 f 2015 f 1 21 log21 2 故选 A 6 解答 解 由图象知 f 1 1 f 1 2 f x 是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数 f 2014 f 2015 f 1 f 1 1 2 3 故选 A 7 解答 解 f x f x 4 f x 即函数 f x 的一个周期为 4 f 5 5 f 1 5 4 f 1 5 f x 是定义在 R 上的偶函数 f 5 5 f 1 5 f 1 5 f 1 5 4 f 2 5 当 2 x 3 f x x f 2 5 2 5 f 5 5 2 5 故选 D 8 解答 解 f x 2 2 f x 2 f x f x 是以 4 为周期的奇函数 又 9 f log354 2 故选 A 9 解答 解 在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 0 则 f x f x 所以函数是奇函数 由于函数周期是 4 所以 f 2015 f 504 4 1 f 1 f 1 5 故选 B 10 解答 解 f x 2 f x 2 2 f x f x 是以 4 为周期的函数 f 5 f 1 4 f 1 5 f f 5 f 5 f 5 4 f 1 又 f 1 f f 5 故选 B 11 解答 解 f x 5 f x 5 f x 10 f x 则函数 f x 是周期为 10 的周期函数 则 f 1003 f 1000 3 f 3 4 3 1 故选 C 12 解答 解 当 0 x 2 时 f x x2 x 0 解得 x 0 或 x 1 因为 f x 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数 故 f x 0 在区间 0 6 上解的个数为 6 又因为 f 6 f 0 0 故 f x 0 在区间 0 6 上解的个数为 7 即函数 y f x 的图象在区间 0 6 上与 x 轴的交点的个数为 7 故选 B 13 解答 解 f x 2 f x f 2014 f 2016 f 0 log21 0 f x 为 R 上的奇函数 f 2015 f 2015 f 1 1 f 2014 f 2015 f 2016 0 1 0 1 故选 A 14 解答 解 由题意知 f x 是定义在 R 上且周期为 3 的函数 当 x 0 3 时 f x 2x2 4x 1 10 在同一坐标系中画出 函数 f x 与 y 的 图象如下图 由图象可知 函数 y f x 与 y 在区间 3 4 上有 10 个交点 互不相同 所以方程 f x 在 3 4 解的个数是 10 个 故选 D 15 解答 解 函数 f x 的最小正周期为 2 f x 2 f x f x x2 y g x log5x 作图如下 函数 f x 在实数集 R 上的图象与函数 y g x log5x 的图象的交点的个数 为 5 故选 C 二 填空题 共二 填空题 共 10 小题 小题 16 解答 解 对任意的 x 都有 f x 3 f x 6 f x 函数 f x 为周期函数 且周期 T 6 f 2014 f 335 6 4 f 4 f 1 3 5 故答案为 5 17 解答 解 当 x 0 1 时 f x 2x 1 函数 y f x 的周期为 2 11 x 1 0 时 f x 2 x 1 可作出函数的图象 图象关于 y 轴对称的偶函数 y log5 x 函数 y g x 的零点 即为函数图象交点横坐标 当 x 5 时 y log5 x 1 此时函数图象无交点 如图 又两函数在 x 0 上有 4 个交点 由对称性知它们在 x 0 上也有 4 个交点 且 它们关于直线 y 轴对称 可得函数 g x f x log5 x 的零点个数为 8 故答案为 8 18 解答 解 由分段函数可知 当 x 0 时 f x f x 1 f x 2 f x 1 f x f x 1 f x 1 f x 2 f x 1 f x 1 f x 2 即 f x 3 f x f x 6 f x 即当 x 0 时 函数的周期是 6 f 2013 f 335 6 3 f 3 f 0 log2 8 0 log28 3 故答案为 3 19 解答 解 由 f x f x 得 f x 3 f x f x f x 所以可得 f x 是最小正周期 T 3 的周期函数 由 f x 的图象关于点 0 对称 知 x y 的对称点是 x y 即若 y f x 则必 y f x 或 y f x 而已知 f x f x 故 f x f x 12 今以 x 代 x 得 f x f x 故知 f x 又是 R 上的偶函数 于是有 f 1 f 1 1 f 2 f 2 3 f 1 1 f 3 f 0 3 f 0 2 f 1 f 2 f 3 0 以下每连续 3 项之和为 0 而 2010 3 670 于是 f 2010 0 故答案为 0 20 解答 解 由题意知 定义在 R 上的函数 f x 有 则令 x x 2 代入得 f x 4 f x 函数 f x 是周期函数且 T 4 f 2011 f 4 502 3 f 3 当 x 0 4 时 f x x2 1 f 3 8 即 f 2011 8 故答案为 8 21 解答 解 当 3 x 1 时 f x x 2 2 f 3 1 f 2 0 当 1 x 3 时 f x x f 1 1 f 0 0 f 1 1 f 2 2 又 f x 6 f x 故 f 3 1 f 4 0 f 5 1 f 6 0 又 2012 335 6 2 故 f 1 f 2 f 3 f 2 012 335 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 1 f 2 335 1 2 338 故答案为 338 22 解答 解 由题意可得 f 8 f 8 10 f 2 f 2 2 f 14 f 14 15 f 1 f 1 1 故有 f 8 f 14 2 1 1 故答案为 1 23 解答 解 解 由 f x 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数 则 f x 3 f x f x f x f 2014 f 3 672 2 f 2 f 2 13 又 f 2 1 f 2014 1 即 1 即为 0 即有 3a 2 a 1 0 解得 1 a 故答案为 24 解答 解 f x 是周期为 2 的奇函数 当 0 x 1 时 f x 2x 1 x f f 2 1 故答案为 25 解答 解 由题意可得 f 2 sin sin 6 sin 同理可得 f 14 f 16 2 log216 4 f 2 f 14 4 故答案为 三 解答题 共三 解答题 共 5 小题 小题 26 解答 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为 4 的周期函数 2 解 当 x 2 0 时 x 0 2 由已知得 f x 2 x x 2 2x x2 又 f x 是奇函数 f x f x 2x x2 f x x2 2x 又当 x 2 4 时 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又 f x 是周期为 4 的周期函数