空间立体几何建立直角坐标系

精品文档 1欢迎下载 空间立体几何建立直角坐标系空间立体几何建立直角坐标系 1 2015 浙江 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 BAC 90 AB AC 2 A1A 4 A1在底面ABC的射影为BC的中点 D是 B1C1的中点 1 证明 A1D 平面A1BC 2 求二面角A1 BD B1的平面角的余弦值 解析 1 证明 设E为BC的中点 连接A1E AE DE 由题意得 A1E 平面ABC 所以A1E AE 因为AB AC 所以AE BC 故AE 平面A1BC 由D E分别为B1C1 BC的中点 得DE B1B且DE B1B 从而 DE A1A且DE A1A 所以A1AED为平行四边形 故A1D AE 又因为AE 平面A1BC 所以A1D 平面A1BC 2 方法一 作A1F BD且A1F BD F 连接B1F 由AE EB A1EA A1EB 90 2 得A1B A1A 4 由A1D B1D A1B B1B 得 A1DB与 B1DB全等 由A1F BD 得B1F BD 因此 A1FB1为二面角A1 BD B1的平面角 精品文档 2欢迎下载 由A1D A1B 4 DA1B 90 得 2 BD 3 A1F B1F 2 4 3 由余弦定理得 cos A1FB1 1 8 方法二 以CB的中点E为原点 分别以射线EA EB为x y轴的正 半轴 建立空间直角坐标系E xyz 如图所示 由题意知各点坐标如下 A1 0 0 B 0 0 D 0 B1 1422142 214 因此 0 0 A1B 214 BD 2214 DB1 0 2 设平面A1BD的法向量为m m x1 y1 z1 平面B1BD的法向量为 n n x2 y2 z2 由Error Error 即Error Error 可取m m 0 1 7 由Error Error 即Error Error 可取n n 0 1 7 于是 cos m m n n m m n n m m n n 1 8 由题意可知 所求二面角的平面角是钝角 故二面角A1 BD B1的平 面角的余弦值为 1 8 精品文档 3欢迎下载 2 2016 兰州模拟 如图 在四棱锥P ABCD中 PC 底面ABCD 底 面ABCD是直角梯形 AB AD AB CD AB 2AD 2CD 2 E是PB的中点 1 求证 平面EAC 平面PBC 2 若二面角P AC E的余弦值为 求直线PA与平面EAC所成角 6 3 的正弦值 解析 1 证明 PC 底面ABCD PC AC 底面ABCD是直角梯形 且AB 2AD 2CD 2 AC BC 22 AB2 AC2 BC2 AC BC PC BC C AC 平面PBC AC 平面EAC 平面EAC 平面PBC 2 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz 设PC a 则A 0 0 0 C 1 1 0 E P 1 1 a 1 2 3 2 a 2 B 0 2 0 精品文档 4欢迎下载 1 1 0 1 1 a 1 1 0 AC AE 1 2 3 2 a 2 AP BC 设平面EAC的法向量为v v x y z 则Error Error 即Error Error 令x 1 则v v 1 1 2 a BC 平面PAC 平面PAC的一个法向量为u u 1 1 0 BC 设二面角P AC E的大小 则 cos v v u u v v u u 1 1 1 1 0 2 a 2 2 4 a2 6 3 解得a 2 直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 cos v v AP v v AP v v AP 1 1 1 1 2 1 3 6 2