初中数学专题复习全等三角形

1 初中数学专题复习初中数学专题复习 全等三角形全等三角形 一 知识点结构梳理及解读知识点结构梳理及解读 1 全等形 能够完全重合的两个图形叫做全等形 2 全等三角形性质 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 3 三角形全等的判定 1 边边边 SAS 三边对应相等的两个三角形全等 2 角边角 SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 3 角边角 ASA 两边和他们的 夹角对应相等的两个三角形全等 角角边 AAS 两个角和其中的一个角的对边对应相等的两个三角形全等 4 斜边 直角边 HL 斜边和直角边对应相等的两个三角形全等 4 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2 角平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 三角形三条内角平分线交于一点 且这一点到三角形三边的距离相等 二 找全等三角形的方法二 找全等三角形的方法 1 从结论出发 看要证明相等的线段 或角 分别在哪两个可能全等的三角形中 2 从已知出发 看可以确定哪两个三角形全等 3 从条件和结论综合考虑 看能一同确定哪两个三角形全等 4 考虑辅助线 构造全等三角形 三 全等三角形中几个重要结论三 全等三角形中几个重要结论 1 1 全等三角形对应角的平分线 中线 高分别相等 对应元素都分别相等 2 2 在一个三角形中 等边对等角 反过来 等角对等边 等腰三角形三线合一 等腰三角形顶角的外 角等于底角的 2 倍 等腰三角形两腰上的中线 高分别相等 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高 等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高 3 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 三角形一边上的中线等于这边的一半 那么 这条边的 对角等于 90 Rt 30 角的对边等于斜边的一半 反之 Rt 中如果有一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边的对角是 30 4 4 三角形三内角平分线交于一点 这点叫三角形的内心 这点到三角形三边的距离相等 三角形两 外角平分线与第三内角平分线交于一点 这点叫三角形的旁心 这点到三角形三边所在直线的距离相等 到三角形三边所在直线等距离的点有四个 2 经典例题经典例题 例例 1 1 如图 BE CF 相交于点 D DE AC DF AB 垂足分别为 E F 且 DE DF 求证 AB AC 举一反三 举一反三 例例 2 2 变式 1 如图 BE AC CF AB BM AC CN AB 求证 1 AM AN 2 AM AN 例例 3 3 变式 2 如图 BAC 90 CE BE AB AC ABE CBE 求证 BD 2EC 例例 4 4 启航 已知 如图 Rt ABC 中 AB AC AD BC BE 平分 ABC 交 AD 于 E EF AC 求证 AB BF BC A F E D F B C A M N E 1 2 3 4 鱂 鱂 鱂 D 3 E D A CB N M F E D C B A 例例 5 5 已知 如图 AD BC AE 平分 BAD AE BE 说明 AD BC AB 例例 6 6 24 题 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 过 C 作 CD AB 交 ABC 的平分线于点 D ACB 的平 分线交 BD 于点 E 1 求证 BC CD 2 求证 BC CE AB 例例 7 7 2424 题 题 如图 在等腰三角形 ABC 中 CA CB ACB 90 点 D E 是直线 BC 上两点且 CD BE 过点 C 作 CM AE 交 AE 于点 M 交 AB 于点 F 连接 DF 并延长交 AE 于点 N 1 若 AC 2 CD 1 求 CM 的值 2 求证 D E 4 例例 8 8 20152015 级一中七下 级一中七下 已知两个全等的等腰直角 ABC DEF 其中 ACB DFE 90 E 为 AB 中点 线段 DE EF 分别交线段 CA CB 或它们所在直线 于 M N 1 如图 l 所示放置 当线段 EF 经过 ABC 的顶点 C 时 点 N 与点 C 重合 线段 DE 交 AC 于 M 求证 AM MC 2 如图 2 所示放置 当线段 EF 与线段 BC 边交于 N 点 线段 DE 与线段 AC 交于 M 点 连 MN EC 请 探究 AM MN CN 之间的等量关系 并说明理由 3 如图 3 所示放置 当线段 EF 与 BC 延长线交于 N 点 线段 DE 与线段 AC 交于 M 点 连 MN EC 请 猜想 AM MN CN 之间的等量关系 不必说明理由 例例 9 9 20162016 级南开七下 级南开七下 已知 在等腰中 为直线 AB 上一点 连Rt ABC 90 ABCABCB D 接 CD 过 C 作 且 连接 DE 交 AC 于 F CECD CECD 1 如图 1 当 D B 重合时 求证 EFBF 2 如图 2 当 D 在线段 AB 上 且时 请探究 DF EF CF 之间的数量关系 并说明理由 30DCB 3 如图 3 在 2 的条件下 在 FC 上任取一点 G 连接 DG 作射线 GP 使 交60DGP 的角平分线于点 求证 DFG QFDFGFQ 5 例例 1010 20142014 级一中七下 级一中七下 在 Rt ABC 中 AC BC ACB 90 D 是 AC 的中点 DG AC 交 AB 于点 G 1 如图 1 E 为线段 DC 上任意一点 点 F 在线段 DG 上 且 DE DF 连结 EF 与 CF 过点 F 作 FH FC 交直线 AB 于点 H 求证 DG DC 判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明 2 若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点 点 F 在射线 DG 上 1 中的其他条件不变 借助图 2 画出 图形 在你所画图形中找出一对全等三角形 并判断你在 1 中得出的结论是否发生改变 本小题直接 写出结论 不必证明 A A D D B B C C G G E 图 2 G G H H F F E ED DC C B B A A 图 1 6 三角形中常见辅助线的作法三角形中常见辅助线的作法 1 1 延长中线构造全等三角形 延长中线构造全等三角形 例 1 如图 1 已知 ABC 中 AD 是 ABC 的中线 AB 8 AC 6 求 AD 的取值范围 第 1 题 第 2 题 第 3 题 2 2 引平行线构造全等三角形 引平行线构造全等三角形 例 2 如图 2 已知 ABC 中 AB AC D 在 AB 上 E 是 AC 延长线上一点 且 BD CE DE 与 BC 交于点 F 求证 DF EF 提示 此题辅助线作法较多 如 作 DG AE 交 BC 于 G 作 EH BA 交 BC 的延长 线于 H 再通过证三角形全等得 DF EF 3 3 作连线构造等腰三角形 作连线构造等腰三角形 例 3 如图 3 已知 RT ACB 中 C 90 AC BC AD AC DE AB 垂足为 D 交 BC 于 E 求证 BD DE CE 提示 连结 DC 证 ECD 是等腰三角形 4 4 利用翻折 构造全等三角形 利用翻折 构造全等三角形 例 4 如图 4 已知 ABC 中 B 2 C AD 平分 BAC 交 BC 于 D 求证 AC AB BD 提示 将 ADB 沿 AD 翻折 使 B 点落在 AC 上点 B 处 再证 BD B D B C 易得 ADB ADB B DC 是等腰三 角形 于是结论可证 第 4 题 第 5 题 5 5 作三角形的中位线 作三角形的中位线 例 5 如图 5 已知四边形 ABCD 中 AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 BA CD 的延长线交 EF 的延长 7 线于点 M N 求证 BME CNE 提示 连结 AC 并取中点 O 再连结 OE OF 则 OE AB OF CD 故 1 BME 2 CNE 且 OE OF 故 1 2 可得证 综合练习题综合练习题 1 1 20142014 中考 中考 如图 已知 ABC 和 ABD 均为等腰直角三角形 ACB BAD 90 点 P 为边 AC 上任意一点 点 P 不与 A C 两点重合 作 PE PB 交 AD 于点 E 交 AB 于点 F 1 求证 AEP ABP 2 猜想线段 PB PE 的数量关系 并证明你的猜想 3 若 P 为 AC 延长线上任意一点 如图 PE 交 DA 的延长线于点 E 其他条件不变 2 中的结论 是否成立 请证明你的结论 综合练习题综合练习题 2 2 20142014 中考 中考 如图 点 E 在 AD 上 ABC 和 BDE 都是等边三角形 猜想 BD CD AD 三条线段之间的关系 并说明理由 综合练习题综合练习题 3 3 20142014 中考 中考 点 P 为线段 AB 的中点 分别过线段 AB 的端点 A B 作直线 l 的垂线 垂足 分别为点 C D 连接 PC PD 1 当直线 l 过线段 AB 的中点 P 如图 1 猜想 PC PD 的数量关系 直接写出你的猜想 2 当直线 l 过线段 AB 上的任一点 如图 2 猜想 PC PD 的数量关系并加以证明 3 当直线 l 过线段 AB 的延长线上的任一点 按照题意画出图形 并判断 PCD 的形状 不必证明 8 综合练习题综合练习题 4 4 20142014 中考 中考 如图 在 ABC 中 D 是 BC 的中点 过 D 点的直线 GF 交 AC 于 F 交 AC 的 平行线 BG 于 G 点 DE GF 交 AB 于点 E 连接 EG 1 求证 BG CF 2 请你判断 BE CF 与 EF 的大小关系 并证明你的结论 综合练习题综合练习题 5 5 2014 2014 宿迁 宿迁 如图 已知 BAD 和 BCE 均为等腰直角三角