高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题

精品文档 1欢迎下载 等差数列与等比数列综合题等差数列与等比数列综合题 例例 已知等差数列 n a满足 3 7a 57 26aa n a的前n项和为 n S 求 n a及 n S 令bn 2 1 1 n a n N 求数列 n b的前n项和 n T 解析 设等差数列 n a的公差为 d 因为 3 7a 57 26aa 所以有 1 1 27 21026 ad ad 解得 1 3 2ad 所以321 2n 1 n an n S n n 1 3n 2 2 2 n 2n 由 知2n 1 n a 所以 bn 2 1 1 n a 2 1 2n 1 1 11 4 n n 1 111 4n n 1 所以 n T 111111 1 4223n n 1 11 1 4n 1 n 4 n 1 即数列 n b的前n项和 n T n 4 n 1 命题意图 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用 裂项法求数列的和 熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键 例例 设 n S为数列 n a的前n项和 2 n Sknn nN 其中k是常数 I 求 1 a及 n a II 若对于任意的 mN m a 2m a 4m a成等比数列 求k的值 解 当1 1 11 kSan 12 1 1 2 22 1 kknnnknknSSan nnn 经验 1 n 式成立 12 kknan mmm aaa 42 成等比数列 mmm aaa 4 2 2 即 18 12 14 2 kkmkkmkkm 整理得 0 1 kmk 精品文档 2欢迎下载 对任意的 Nm成立 10 kk或 例例 等比数列 n a 的前 n 项和为 n s 已知 1 S 3 S 2 S成等差数列 1 求 n a 的公比 q 2 求 1 a 3 a 3 求 n s 解 依题意有 2 2 111111 qaqaaqaaa 由于 0 1 a 故 02 2 qq 又0 q 从而 2 1 q 5 分 由已知可得3 2 1 2 11 aa 故4 1 a 从而 n n n 2 1 1 3 8 2 1 1 2 1 14 S 10 分 例例 已知数列 n a满足 1 12 12 2 nn n aa aaanN 2 令 1nnn baa 证明 n b是等比数列 求 n a的通项公式 1 证 121 1 baa 当2n 时 1 111 11 222 nn nnnnnnn aa baaaaab 所以 n b是以 1 为首项 1 2 为公比的等比数列 2 解由 1 知 1 1 1 2 n nnn baa 当2n 时 121321 nnn aaaaaaaa 2 11 1 1 22 n 精品文档 3欢迎下载 1 1 1 2 1 1 1 2 n 2 21 1 1 32 n 1 521 332 n 当1n 时 1 1 1 521 1 332 a 所以 1 521 332 n n anN 例例 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 21 n nn babS 证明 当2b 时 1 2n n an 是等比数列 求 n a的通项公式 解 由题意知 1 2a 且 21 n nn babS 1 11 21 n nn babS 两式相减得 11 21 n nnn b aaba 即 1 2n nn aba 当2b 时 由 知 1 22n nn aa 于是 1 1 2221 2 nnn nn anan 1 22n n an 又 1 1 1 210 n a 所以 1 2n n an 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 当2b 时 由 知 11 22 nn n an 即 1 1 2n n an 当2b 时 由由 得 11 1 11 222 22 nnn nn aba bb 2 2 n n b ba b 1 2 2 n n b a b 因此 1 1 11 22 22 nn nn ab a bb 精品文档 4欢迎下载 2 1 2 n b b b 得 1 21 1 2222 2 n nn n a b bn b 例例 在数列 n a中 11 11 1 1 2 nn n n aaa n I 设 n n a b n 求数列 n b的通项公式 II 求数列 n a的前n项和 n S 解 I 由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出数列 n b的通项公式 1 1 2 2 n n b nN II 由 I 知 1 2 2 n n n an n S 1 1 2 2 n k k k k 1 11 2 2 nn k kk k k 而 1 2 1 n k kn n 又 1 12 n k k k 是一个典型的错位相减法模型 易得 11 1 2 4 22 n kn k kn n S 1 n n 1 2 4 2n n 例例 已知数列 n a的前n项和为 n S 1 1 a 且323 1 nn Sa n为正整数 求出数列 n a的通项公式 若对任意正整数n n Sk 恒成立 求实数k的最大值 解 323 1 nn Sa 当2 n时 323 1 nn Sa 由 得0233 1 nnn aaa 3 1 1 n n a a 2 n 又 1 1 a 323 12 aa 解得 3 1 2 a 数列 n a是首项为 1 公比为 3 1 q的等比数列 精品文档 5欢迎下载 1 1 1 3 1 n n n qaa n为正整数 由 知 n n S 3 1 1 2 3 由题意可知 对于任意的正整数n 恒有 n k 3 1 1 2 3 数列 n 3 1 1单调递增 当1 n时 数列中的最小项为 3 2 必有1 k 即实数k的最大值为 1 例例 各项均为正数的数列 n a中 n Sa 1 1 是数列 n a的前n项和 对任意 Nn 有 22 2 RpppapaS nnn 求常数p的值 求数列 n a的通项公式 记 nn n n S b2 3 4 求数列 n b的前n项和T 解 1 由1 1 a及 22 2 NnppapaS nnn 得 ppp 22 1 p 2 由122 2 nnn aaS 得122 1 2 11 nnn aaS 由 得 22 1 22 11nnnnn aaaaa 即 0 2 111 nnnnnn aaaaaa 0 122 11 nnnn aaaa 由于数列 n a各项均为正数 122 1 nn aa 即 2 1 1 nn aa 数列 n a是首项为1 公差为 2 1 的等差数列 数列 n a的通项公式是 2 1 2 1 1 1 n nan 3 由 2 1 n an 得 4 3 nn Sn nnn n n n S b22 3 4 精品文档 6欢迎下载 n n nT2232221 32 132 22 1 2222 nn n nnT 22 1 2 21 21 2 22222 11132 nn n nn n nnnT 1 1 22 n n Tn 例例 在数列 2 322 3 11 Nnnaaaa n nnn 且中 1 的值 求 32 a a 2 设 是等差数列 证明 n n n n bNn a b 2 3 3 求数列 nn Sna项和的前 解 1 2 322 3 11 Nnnaaa n nn 且 1322 2 12 aa 13322 3 23 aa 2 对于任意 Nn 32 2 1 2 3 2 3 1 11 1 1 nn nn n n n nn aa aa bb 1332 2 1 1 1 n n 数列是首项为 公差为 1 的等差数列 n b0 2 33 2 3 1 a 3 由 2 得 1 1 0 2 3 n a n n 32 1 Nnna n n 321 322 321 3 32 n n nS 即 321232221 432 nnS n n 设 21232221 432n n nT 精品文档 7欢迎下载 则 212322212 1543 n n nT 两式相减得 1432 212222 nn n nT 2 1 21 21 4 1 1 n n n 整理得 2 2 4 1 n n nT 从而 32 2 4 1 NnnnS n n 例例 已知数列 n a的首项 2 1 1 a 前 n 项和 nn anS 2 求证 nn a n n a 2 1 记 nn Sbln n T为 n b的前 n 项和 求ne n T 的值 解 1 由 nn anS 2 得 1 2 1 1 nn anS 得 nn a n n a 2 1 2 由 nn a n n a 2 1 求得 1 1 nn an 1 2 n n anS nn 1ln lnln nnSb nn ln1 ln2 ln2ln3 ln3ln4 lnln 1 ln 1 n Tnnn 1 1ln nene nTn 例例 等比数列 n a 的前 n 项和为 n s 已知 1 S 3 S 2 S成等差数列 1 求 n a 的公比 q 2 求 1 a 3 a 3 求 n s 解 依题意有 2 2 111111 qaqaaqaaa 由于 0 1 a 故02 2 qq 又0 q 从而 2 1 q 精品文档 8欢迎下载 由已知可得3 2 1 2 11 aa 故4 1 a 从而 n n n 2 1 1 3 8 2 1 1 2 1 14 S 例 已知 是公比为 q 的等比数列 且成等差数列 n a 12 mmm aaa 1 求 q 的值 2 设数列的前项和为 试判断是否成等差数列 说明理由 n an n S 12 mmm SSS 解 1 依题意 得 2am 2 am 1 am 2a1qm 1 a1qm a1qm 1 在等比数列 an 中 a1 0 q 0 2q2 q 1 解得 q 1 或 2 1 2 若 q 1 Sm Sm 1 ma1 m 1 a1 2m 1 a1 Sm 2 m 2 a1 a1 0 2Sm 2 S m Sm 1 若 q Sm 1 2 1 m 2m 2 1 6 1 3 2 2 1 1 2 1 1 Sm Sm 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1mm 2 1 2 1 3 2 3 4 1mm m 2 1 3 1 3 4 2 Sm 2 S m Sm 1 故当 q 1 时 Sm Sm 2 Sm 1不成等差数列 当 q 时 Sm Sm 2 Sm 1成等差数列 2 1 例 6 已知数列中 且对时 n a 012 2 3 6aaa 3n 精品文档 9欢迎下载 有 123 4 4 48 nnnn ananana 设数列满足 证明数列为等比数列 并求数 n b 1 nnn banan N 1 2 nn bb 列的通项公式 n b 记 求数列的前n项和 1 2 1 nnn n nan S 证明 由条件 得 11223 4 1 4 2 nnnnnn anaanaana 则 1112 1 4 4 1 nnnnnn anaanaana 即 所以 1112 44 1 0 nnn bbbbb 又 11 22 2 nnnn bbbb 21 220bb 所以是首项为2 公比为 2 的等比数列 1 2 nn bb 所以 21 22bb 1 121 22 2 2 nn nn bbbb 两边同除以 可得 1 2n 1 1 1 222 nn nn bb 于是为以首项 为公差的等差数列 2 n n b 1 2 1 2 所以 11 1 2 1 222 2 nn n n bb n nb 得 令 则 11 11 22 2 nnn nnn anann a 2n nn ca 1nn cnc 而 11 1 1 2 1 1 2 1 n ccn ncn n 1 2 12n n an n 1 2 12 1 2 nn n nan nnnnnn 2 2 1 3 2 1 1 2222 n n Snnn 令Tn 2 1 2222nn 则 2Tn 231 1 222 1 22 nn nn 得Tn Tn 21 2222 nn n 1 1 22 n n 1 1 1 21 n n Snn 精品文档 10欢迎下载 例 7 已知数列满足 且当 时 有 n a 1 1 5 a 1n n 11 21 1 2 nn nn aa aa 1 求证 数列为等差数列 1 n a 2 试问是否为数列中的项 如果是 是第几项 如果不是 请说明理由 12 a a n a 证明 1 由得 11 21 1 2 nn nn aa aa 11 1 221 nnnn aaaa 即 11 4 nnnn aaa a 上式两边同时除以得 1nn a a 1 11 41 nn n aa 又 是首项为 5 公差为 4 的等差数列 1 1 5 a 1 n a 2 又 1 知 即 1 541 n n a 1 41 n a n 2 1 9 a 12 1 45 a a 令 解得 11 4145 n a n 11n 所以 是数列的第 11 项 12 a a n a 例 8 设数列满足且 nn ab 11 1 0ab 1 1 23 1 2 3 2 nnn nnn aab n bab 求的值 使得数列为等比数列 nn ab 求数列和的通项公式 n a n b 令数列和的前项和分别为和 求极限的值 n a n bn n S n S lim n n n S S 令 其中为常数 若为等比数列 则存在使得 nnn cab n c0q 111 nnnnn cabq ab 又 11 23 2 nnnnnn ababab 2 32 nn ab 所以 2 32 nnnn q abab 由此得 2 32 0 1 2 3 nn q aq bn 精品文档 11欢迎下载 由及已知递推式可求得 把它们代入上式后得方程组 11 1 0ab 22 2 1ab 消去解得 20 320 q q q3 下面验证当时 数列为等比数列 3 3 nn ab 11 3 23 32 3 23 3 nnnnnn ababab 1 2 3 n 从而是公比为的等比数列 11 310ab 3 nn ab 23 同理可知是公比为的等比数列 于是为所求 3 nn ab 23 3 由 的结果得 解得 1 3 23 n nn ab 1 3 23 n nn ab 11 1 2323 2 nn n a 11 3 2323 6 nn n b 令数列的通项公式为 它是公比为的等比数列 n d 1 23 n n d 23p 令其前项和为 n n P 令数列的通项公式为 它是公比为的等比数列 令 n e 1 23 n n e 23p 其前项和为 n n P 由第 问得 1 2 nnn SP P 3 6 nnn SPP 1 33 1 n nnnn n nnn n P SPPP P SPP P 由于数列的公比 则 n e0231 1 lim 1 23 n n P 由于 则 1 11 11 1 1 1 nn n n n ppp Pp p 11 23 23p 1 lim0 n n P 精品文档 12欢迎下载 于是 所以lim0 n n n P P lim3 n n n S S 例 9 数列的各项均为正数 为其前项和 对于任意 总有成 n a n Sn Nn 2 nnn a Sa 等差数列 求数列的通项公式 n a 设数列的前项和为 且 求证 对任意实数 是常数 n bn n T 2 ln n n n a x b ex 1 e 2 71828 和任意正整数 总有 2 e n n T 正数数列中 求数列中的最大项 n c 1 1 Nnca n nn n c 解 由已知 对于 总有 成立 Nn 2 2 nnn Saa n 2 2 11 1 2 nn n Saa 得 2 11 2 2 nnnnn aaaaa 111 nnnnnn aaaaaa 均为正数 n 2 1 nn aa1 1 nn aa 数列是公差为 1 的等差数列 n a 又 n 1 时 解得 1 2 111 2Saa 1 a nan Nn 证明 对任意实数和任意正整数 n 总有 ex 1 2 ln n n n a x b 2 1 n nnn Tn 1 1 32 1 21 1 1 1 2 1 1 1 222 2 1 2 1 1 1 3 1 2 1 2 1 11 nnn 解 由已知 22 1 2 12 cca 5 4 5 45 4 3 4 34 3 2 3 23 55 244 33 cca ccacca 精品文档 13欢迎下载 易得 12234 ccccc 猜想 n 2 时 是递减数列 n c 令 22 ln1 ln 1 ln x x x xx x xf x x xf 则 当 0 0ln1 1ln3 xfxxx 即则时 在内为单调递减函数 3 xf 由 1 1ln ln 1 1 n n cca n n nn 知 n 2 时 是递减数列 即是递减数列 n cln n c 又 数列中的最大项为 12 cc n c 3 2 3 c 例 10 设 n a是公差不为零的等差数列 n S为其前n项和 满足 2222 23457 7aaaaS 1 求数列 n a的通项公式及前n项和 n S 2 试求所有的正整数m 使得 1 2 mm m a a a 为数列 n a中的项 解 1 设公差为d 则 2222 2543 aaaa 由性质得 4343 3 d aad aa 因为0d 所以 43 0aa 即 1 250ad 又由 7 7S 得 1 76 77 2 ad 解得 1 5a 2d 2 方法一 1 2 mm m a a a 27 25 23 mm m 设23mt 则 1 2 mm m a a a 4 2 8 6 tt t tt 所以t为 8 的约数 精品文档 14欢迎下载 方法二 因为 122 2 222 4 2 8 6 mmmm m mmm a aaa a aaa 为数列 n a中的项 故 m 2 8 a 为整数 又由 1 知 2m a 为奇数 所以 2 231 1 2 m amm 即 经检验 符合题意的正整数只有2m 例 12 数列 n a中 1 2a 1nn aacn c是常数 12 3n 且 123 aaa 成公比不为1的等比数列 I 求c的值 II 求 n a的通项公式 解 I 1 2a 2 2ac 3 23ac 因为 1 a 2 a 3 a成等比数列 所以 2 2 2 23 cc 解得0c 或2c 当0c 时 123 aaa 不符合题意舍去 故2c II 当2n 时 由于 21 aac 32 2aac 1 1 nn aanc 所以 1 1 12 1 2 n n n aancc 又 1 2a 2c 故 2 2 1 2 2 3 n an nnnn 当 n 1 时 上式也成立 所以 2 2 12 n annn 例 13 已知数列 n a的前n项和为 n S 对一切正整数n 点 nn SnP都在函数 xxxf2 2 的图像上 且过点 nn SnP的切线的斜率为 n k 1 求数列 n a的通项公式 2 若 n k n ab n 2 求数列 n b的前n项和 n T 3 设 2 NnaxxRNnkxxQ nn 等差数列 n c的任一项 RQcn 其中 1 c是RQ 中的最小数 115110 10 c 求 n c的通项公 精品文档 15欢迎下载 式 解 1 点 nn SnP都在函数xxxf2 2 的图像上 2 2 n