专题1函数、方程、导数与不等式

专题专题 1 函数 方程 导数与不等式函数 方程 导数与不等式 第一讲第一讲 函数性质及其应用函数性质及其应用 函数是高考数学中极为重要的内容 函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程 又是学习高等数学的基础 纵观近几年来的高考试题 函数在选择 填空 解答三种题型中 每年都有试题 约含全卷的 30 左右 近几年的考点主要体现在以下几个方面 一 一 纯粹函数内容 即单调性 奇偶性 定义域 值域 反函数 及映射概念的考查纯粹函数内容 即单调性 奇偶性 定义域 值域 反函数 及映射概念的考查 常以选择题 填空题出现 其能力要求比较低常以选择题 填空题出现 其能力要求比较低 例例 1 07 年广东 已知函数的定义域为 M g x 的定义域为 1 1 f x x ln 1 x N 则 M N A B C D 1 x x 1 x x 11 xx 例例 2 07 年全国 设 函数在区间上的最大值与最小值之1a logaf xx 2a a 差为 则 1 2 a A B C D 222 24 例例 3 07 年安徽 下列函数中 反函数是其自身的函数为 A B 0 3 xxxf 3 xxxf C D xcxf x 0 1 x x xf 例例 4 07 年安徽 定义在 R 上的函数既是奇函数 又是周期函数 是它的一 xfT 个正周期 若将方程在闭区间上的根的个数记为 则可能为0 xf TT nn A 0 B 1 C 3 D 5 例例 5 07 年北京 对于函数 f x lg x 2 1 f x x 2 2 f x cos x 2 判断如下三个 命题的真假 命题甲 f x 2 是偶函数 命题乙 f x 在 2 上是减函数 在 2 上是增函数 命题丙 f x 2 f x 在 上是增函数 能使命题甲 乙 丙均为真的所有函数的序号是 A B C D 二 函数的性质及图象变换多以选择题形式出现 并且低难度和高难度的试题都有可能出二 函数的性质及图象变换多以选择题形式出现 并且低难度和高难度的试题都有可能出 现现 例例 6 07 年广东 客车从甲地以 60km h 的速度行驶 1 小时到达乙地 在乙地停留了半 小时 然后以 80 km h 的速度行驶 1 小时到达丙地 下列描述客车从甲地出发 经过乙地 最后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间的关系图象中 正确的是 例例 7 07 年湖北 为了预防流感 某学校对教室用药熏消毒法进行 消毒 已知药物释放过程中 室内每立方米空气中的含药 量 y 毫克 与时间 t 小时 成正比 药物释放完毕后 y 与 t 的函数关系式为 a 为常数 at y 16 1 如图所示 根据图中提供的信息 回答下列问题 从药物释放开始 每立方米空气中的含 药量 y 毫克 与时间 t 小时 之间的函数关系式 为 据测定 当空气中每立方米的含药量降低 到 0 25 毫克以下时 学生方可进教室 那从药物释放 开始 至少需要经过 小时后 学生才能回到教室 三 三 函数的解答题 综合性较强 难度较大 要进行周密地分析 准确地计算来解决函数的解答题 综合性较强 难度较大 要进行周密地分析 准确地计算来解决 例例 8 07 年北京 如图 有一块半椭圆形钢板 其半轴长 为 短半轴长为 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状 下2rr 底是半椭圆的短轴 上底的端点在椭圆上 记 梯形面积为ABCD2CDx S I 求面积以为自变量的函数式 并写出其定义域 Sx II 求面积的最大值 S 说明说明 该题以椭圆为载体 以函数思想为灵魂 以不等式 导数 三角函数等为工具 非常自然地将解析几何与导数 函数 方程 不等式 三角函数等重要数学基础知识有机 交汇融为一体 无矫揉造作之嫌 是近年来较为成功的试题之一 123 60 80 100 120 140 160 t h s km 123 60 80 100 120 140 160 t h s km 123 60 80 100 120 140 160 t h s km 123 60 80 100 120 140 160 t h s km A B C D 0000 0 4r C D A B2r 思维训练 1 2006 年广东卷 函数的定义域是 13lg 1 3 2 x x x xf A B C D 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 已知函数与的值域分别是集合 M N 则有 2 f xaxbxc 2 g xcxbxa A B C D 不确定MN NM MN 3 已知是定义在实数集 R 上的函数 它的反函数为 若与 f x 1 fx 1 fxa 互为反函数 且 为非零实数 则的值为 f xa f aa a 2 fa A B C 0 D 2aaa 4 已知函数 其中 若存在 且在 f x 01 1 12 1 axbax xb x xa 0b 1 lim x f x 0 2 上有最大值 则的取值范围是 b A B C D 1 1 1 2 1 0 1 5 2006 年安徽卷 函数对于任意实数满足条件 若 f xx 1 2f x f x 则 15 f 5ff 6 07 年上海 已知函数 常数 0 2 x x a xxf a R 1 讨论函数的奇偶性 并说明理由 xf 2 若函数在上为增函数 求的取值范围 xf 2 x a 说明说明 本题考查了函数的性质问题 尤其是单调性的定义法证明更要引起注意 第二讲第二讲 不等式的性质及不等式解法应用不等式的性质及不等式解法应用 一 不等式的性质 基本不等式和绝对值不等式的考查 大多出现在选择题或填空题一 不等式的性质 基本不等式和绝对值不等式的考查 大多出现在选择题或填空题 中 一般属于容易题或中档题中 一般属于容易题或中档题 因此 关于这一部分的知识 考生在备考中要注意理解并深因此 关于这一部分的知识 考生在备考中要注意理解并深 刻记忆基本公式刻记忆基本公式 例例 1 1 20062006 年江苏卷年江苏卷 设a b c是互不相等的正数 则下列等式中不恒成立的是 A B cbcaba a a a a 11 2 2 C D 2 1 ba baaaaa 213 例例 2 2 山东理科山东理科16 函数y loga x 3 1 a 0 a1 的图象恒过定点A 若点A在直线 mx ny 1 0 上 其中mn 0 则的最小值为 nm 21 二 单纯考查不等式的解法 不等式的证明的试题很少 通常以不等式与函数 数列 二 单纯考查不等式的解法 不等式的证明的试题很少 通常以不等式与函数 数列 解析几何 三角等知识的综合问题的形式出现 此类问题多属于中档题甚至是难题 对不解析几何 三角等知识的综合问题的形式出现 此类问题多属于中档题甚至是难题 对不 等式的知识 方法与技巧要求较高等式的知识 方法与技巧要求较高 例例3 3 07全国2理科 不等式 0的解集为 C 4 1 2 x x A 2 1 B 2 C 2 1 2 D 2 1 例例 4 4 20052005 年辽宁卷年辽宁卷 在 上定义运算 若不等式 1 yxyx 对任意实数x成立 则1 axax 11 a20 a 2 3 2 1 a 2 1 2 3 a 例例 5 5 20062006 年山东卷年山东卷 设f x 则不等式f x 2 的解集为 2 1 log 2 2 2 1 xx xt t x A 1 2 3 B 10 C 1 2 D 1 2 10 例例 6 6 北京理科 12 已知集合 若 1Ax xa 2 540Bx xx 则实数的取值范围是 AB a 三 不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系 复习时尤其是注意以导数或向量三 不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系 复习时尤其是注意以导数或向量 为背景的导数 或向量 为背景的导数 或向量 不等式 函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推 不等式 函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推 理题理题 例例 7 7 06 湖北理 已知定义在正实数集上的函数 其中 设 2 1 2 2 f xxax 2 3lng xaxb 0a 两曲线 有公共点 且在该点处的切线相同 yf x yg x I 用表示 并求的最大值 abb II 求证 f xg x 0 x 思维训练 1 文 已知是 R 上的减函数 则满足的实数 x 的取值范围是 f x 1 1 ff x A B C D 1 1 0 0 1 0 1 理 已知为 R 上的减函数 则满足的实数的取值范围是 f x 1 1 ff x x A 1 1 B 0 1 C 1 0 0 1 D 1 1 2 若 则的元素个数 2 228 x Ax R log1 x Bxx CRBA 为 A 0 B 1 C 2 D 3 3 关于的不等式解集为空集 则实数的取值范围是x 2 121xxaa a A B C D 1 1 0 1 2 1 2 4 已知为非零实数 且 则下列命题成立的是 a bab A B C D 22 ab 22 a bab 22 11 aba b ba ab 5 对于任意不等式恒成立 则实数的取值范围是xR 22 2130 xa x a A B C D 2 2a 2 2a 3a 3a 6 对于的一切值 使不等式恒成立的的取值范围是 1 1 a 2 12 22 33 xaxx a x 7 设 均为正数 且 则的最小值为 xy 111 223xy xy 8 文 记关于的不等式的解集为 不等式的解集为 x0 1 xa x P11x Q I 若 求 3a P II 若 求正数的取值范围 QP a 理 例例 7 7 07 湖北理科湖北理科 21 本小题满分 14 分 已知 m n 为正整数 用数学归纳法证明 当 x 1 时 1 x m 1 mx 对于 n 6 已知 求证 m 1 1 2 n 2 1 3 1 1 n n mn n m 2 1 3 1 求出满足等式 3n 4m n 2 m n 3 n的所有正整数 n 第三讲第三讲 函数 导数 不等式函数 导数 不等式 题型一 曲线切线题型一 曲线切线 1 湖南文 本小题满分 13 分 已知函数在区间 内各有一个极值点 32 11 32 f xxaxbx 11 13 I 求的最大值 2 4ab II 当时 设函数在点处的切线为 若 在点处穿 2 48ab yf x 1 1 Af llA 过函数的图象 即动点在点附近沿曲线运动 经过点时 从 的 yf x A yf x Al 一侧进入另一侧 求函数的表达式 f x 2 天津理 本小题满分 12 分 已知函数 其中 2 2 21 1 axa f xx x Ra R 当时 求曲线在点处的切线方程 1a yf x 2 2 f 当时 求函数的单调区间与极值 0a f x 题型二 求单调区间题型二 求单调区间 1 2006 年江西卷 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 与 x 1 时都取得极值 2 3 1 求 a b 的值与函数 f x 的单调区间 2 若对 x 1 2 不等式 f x c2恒成立 求 c 的取值范围 2 重庆理 本小题满分 13 分 已知函数 x 0 在 x 1 处取得极值cbxxaxxf 44 ln 3 c 其中 a b c 为常数 1 试确定 a b 的值 2 讨论函数 f x 的单调区间 3 若对任意 x 0 不等式恒成立 求 c 的取值范围 2 2 cxf 题型三 极值与最值题型三 极值与最值 1 全国二文 本小题满分 12 分 已知函数 32 1 2 1 3 f xaxbxb x 在处取得极大值 在处取得极小值 且 1 xx 2 xx 12 012xx 1 证明 0a 2 若 z a 2b 求 z 的取值范围 3 设函数 海南理 本小题满分 12 分 2 ln f xxax I 若当时 取得极值 求的值 并讨论的单调性 1x f xa f x II 若存在极值 求的取值范围 并证明所有极值之和大于 f xa e ln 2 思维训练 1 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 1 2 e x y 2 4e 2 9 e 2 2 4e 2 2e 2 e 文 若曲线的一条切线 与直线垂直 则 的方程为 4 yx l480 xy l A B C D 430 xy 450 xy 430 xy 430 xy 2 物体在地球上做自由落体运动时 下落距离 其中 是经历的时间 2 1 2 Sgt t 若 则下列说法正确的是 2 9 8 gm s 0 1 1 lim9 8 x StS vm s t A 0 1s 时间内的速率为 B 在 1 时间段内的速率为 9 8 m s1ts 9 8 m s C 1s 末的速率为 D 若时 是在 1 时间段内的速率9 8 m s0t 9 8 m s1ts 文 路灯距地面为 8m 一个身高为 1 7m 的人以的速度匀速的正底下 沿某直1 4 m s 线离开路灯 那么人影长度的变化速率为 3 已知是上的单调增函数 则的范围 32 1 23 3 yxbxbx Rb A 或 B 或 C D 1b 2b 1b 2b 12b 12b 4 若函数 f x 的定义域为 0 且 f x 0 f x 0 那么函数 y xf x A 存在极大值B 存在极小值C 是增函数D 是减函数 5 对正整数 n 设曲线在 x 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 则数列 1 xxy n n a 的前 n 项和的公式是 1 n a n 6 2006 年北京卷 已知函数在点处取得极大值 其导函数 32 f xaxbxcx 0 x5 的图象经过点 如图所示 求 yfx 1 0 2 0 的值 0 x 的值 a b c 7 天津文 本小题满分 14 分 设函数 其中 2 f xx xa x Ra R 当时 求曲线在点处的切线方程 1a yf x 2 2 f 当时 求函数的极大值和极小值 0a f x 当时 证明存在 使得不等式对任3a 10k 22 cos cos f kxf kx 意的恒成立 x R 理 安徽理 本小题满分 14 分 设 a 0 f x x 1 ln2 x 2a ln x x 0 令 F x xf x 讨论 F x 在 0 内的单调性并求极值 求证 当 x 1 时 恒有 x ln2x 2a ln x 1 题型四 恒成立问题题型四 恒成立问题 1 辽宁文 本小题满分 12 分 已知函数 且对任意的实数 322 9cos48 cos18sinf xxxx g xfx 均有 t 1 cos 0gt 3sin 0gt I 求函数的解析式 f x II 若对任意的 恒有 求的取值范围 26 6 m 2 11f xxmx x 2 全国一文 本小题满分 12 分 设函数在及时取得极值 32 2338f xxaxbxc 1x 2x 求 a b 的值 若对于任意的 都有成立 求 c 的取值范围 0 3 x 2 f xc 题型五 利用导数证明不等式题型