高数(A)2009春季答案

中国农业大学中国农业大学 2008 2009 学年学年 春季学期春季学期 2009 高等数学高等数学A 下 下 课程考试试题参考解答课程考试试题参考解答 一 单项选择题一 单项选择题 满分满分 15 分 每小题分 每小题 3 分 共分 共 5 道小题道小题 请将合适选项填在括号内 请将合适选项填在括号内 1 函数函数 3y zxe 的全微分 的全微分 C dz A 2 2 y x dxe dy B 2 3 y x dxe dy C 2 3 y x dxe dy D 2 3 y e dxx dy 2 球面在点球面在点 222 1xyz 22 0 22 P 处的切平面方程是 处的切平面方程是 D A 20 xy B 20 xy C 20 xy D 20 xy 3 设区域设区域 2 11 1 Dx yxxy 二重积分 二重积分 2 cos D x xxy dxdy B A B 1 0 C D 1 1 2 4 级数级数 1 1 n nn 的敛散性为 的敛散性为 A A 条件收敛 条件收敛 B 绝对收敛 绝对收敛 C 发散 发散 D 其它选项都不对 其它选项都不对 5 曲线曲线 22 1 4 4 zxy y 在点处的切线对于在点处的切线对于 5 4 2 x轴的倾角为 轴的倾角为 C A 3 B 3 C 4 D 4 二 填空题二 填空题 满分满分 15 分 每小题分 每小题 3 分 共分 共 5 道小题道小题 请将答案填在横线上 请将答案填在横线上 1 dx xy dyI y 55 1 ln 1 4 1 2 设设L是圆周 曲线积分是圆周 曲线积分 222 Ryx 22 L xyds 3 2 R 3 设设 x x xf 2 0 2 01 可以展开为正弦级数 此正弦级数在可以展开为正弦级数 此正弦级数在 4 x 处收敛于处收敛于 1 解解 由于由于 4 x是的连续点 则的正弦级数在是的连续点 则的正弦级数在 xf xf 4 x收敛于收敛于1 4 f 4 微分方程的通解为微分方程的通解为 2yyy 0 12 x ycc x e 5 函数函数 33 3f x y zzxyzy 在点处的梯度为在点处的梯度为 1 2 3 18 3 21 三 满分三 满分 10 分 设分 设 22 lzf xyx y n2 求 求 z x 和和 2z x y 其中具有二阶连续偏导数 其中具有二阶连续偏导数 f 解解 2 122 z f yfxy x 2z x y 3322 12112212 22225yfxfxy fx yfx y f 四四 满分 满分 10 分 计算曲线积分分 计算曲线积分 22 L xy dyx ydx 其中 其中L为圆周的正向为圆周的正向 222 ayx 解解 22 xyQyxP 22 y x Q x y P 由格林公式 得 由格林公式 得 ydxxdyxy L 22 222 xya QP dxdy xy 222 22 xya xydxdy 2 4 0 3 2 0 a drrd a 五 满分五 满分 10 分 试将函数分 试将函数 2 0 x t fxe dt展成展成x的幂级数 要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛 域 的幂级数 要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛 域 解 解 因为因为 0 n n t n t e t 则则 0 2 2 n n t n t e t 将上式两端逐项积分 得将上式两端逐项积分 得 x n n x t dt n t dtexf 0 0 2 0 2 2 00 2 n x n dt n t 0 12 12 n n nn x x 六 满分六 满分 12 分 计算曲面积分分 计算曲面积分 323232 222 xzdydzyxdzdxzydxdy I xyz 其中是上半球面其中是上半球面 22 1yxz 的上侧的上侧 解解 添加辅助曲面 取下侧 使构成封闭曲面 记所围成的空间闭区域为添加辅助曲面 取下侧 使构成封闭曲面 记所围成的空间闭区域为 0 z 由高 斯公式 由高 斯公式 得 得 323232 Ixzdydzyxdzdxzydxdy 323232 PQR xzdydzyxdzdxzydxdydxdydz xyz dxdydzzyx 222 3 5 6 sin3 1 0 4 2 0 2 0 drrdd 3232322 xzdydzyxdzdxzydxdyy dxdy 21 232 00 1 sin 4 Dxy y dxdydd 323232 323232 Ixzdydzyxdzdxzydxdy xzdydzyxdzdxzydxdy 6129 5420 七七 满分 满分 12 分 设是一个连续函数 且满足 求 分 设是一个连续函数 且满足 求 y x 0 cos2 sin x y xxy ttdt y x 解解 由已知条件得微分方程初值问题由已知条件得微分方程初值问题 sin2sin2 0 1 yyx y x 4 方程的通解是方程的通解是 sin2sin2yyxx cos 4 x ycecosx 3 由初值条件由初值条件得c 0 1y e 4 4所以所以 1 cos 4 x yecosx 八八 满分 满分 10 分 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告 根据统计资料 销售收入分 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告 根据统计资料 销售收入R 万元 与电台广告费用 万元 与电台广告费用x 万元 及报纸广告费用 万元 有如下关系 万元 及报纸广告费用 万元 有如下关系 y 22 15 14328210R x yxyxyxy 1 在广告费用不限的情况下 求最佳广告策略 在广告费用不限的情况下 求最佳广告策略 2 如果提供的广告费用为 如果提供的广告费用为 1 5 万元 求相应的广告策略 万元 求相应的广告策略 解解 1 设 设 22 15 13318210F x yR x yxyxyxyxy 或 22 15 14328210F x yR x yxyxyxy 令令 13 840 31 8200 F yx x F xy y 或 14840 328200 F yx x F xy y 解得解得 353 444 xy 5 4 为唯一的驻点 为唯一的驻点 或 F x y 33 1 22 xy 1 3 5 39 25 4 4 F 万元 万元 当电台广告费用与报纸广告费用分别为当电台广告费用与报纸广告费用分别为 0 75 万元和万元和 1 25 万元时 最大利润为万元时 最大利润为 39 25 万元 此时为 最佳广告策略 万元 此时为 最佳广告策略 2 求广告费用为 求广告费用为 1 5 万元的条件下的最佳广告策略 即为在条件万元的条件下的最佳广告策略 即为在条件1 5xy 下 的最大值 下 的最大值 F x y 令令 G x y F x y x y 22 15 133182101 5xyxyxyxy 由由 13 840 31 8200 1 50 G yx x G xy y xy 解得 解得 这是唯一的驻点 又由题意这是唯一的驻点 又由题意0 1 5xy G x y一定存在最大值 故一定存在最大值 故 0 1 539F 万元 为最大值 万元 为最大值 九九 满分 满分 6 分 分 设在内有连续二阶导数 设在内有连续二阶导数 tf 11 1 0 1 ff 且二元函数 且二元函数 2222 yxfyxz 满足满足 0 2 2 2 2 y z x z 求求 tf 解解 1 设 设 2 rxy 2 由复合函数求导法则 由复合函数求导法则 rz r x x r rz x z 222 232 1 zxx z rz xrrr r 同理同理 222 232 1 zyy z rz yrrr r 代入方程有代入方程有 0 1 rz r rz 又又 0 1 1 fz rrfrrrfrz2 2 222 于是于是 1 1 2 1 fz 2 解初值问题解初值问题 2 1