高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

精品文档 1欢迎下载 参数方程极坐标系参数方程极坐标系 解答题解答题 1 已知曲线 C 1 直线 l t 为参数 写出曲线 C 的参数方程 直线 l 的普通方程 过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线 交 l 于点 A 求 PA 的最大值与最小值 考点 参数方程化成普通方程 直线与圆锥曲线的关系 菁优网版权所有 专题 坐标系和参数方程 分析 联想三角函数的平方关系可取 x 2cos y 3sin 得曲线 C 的参数方程 直接消掉参数 t 得直线 l 的普 通方程 设曲线 C 上任意一点 P 2cos 3sin 由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离 除以 sin30 进一步得到 PA 化积后由三角函数的范围求得 PA 的最大值与最小值 解答 解 对于曲线 C 1 可令 x 2cos y 3sin 故曲线 C 的参数方程为 为参数 对于直线 l 由 得 t x 2 代入 并整理得 2x y 6 0 设曲线 C 上任意一点 P 2cos 3sin P 到直线 l 的距离为 则 其中 为锐角 当 sin 1 时 PA 取得最大值 最大值为 当 sin 1 时 PA 取得最小值 最小值为 点评 本题考查普通方程与参数方程的互化 训练了点到直线的距离公式 体现了数学转化思想方法 是中档题 2 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处 极轴与 x 轴的正半轴重合 直线 l 的极坐标方程为 曲线 C 的参数方程为 为参数 I 写出直线 l 的直角坐标方程 求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 考点 参数方程化成普通方程 菁优网版权所有 专题 坐标系和参数方程 分析 1 首先 将直线的极坐标方程中消去参数 化为直角坐标方程即可 2 首先 化简曲线 C 的参数方程 然后 根据直线与圆的位置关系进行转化求解 精品文档 2欢迎下载 解答 解 1 直线 l 的极坐标方程为 sin cos x y 1 0 2 根据曲线 C 的参数方程为 为参数 得 x 2 2 y2 4 它表示一个以 2 0 为圆心 以 2 为半径的圆 圆心到直线的距离为 d 曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 点评 本题重点考查了直线的极坐标方程 曲线的参数方程 及其之间的互化等知识 属于中档题 3 已知曲线 C1 t 为参数 C2 为参数 1 化 C1 C2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 若 C1上的点 P 对应的参数为 t Q 为 C2上的动点 求 PQ 中点 M 到直线 C3 t 为参数 距离的 最小值 考点 圆的参数方程 点到直线的距离公式 直线的参数方程 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 转化思想 分析 1 分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程 即可得到曲线 C1表示一个圆 曲线 C2表示 一个椭圆 2 把 t 的值代入曲线 C1的参数方程得点 P 的坐标 然后把直线的参数方程化为普通方程 根据曲线 C2的 参数方程设出 Q 的坐标 利用中点坐标公式表示出 M 的坐标 利用点到直线的距离公式表示出 M 到已知直线 的距离 利用两角差的正弦函数公式化简后 利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值 解答 解 1 把曲线 C1 t 为参数 化为普通方程得 x 4 2 y 3 2 1 所以此曲线表示的曲线为圆心 4 3 半径 1 的圆 把 C2 为参数 化为普通方程得 1 所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点 焦点在 x 轴上 长半轴为 8 短半轴为 3 的椭圆 精品文档 3欢迎下载 2 把 t 代入到曲线 C1的参数方程得 P 4 4 把直线 C3 t 为参数 化为普通方程得 x 2y 7 0 设 Q 的坐标为 Q 8cos 3sin 故 M 2 4cos 2 sin 所以 M 到直线的距离 d 其中 sin cos 从而当 cos sin 时 d 取得最小值 点评 此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题 灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式 化简求值 是一道综合题 4 在直角坐标系 xOy 中 以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系 圆 C 的极坐标方程为 直线 l 的参数方程为 t 为参数 直线 l 和圆 C 交于 A B 两点 P 是圆 C 上不同于 A B 的任意一点 求圆心的极坐标 求 PAB 面积的最大值 考点 参数方程化成普通方程 简单曲线的极坐标方程 菁优网版权所有 专题 坐标系和参数方程 分析 由圆 C 的极坐标方程为 化为 2 把 代入即可得出 II 把直线的参数方程化为普通方程 利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离 d 再利用弦长公 式可得 AB 2 利用三角形的面积计算公式即可得出 解答 解 由圆 C 的极坐标方程为 化为 2 把代入可得 圆 C 的普通方程为 x2 y2 2x 2y 0 即 x 1 2 y 1 2 2 圆心坐标为 1 1 圆心极坐标为 由直线 l 的参数方程 t 为参数 把 t x 代入 y 1 2t 可得直线 l 的普通方程 圆心到直线 l 的距离 精品文档 4欢迎下载 AB 2 点 P 直线 AB 距离的最大值为 点评 本题考查了把直线的参数方程化为普通方程 极坐标化为直角坐标方程 点到直线的距离公式 弦长公式 三角形的面积计算公式 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 5 在平面直角坐标系 xoy 中 椭圆的参数方程为为参数 以 o 为极点 x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系 直线的极坐标方程为 求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值 考点 椭圆的参数方程 椭圆的应用 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 由题意椭圆的参数方程为为参数 直线的极坐标方程为 将 椭圆和直线先化为一般方程坐标 然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值 解答 解 将化为普通方程为 4 分 点到直线的距离 6 分 所以椭圆上点到直线距离的最大值为 最小值为 10 分 点评 此题考查参数方程 极坐标方程与普通方程的区别和联系 两者要会互相转化 根据实际情况选择不同的方 程进行求解 这也是每年高考必考的热点问题 6 在直角坐标系 xoy 中 直线 I 的参数方程为 t 为参数 若以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系 曲线 C 的极坐标方程为 cos 1 求直线 I 被曲线 C 所截得的弦长 2 若 M x y 是曲线 C 上的动点 求 x y 的最大值 考点 参数方程化成普通方程 菁优网版权所有 专题 计算题 直线与圆 坐标系和参数方程 分析 1 将曲线 C 化为普通方程 将直线的参数方程化为标准形式 利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理 即 可求弦长 2 运用圆的参数方程 设出 M 再由两角和的正弦公式化简 运用正弦函数的值域即可得到最大值 解答 解 1 直线 I 的参数方程为 t 为参数 消去 t 精品文档 5欢迎下载 可得 3x 4y 1 0 由于 cos 即有 2 cos sin 则有 x2 y2 x y 0 其圆心为 半径为 r 圆心到直线的距离 d 故弦长为 2 2 2 可设圆的参数方程为 为参数 则设 M 则 x y sin 由于 R 则 x y 的最大值为 1 点评 本题考查参数方程化为标准方程 极坐标方程化为直角坐标方程 考查参数的几何意义及运用 考查学生的 计算能力 属于中档题 7 选修 4 4 参数方程选讲 已知平面直角坐标系 xOy 以 O 为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 P 点的极坐标为 曲 线 C 的极坐标方程为 写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程 若 Q 为 C 上的动点 求 PQ 中点 M 到直线 l t 为参数 距离的最小值 考点 参数方程化成普通方程 简单曲线的极坐标方程 菁优网版权所有 专题 坐标系和参数方程 分析 1 利用 x cos y sin 即可得出 2 利用中点坐标公式 点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出 解答 解 1 P 点的极坐标为 3 点 P 的直角坐标 把 2 x2 y2 y sin 代入可得 即 曲线 C 的直角坐标方程为 精品文档 6欢迎下载 2 曲线 C 的参数方程为 为参数 直线 l 的普通方程为 x 2y 7 0 设 则线段 PQ 的中点 那么点 M 到直线 l 的距离 点 M 到直线 l 的最小距离为 点评 本题考查了极坐标与直角坐标的互化 中点坐标公式 点到直线的距离公式 两角和差的正弦公式 三角函 数的单调性等基础知识与基本技能方法 考查了计算能力 属于中档题 8 在直角坐标系 xOy 中 圆 C 的参数方程 为参数 以 O 为极点 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系 求圆 C 的极坐标方程 直线 l 的极坐标方程是 sin 3 射线 OM 与圆 C 的交点为 O P 与直线 l 的交点为 Q 求线段 PQ 的长 考点 简单曲线的极坐标方程 直线与圆的位置关系 菁优网版权所有 专题 直线与圆 分析 I 圆 C 的参数方程 为参数 消去参数可得 x 1 2 y2 1 把 x cos y sin 代入 化简即可得到此圆的极坐标方程 II 由直线 l 的极坐标方程是 sin 3 射线 OM 可得普通方程 直线 l 射线 OM 分别与圆的方程联立解得交点 再利用两点间的距离公式即可得出 解答 解 I 圆 C 的参数方程 为参数 消去参数可得 x 1 2 y2 1 把 x cos y sin 代入化简得 2cos 即为此圆的极坐标方程 II 如图所示 由直线 l 的极坐标方程是 sin 3 射线 OM 可得普通方程 直线 l 射线 OM 联立 解得 即 Q 联立 解得或 精品文档 7欢迎下载 P PQ 2 点评 本题考查了极坐标化为普通方程 曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系 两点间的距离公式等基础 知识与基本方法 属于中档题 9 在直角坐标系 xoy 中 曲线 C1的参数方程为 为参数 以原点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 sin 4 1 求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程 2 设 P 为曲线 C1上的动点 求点 P 到 C2上点的距离的最小值 并求此时点 P 的坐标 考点 简单曲线的极坐标方程 菁优网版权所有 专题 坐标系和参数方程 分析 1 由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程 利用直角坐标和极坐标的互化公式 x cos y sin 把极坐标方程化为直角坐标方程 2 求得椭圆上的点到直线 x y 8 0 的距离为 可得 d 的最小值 以及此时的 的值 从而求得点 P 的坐标 解答 解 1 由曲线 C1 可得 两式两边平方相加得 即曲线 C1的普通方程为 由曲线 C2 得 即 sin cos 8 所以 x y 8 0 即曲线 C2的直角坐标方程为 x y 8 0 精品文档 8欢迎下载 2 由 1 知椭圆 C1与直线 C2无公共点 椭圆上的点到直线 x y 8 0 的距离为 当时 d 的最小值为 此时点 P 的坐标为 点评 本题主要考查把参数方程 极坐标方程化为直角坐标方程的方法 点到直线的距离公式的应用 正弦函数的 值域 属于基础题 10 已知直线 l 的参数方程是 t 为参数 圆 C 的极坐标方程为 2cos 求圆心 C 的直角坐标 由直线 l 上的点向圆 C 引切线 求切线长的最小值 考点 简单曲线的极坐标方程 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 I 先利用三角函数的和角公式展开圆 C 的极坐标方程的右式 再利用直角坐标与极坐标间的关系 即利用 cos x sin y 2 x2 y2 进行代换即得圆 C 的直角坐标方程 从而得到圆心 C 的直角坐标 II 欲求切线长的最小值 转化为求直线 l 上的点到圆心的距离的最小值 故先在直角坐标系中算出直线 l 上的点到圆心的距离的最小值 再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可 解答 解 I 圆 C 的直角坐标方程为 即 圆心直角坐标为 5 分 II 直线 l 的普通方程为 圆心 C 到直线 l 距离是 直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 10 分 点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置 体会在极坐标系和平面直 角坐标系中刻画点的位置的区别 能进行极坐标和直角坐标的互化 11 在直角坐标系 xOy 中 以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立坐标系 直线 l 的参数方程为 t 为参数 曲线 C1的方程为 4sin 12 定点 A 6 0 点 P 是曲线 C1上的动点 Q 为 AP 的中点 1 求点 Q 的轨迹 C2的直角坐标方程 2 直线 l 与直线 C2交于 A B 两点 若 AB 2 求实数 a 的取值范围 精品文档 9欢迎下载 考点 简单曲线的极坐标方程 参数方程化成普通方程 菁优网版权所有 专题 坐标系和参数方程 分析 1 首先 将曲线 C1化为直角坐标方程 然后 根据中点坐标公式 建立关系 从而确定点 Q 的轨迹 C2的 直角坐标方程 2 首先 将直线方程化为普通方程 然后 根据距离关系 确定取值范围 解答 解 1 根据题意 得 曲线 C1的直角坐标方程为 x2 y2 4y 12 设点 P x y Q x y 根据中点坐标公式 得 代入 x2 y2 4y 12 得点 Q 的轨迹 C2的直角坐标方程为 x 3 2 y 1 2 4 2 直线 l 的普通方程为 y ax 根据题意 得 解得实数 a 的取值范围为 0 点评 本题重点考查了圆的极坐标方程 直线的参数方程 直线与圆的位置关系等知识 考查比较综合 属于中档 题 解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解 12 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立坐标系 圆 C1 直线 C2的极坐标方程分别为 4sin cos 2 求 C1与 C2交点的极坐标 设 P 为 C1的圆心 Q 为 C1与 C2交点连线的中点 已知直线 PQ 的参数方程为 t R 为参数 求 a b 的值 精品文档 10欢迎下载 考点 点的极坐标和直角坐标的互化 直线与圆的位置关系 参数方程化成普通方程 菁优网版权所有 专题 压轴题 直线与圆 分析 I 先将圆 C1 直线 C2化成直角坐标方程 再联立方程组解出它们交点的直角坐标 最后化成极坐标即可 II 由 I 得 P 与 Q 点的坐标分别为 0 2 1 3 从而直线 PQ 的直角坐标方程为 x y 2 0 由参数 方程可得 y x 1 从而构造关于 a b 的方程组 解得 a b 的值 解答 解 I 圆 C1 直线 C2的直角坐标方程分别为 x2 y 2 2 4 x y 4 0 解得或 C1与 C2交点的极坐标为 4 2 II 由 I 得 P 与 Q 点的坐标分别为 0 2 1 3 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x y 2 0 由参数方程可得 y x 1 解得 a 1 b 2 点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程 把参数方程化为普通方程的方法 方程思想的应用 属于基 础题 13 在直角坐标系 xOy 中 l 是过定点 P 4 2 且倾斜角为 的直线 在极坐标系 以坐标原点 O 为极点 以 x 轴 非负半轴为极轴 取相同单位长度 中 曲线 C 的极坐标方程为 4cos 写出直线 l 的参数方程 并将曲线 C 的方程化为直角坐标方程 若曲线 C 与直线相交于不同的两点 M N 求 PM PN 的取值范围 解答 解 I 直线 l 的参数方程为 t 为参数 曲线 C 的极坐标方程 4cos 可化为 2 4 cos 把 x cos y sin 代入曲线 C 的极坐标方程可得 x2 y2 4x 即 x 2 2 y2 4 II 把直线 l 的参数方程为 t 为参数 代入圆的方程可得 t2 4 sin cos t 4 0 曲线 C 与直线相交于不同的两点 M N 16 sin cos 2 16 0 sin cos 0 又 0 精品文档 11欢迎下载 又 t1 t2 4 sin cos t1t2 4 PM PN t1 t2 t1 t2 4 sin cos PM PN 的取值范围是 点评 本题考查了直线的参数方程 圆的极坐标方程 直线与圆相交弦长问题 属于中档题 14 在直角坐标系 xOy 中 直线 l 的参数方程为 t 为参数 以原点为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系 C 的极坐标方程为 2sin 写出 C 的直角坐标方程 P 为直线 l 上一动点 当 P 到圆心 C 的距离最小时 求 P 的直角坐标 考点 点的极坐标和直角坐标的互化 菁优网版权所有 专题 坐标系和参数方程 分析 I 由 C 的极坐标方程为 2sin 化为 2 2 把代入即可得出 II 设 P 又 C 利用两点之间的距离公式可得 PC 再利用二 次函数的性质即可得出 解答 解 I 由 C 的极坐标方程为 2sin 2 2 化为 x2 y2 配方为 3 II 设 P 又 C PC 2 因此当 t 0 时 PC 取得最小值 2 此时 P 3 0 点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程 参数方程的应用 两点之间的距离公式 二次函数的性质 考查了推 理能力与计算能力 属于中档题 15 已知曲线 C1的极坐标方程为 6cos 曲线 C2的极坐标方程为 p R 曲线 C1 C2相交于 A B 两点 把曲线 C1 C2的极坐标方程转化为直角坐标方程 求弦 AB 的长度 考点 简单曲线的极坐标方程 菁优网版权所有 专题 计算题 精品文档 12欢迎下载 分析 利用直角坐标与极坐标间的关系 即利用 cos x sin y 2 x2 y2 进行代换即得曲线 C2及曲线 C1的直角坐标方程 利用直角坐标方程的形式 先求出圆心 3 0 到直线的距离 最后结合点到直线的距离公式弦 AB 的 长度 解答 解 曲线 C2 p R 表示直线 y x 曲线 C1 6cos 即 2 6 cos 所以 x2 y2 6x 即 x 3 2 y2 9 圆心 3 0 到直线的距离 r 3 所以弦长 AB 弦 AB 的长度 点评 本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距 等基本方法 属于基础题 16 在直角坐标系 xOy 中 以 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立坐标系 直线 l 的极坐标方程为 sin 圆 C 的参数方程为 为参数 r 0 求圆心 C 的极坐标 当 r 为何值时 圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3 考点 简单曲线的极坐标方程 直线与圆的位置关系 菁优网版权所有 专题 计算题 分析 1 利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线 l 的普通方程 利用同角三角函数的基 本关系 消去 可得曲线 C 的普通方程 得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可 2 由点到直线的距离公式 两角和的正弦公式 及正弦函数的有界性求得点 P 到直线 l 的距离的最大值 最后列出关于 r 的方程即可