矩阵的合同变换

精品文档 1欢迎下载 矩阵的合同变换矩阵的合同变换 摘要 矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中 基本交换 在 高等代数 里 我们仅讨论简单而直接的变换 而矩阵的合同变换与矩阵相似变换 二次 型等有着诸多相同性质和联系 关键词 矩阵 秩 合同 对角化 定义 1 如果矩阵 A 可以经过一系列初等变换变成 B 则积 A 与 B 等价 记 为AB 定义 2 设 A B 都是数域 F 上的 n 阶方阵 如果存在数域 F 上的 n 阶段可 逆矩阵 P 使得 则称 A 和 B 相似 1 BP Ap AB 定义 3 设 A B 都是数域 F 上的 n 阶矩阵 如果存在数域 F 上的一个 n 阶可逆矩阵 P 使得 T P APB 那么就说 在数域 F 上 B 与 A 合同 以上三个定义 都具有自反性 传逆性 对称性 性 定理 1 合同变换与相似变换都是等价变换 证明 仅证合同变换 相似变换完全相似 因为 P 可逆 所以 P 存在一系列初等矩阵的乘积 即 12m PQQQ 此时边为一系列初等矩阵的乘积 7 11 TTT mn PQQQ 若 则 B 由 A 经过一系列初等变换得到 所以 111 TTTT mnm BP APQ QQ AQQ 从而知合同变换是等价变换 AB 定理 2 合同变换与相似变换 不改变矩阵的秩 证明 由 知 合同变换与相似变换都是等价变换 所以不改变秩 定理 3 相似矩阵有相同特征多项式 证明 共 1 ABBP AP 1 det delIBIP AP 又因为为对称矩阵I 所以 11 det IP APPIA P 1 PIA P IA 注 合同不一定有相同特征多项式 定理 4 如果 A 与 B 都是 n 阶实对称矩阵 且有相同特征根 则 A 与 B 相似且合同 论 设 A B 为特征根均为 因为 A 与 B 实对称矩阵 所以则在 n 阶正 矩 12 n 阵 使得 Q P 1 12 Q AQ 1 1 n P BP 从而有 11 Q AQP BP 精品文档 2欢迎下载 11 PQ AQPB 由 11 Q QE PPE 从而有 1111 PQ QPPEPPPE 从而 111 PQQP 又由于 1111 QPQPTQPPTQT 1 TT QPPTQ T QQ 1 QQ E 为正交矩阵 1 QP 所以且AB AB 定时 5 两合同矩阵 若即 若 A 为对称矩阵 则 B 为对称阵 而两相似矩PTAPB 阵则不一定有些性质 证明 即 若对称阵 则AB T P APB T AA TTT BP AP TT P A P T P AP B 所以 B 边为对称阵 注 相似矩阵对此结论不具有一般性 它在什么情况下成立呢 引理 6 对称矩阵相似于对角阵A 的每一个特征根有秩 S 为的 IAns 重数 证明 任给对称的 n 阶矩阵 A 一个特征根 以其重数以秩 则 IAr 线性无关的解向量个数为个 即 5 rnsnrsIA 1 2 0 0 0 n x x x nr 个 又因属不同特征根的特征向量线性无关 n 阶对称阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 n 阶对称阵可对角化 从定理 5 引理 6 中我们发现了合同在应用中的侧重点 如对二次型应用 例 求一非线性替换 把二次型 123122313 262f x x xx xx xx x 二次型矩阵为 23 f x x x 精品文档 3欢迎下载 0 11 1 03 13 0 A 对 A 相同列与行初等变换 对矩阵 E 施行列初等变换 212 103 230 A 200 020 006 100111 110111 001101 E 11 22 33 113 111 001 xy xy xy 可把二次型化为标准型 222 123123 226f x x xyyy 解法 2 212 103 230 A 210 102 022 200 1 02 2 022 200 1 00 2 006 此时 222 123123 1 26 2 f x x xzzz 此时非线性退化替换为 11 22 33 1 13 2 1 11 2 001 xz xz xz 发现在注 1 任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的 精品文档 4欢迎下载 特性 1 在合同变换中具有变换和结果的多样性 注 在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢 例 3 用可逆性变换化二次型 222 123123123123 2 2 2 f x x xxxxxxxxxx 解 222 112132233 666666fxx xx xxx xx 对二次型矩阵为 633 363 336 A 100 600600 010 999 633 000 000 222 363 9900011 33601 221 6118 10011 11 22 1 01010 221 18 01 001 010 2 2 01 001001 18 A E E B 标准形 则 22 12 fyy 11 22 33 11 1 618 2 01 18 001 xy xy xy PTAB 注 当 P 改变两行的位置交换后 发现 12 0001 618 63 31 00 2111 036310 10 1818618 33600 0 001 111 定理 2 在 A 为对角线上元素相等 其余元素也相等 则若有 则调整 P 的 T P APB 任意两行 对角阵形式不变 证明 设初等变换的对调变换矩阵为 J 显然于是有 TTT J JE J AJJAJA tTTTTTTT BP APP EAEPPJ J A J J PJPJAJPJPA JP 而 P 与 JP 相比仅是行的排列顺序不同 因此任意调整 P 的行 所得对角阵相同 注 以上为特殊条件下成立 如果在一般情况下呢 精品文档 5欢迎下载 例 4 求实对称矩阵求可逆阵 P 使得为对角阵 220 212 020 A T P AP 3221 2132 2 2 220200200 212012010 020020004 100110112 010010012 001001001 cccc rrrr A E 1 112400 112010 001002 T PP APBB 我们得到 1 211 211 000 P 11 T P APB 定理 7 设 对称矩阵 B 为对角矩阵 若要调换 B 对角线上任意两个元 T P APB A 素的位置得到 则只要调控 B 中对左的两列 可得到 P 使得 即 P 的列与 1 B 11 T P APB B 中元素的对应性 证明 初等调换矩阵为 J 显然 T JJ 11 11 TTTT BJ BJJ P APJPJA PJP AP 与相比 只是列的排列顺序发生了改变P 1 P 的列与 B 的对角线上元素具有对应性P 自己写例 定理 8 如果对角线上的元素分别扩大得 则不要将P中对应的对应角 222 12 n CCC 2 B 线元素扩大 即可得到使得 1 1 C 2 P 222 T P APB 证明 设初等变换的倍乘变换矩阵为 对角线上第 J 个元素 形 2 J 2 J 1 C 1 22 1 C JC 则有 22222 TT BJBJJJ 2222211 TTTT BJ P PJPJ J APJP AP 中第 J 个元素为 B 的倍而 且其中对角线 J 个元素是 P 中对角线 2 B 2 1 C 22 PPJ 2 P 元素 CJ 倍 例 已知对称矩阵求可逆矩阵 P 使且对角形式 1211 2113 1131 1310 A T P AP 精品文档 6欢迎下载 解 10111001 03110311 11310122 11101120 A 1000 1000 1000 0301 0300 0311 77 700 0122000 33 3 01217 0003011 3 对单位阵 E 进行相应列初等变换得 则有 1 122 3 1 010 3 0011 0001 EP 1 3 13 7 3 3 T P AP 14 1 1 1 1 BE 则此时有得 1 1 122 3 11 00 33 3 001 7 1 000 3 P 111 T P APB 综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系 而且其本身也有着变换矩 阵多样多样 和结果的不确性 在对其特 性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法 主要参考文献 1 北大数学系 高等代数第二版 2 上海交大线性代数编写 线性代数 第三版 M 3 张禾瑞 高等代数 M 4 付立志 对称矩阵对角化相似变换模型 5 王晓玲 矩阵三种关系问联系 6 Brickell EF A Few Results in message Autheutication congress Numerantium 1984 43 141 154 精品文档 7欢迎下载 矩阵的合同变换及性质 定义 设 A B 是数域 F 上两个阶矩阵 如果存在一个阶可逆矩阵 P 使得成 T BP AP 立 那么 B 与 A 合同 特性 合同变换具有模型化 程序化的简便性 引理 1 在矩阵中 任意对角矩阵与合同 J 对角阵 证明 数学归纳法 当时 定理显然成立1n 设时 定理对阶对称阵成立 A 上阶对称囝1n 1n 若则 A 本身已为对角阵0A 不妨设0A 1 讨论 A 的对角线上元素不全为 0 的情况 这都可通过三行或列初等变换 使得 111 2112 1 00 0 0 ss a EE E AE EE A 这里是阶对称阵 由归纳假设 存在则有阶可逆阵 使 1 A1n 1n 1 a 现取 2 111 0 0 T c Q AQ cn 12 1 100 0 0 s QPE EE Q Q 则 11 11 21122 111 00 0 0 0 0 TTTTT SS T n a a P APQ EE E AE EE Qc Q AQ c 2 若 由 可通过对应的行列初等变换 使问题归结到 i0 1 2 ii ain 0A 的情怀 合同矩阵变换的应用 主要应用于二次型上 而二次型主要对积矩阵 而二次型 化简 一般都归结为对称实矩阵 A 的合同变换在 12 T n f x xxx AX 特性 1 合同变换具有模型化 程序化的简便性 定理 1 若在对称矩阵 A 的下六并上一个单位矩阵 作列变换 则对的行与列分别六 色以一系列的对称 初等变换使其式为对角阵时 单位阵成为 A 的合同变换矩阵 特性 2 合同变换具有变换和结果的多样性 采取不同的合同变换 不仅可以得到不 同的对角矩阵而且还可以得到相同的对角陈 例 已知实对称矩阵求可逆矩阵 P 使为对角矩阵 0100 1000 0021 0012 A T APAP 解由于且 可见为使 为对角矩阵 实质上是 t AA 2 TT APAPP A P T APAP 精品文档 8欢迎下载 使合同于对角矩阵 0000 0100 0054 0045 A 43 3 42 5 4 4 5 5 1000 1000 0100 0100 0050 0054 9 000 0045 5 10001000 01000100 00104 001 5000 1 000 1 A rr Lc A E 故可逆矩阵 2 10001000 01000100 40050 001 59 000 0001 5 T PP A P 2 1000 0100 11 00 22 11 00 22 P 当 2 TT APAPP A P 1000 0100 0010 0009 定理 3 设为对称矩阵 B 为对角矩阵 若要调换 B 的对角线上任意两个 T P APB A 元素的位置得到 则只要调换 P 中对应两列 可得到 使得 即 P 的列与 1 B 1 P 7 111 P APB 的列与 B 具有对应性 说明 没妆等变换的对调多换矩阵为 J 显然 1 T JJ 11 11111111 T BJ BJJ P APJPJAPJP AP 与相比 列的排列顺序不同 因此 P的列与 B 的对角线上元素具P 11 PPJ 有对应性 特性 3 合同变换具有变换矩阵列但是与对角线元素的对应性 定理 4 若要将 B 的对角线上第 j 个元素扩大得到 则只要得 P 中对应第 j 列扩 2 C 2 B 大 c 倍 即得到 使得 2 P 222 T P APB 精品文档 9欢迎下载 证明 设初等变换的倍乘变换矩阵为 的对角线上第 j 个元素为 c 其余为 1 2 J 2 J 显然 1 22 JJ 111 222222222 BJ BJJ P APJPJAPJP AP 中的第 j 个元素 B 的 2 B 我们发现 j 合同变换在对角化中有简易行 凸现其方法 变换矩阵 和结果 对角阵 的 二 合同变换的本质 在 n 阶实对称阵 A 和 B 的正负惯性指标都一样 则有表示为 A 到 B 的合同变 a SA B 换矩车构成的集合 引理 1 假设实对称矩阵 A 和 B 的正负惯性指标都一样 则为群 1 c SAB 证明 对于任意的 则存在 使 12 cc PSA B PSA B 1020 CSA B CSA B 得因此 因此 11 1122 Pc c Pc c 11 12122 PPc cPc c 1111 121212 PPc