有理数知识点

个 性 化 辅 导 讲 义 第 1 页 共 14 页 有理数有理数 1 知识结构图 本章的主要内容可以概括为有理数的概念概念与有理数的运算运算两部分 有理数的概念可以利用数轴来认识 理解 同时 利用数轴又可以把这些概念串在一起 有理数的运算是全章的重点运算是全章的重点 在运算时 要注意注意四个方面 一是 运算法则 二是运算律 三是运算顺序 四是近似计算 二 知识要点 1 正数 大于零的数 负数 小于零的数 在正数前面加上负号 的数 注意 0 既不是正数也不是负数 它是正负数的分界点 对于正数和负数 不能简单理解为带 号的数是正数 带 号的数是负数 正数和负数可以表示两种具有相反意义的量 2 有理数的分类 按定义分按定义分 按性质符号分按性质符号分 负分数 如 如正分数 分数 负整数 如 自然数 正整数 如 整数 有理数 506 0 529 0 7 1 3 0 238 0 11 7 2 1 0 3 2 1 负分数 负整数 负有理数 正分数 正整数 正有理数 0 注意 两种分类方法不同 但都包含了所有的有理数 零既不是正数也不是负数 但它是整数 常见的 不是有理数的数有 和有规律的但不循环的小数 如 0 0100100010001000010000010000001 有 理 数 个 性 化 辅 导 讲 义 第 2 页 共 14 页 3 数轴及有理数的大小比较 要点 画数轴时 要注意数轴的三要素 原点 正方向 单位长度 所有的有理数都可以用数轴上的一个点表示 但数轴上还有些点不代表有理数 如 数轴上右边点表示的数总比左边点表示的数大 即 负数小于0 0小于正数 负数小于正数 两个负数比较大小 绝对值大的反而小 例 1 2 4 相反数 数轴上在 两侧且到 的距离相等的两个点表示的两个数互为相反数相反数 几何定义 只有符号不同的两个数互为相反数相反数 代数定义 0 的相反数是 0 a 的相反数是 求一个数的相反数就是在这个数前添 号后再化简 5 倒数 乘积等于1的两个数互为倒数 如 a a 0 的倒数是 a 1 6 绝对值 数轴上表示一个数的点到原点的 叫这个数的绝对值绝对值 绝对值具有非负性 即 a 0 互为相反数的两个数的绝对值 若表示两个非负数的式子和为 0 或这两个式子互为相反数 则这两个式子都等于 即非负条件式 如 若 x 3 2 x y 7 0 求 yx的值 数轴上两点间的距离就是表示这两个点的数的差的绝对值 表示数a的点A与表示数b的点B之间的距离 AB a b 或AB b a 与表示数m的点的距离为a a 0 的点有两个 表示的数是m m a a 去绝对值的 3 条依据 正数的绝对值是它本身 0 的绝对值是 0 负数的绝对值是它的相反数 可用字母 a 表示如下 0 0 0 0 aa a aa a 7 有理数的运算 加法法则 同号两数相加 取与加数相同的符号 并把绝对值相加 如 5 6 11 5 6 11 异号两数相加 绝对值相等时 和为0 绝对值不等时 取绝对值较大的加数的符号 并用较大的绝对 值减去较小的绝对值 如 5 5 0 5 6 1 5 6 1 一个数与零相加 仍得这个数 如 5 0 5 5 0 5 注意 做有理数的加法要经过两个步骤 定 定 减法法则 减去一个数 等于加上这个数的相反数 如 5 6 5 6 5 6 5 6 有理数加减法可以互化 主要表现为省略加号的写法 个 性 化 辅 导 讲 义 第 3 页 共 14 页 如 20 3 5 7 可写成 的形式 它读作 的和或 乘法法则 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 如 5 6 30 5 6 30 5 6 30 5 6 30 任何数与零相乘得零 如 5 0 0 0 6 0 除法法则 两数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 如 9 3 3 9 3 3 9 3 3 9 3 3 特别的 零除以一个不为零的数仍得零 零不能做除数 如 0 5 0 0 5 0 除法法则还可以理解为 除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数 如 2 3 9 7 3 2 9 7 几个非 0 因数相乘除 积的符号由负因数的个数决定 有奇数个负因数 则积为负 偶数个负因数 则 积 为正 若几个因数相乘 其中一个因数为 0 则结果等于 0 注意 有理数的乘除法仍与加减法类似应先定 再定 会灵活应用乘法运算律简便运 算 分配律 结合律 交换律 有理数的乘方 乘方是求几个 因式的积的运算 公式 其中 a 叫 n 叫 an叫 当 n 1时 省略不写 个n n aaaaa 注意 正数的任何次幂都是正数 0的任何次幂都是0 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 即 当 a 0 时 an 0 当 a 0 时 a2n 0 或 a2n 1 0 当 a 为一切有理数时 a2n 0 即 a2n 是 数 其中 n 是正整数 有理数的混合运算顺序 先乘方 再乘除 后加减 同级运算从左到右进行 如果有括号 先做括号里的运算 一般情况下按小 括号 中括号 大括号的次序进行 8 特殊数字知识点 相反数是本身的数是 0 绝对值是本身的数是零和正数 绝对值是相反数的数是零和负数 倒数是本身的 数 是 1 1 平方等于本身的数是 0 1 立方等于本身的数是 0 1 1 平方等于相反数的数是 0 1 立方等于相反数的数是 0 奇数次幂等于本身的数是 0 1 偶数次幂等于本身的数是 0 1 任何正整数 次幂都等于本身的数是 0 1 9 科学记数法 近似数与有效数字 一般地一个绝对值大于或等于10的数 都可以记成 a 10n的形式 其中1 a 10 n 等于原数的整数 位数减1 这种记数方法 在科学技术方面是常用的 习惯上把它叫做科学记数法 如 1300000000 1 3 109 近似数 与实际接近的数 精确度表示近似数与准确数的接近程度 判断一个近似数的精确度就是看这 个 性 化 辅 导 讲 义 第 4 页 共 14 页 个 数的最 位数字在什么数位上就说精确到哪一位 对于带记数单位的近似数的精确度应看单位前的数 字最末一位在还原后的数的哪一位上 科学记数法也看 a 中的最末一位在还原后的数的哪一位上就是精 确 到哪一位 按要求取近似值就是将要求精确到的数位后一位四舍五入 对于要求精确到的数位比个位高 时 应先化为科学记数法再取近似值 如 35780000 精确到百万位 应为 35780000 3 578 107 3 6 107 有效数字 从左边第一个不是 0 的数字起到精确到的那一位止 所有的数字都叫做这个数的有效数字 科学记数法的近似数看 a 中的有效数字 带数量单位的近似数只看单位前的数的有效数字 如 0 01234 精确到十万分位 有四个有效数字 为 1 2 3 4 2 60万 精确到百位 有三个有效数字 为 2 6 0 7 8 105 精确到万位 有两个有效数字 为 7 8 误差 近似值 准确值 有理数有理数 考点透析考点透析 考点考点 1 有关有理数的概念 有关有理数的概念 例 1 1 如果收入 100 元记作 100 元 那么支出 50 元记作 元 2 今年我市二月份的最低气温为 5 最高气温为 13 那么这一天的最高气温比最低气温高 18 B 18 13 5 3 下列各数中 负数是 A 3 B 3 C 3 2 D 3 3 评注 评注 解此类问题的关键是要弄清有理数的分类以及各类数的概念和本质特征 不要被其外形所迷惑 尤 其注意带负号的数不一定是负数 考点考点 2 数轴 相反数 倒数 数轴 相反数 倒数 例 2 1 如图所示的图形为四位同学画的数轴 其中正确的是 2 的倒数是 3 1 A 3 B 3 C D 3 1 3 1 3 若 a 与 4 互为相反数 则 a 如果 a 13 那么 a 5 的相反数是 8 的相反数是 6 a 的相反数是 4 已知 a b 互为相反数 c d 互为倒数 x 的绝对值等于 1 求 a b x2 cdx 的值 解析 考查相反数 倒数与绝对值的概念 由已知易得 a b 0 cd 1 又由 x 1 可知 x 1 当 x 1 时 原式 0 12 1 1 0 当 x 1 时 原式 0 1 2 1 1 2 所以 a b x2 cdx 的值是 0 或 2 评注 评注 1 求一个数的相反数 关键要准确掌握相反数概念 只有符号不同的两个数称之为互为相反数 若 a b 互为相反数 则 a b 0 2 求一个数的倒数 关键要弄清倒数的概念 乘积为 1 的两个数称之为互 为倒数 若 a b 互为倒数 则 ab 1 考点考点 3 有关绝对值的运算 有关绝对值的运算 例 3 1 8 的值是 2 已知 a 1 5 则 a 的值是 个 性 化 辅 导 讲 义 第 5 页 共 14 页 A 6 B 4 C 6 或 4 D 6 或 4 3 已知 x 2 2与 y 3 互为相反数 则 yx 4 如果 则 3 a 3 a 3 a 评注 评注 1 绝对值是指表示这个数的点与原点的距离 也就是说 a 是非负数 即 a 0 2 绝对值 等于一个正数的数有两个 它们互为相反数 3 若几个数的绝对值的和等于 0 则每个数都等于 0 考点考点 4 有关有理数大小的比较 有关有理数大小的比较 例 4 1 在 1 1 2 这 3 个数中 任意两数之和的最大数是 A 1 B 0 C 1 D 3 2 实数 a b 在数轴上表示如图 下列判断正确的是 A a 1 C b 1 D b 0 负数 两个负数比较大小 绝对值大的反而小 2 数轴上表示的两个数 右边的总比左边的大 考点考点 5 有关有理数的运算 有关有理数的运算 先定符号 再计算 例 5 1 计算 2 3 的结果是 A 5 B 5 C 1 D 1 2 计算 4 的结果是 2 1 A 8 B 8 C 2 D 2 3 4 2 1 例 6 1 计算 100 20 3 2 计算 9 5 6 4 2 8 3 33 2 52 22的平方是 2 1 4 有理数的运算 5 3 3 4 1 2 2 3 2 3 2 3 22 2517 1 24 5 138612 2310 11 0 25 0 5 1 82 22222 1 0 27 16 4 1 2 42 2 1 5 0 0a 1b 个 性 化 辅 导 讲 义 第 6 页 共 14 页 补充1 某学习小组的数学成绩 采用了80分为标准的办法 高于80分的记为正 低于80分的记为负 现有10 名学生的成绩记录如下 20 10 5 15 9 3 10 8 4 16求这10名同学的平均成绩 解 方法一 解 方法一 先求出这10名同学的实际得分 100 70 75 95 89 77 90 88 84 66 平均成绩 100 70 75 95 89 77 90 88 84 66 83 2 10 1 方法二 方法二 平均成绩 80 20 10 5 15 9 3 10 8 4 16 83 2 10 1 补充2 已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍 且在数轴上表示为这两数的点位于原点的两侧 两点间的距 离为8 求这两个数 解 解 设乙数为 a 则甲数为 3a a 3a 8 a 2 a 2 甲数为6 乙数为 2 甲数为 6 乙数为2 评注 评注 对于有理数运算总结如下口诀 加法运算要熟练 减法运算会转换 乘除要把符号判 运算顺序 严把关 运算定律须灵变 考点考点 6 有关科学记数法 近似数与有效数字 有关科学记数法 近似数与有效数字 例 7 1 41080000 用科学记数法表示为 A B C D 7 4 108 10 6 41 08 10 5 410 8 10 8 4108 10 2 近似数 0 4062 精确到 有 个有效数字 3 近似数 3 5 万精确到 位 有 个有效数字 5 47 105精确到 位 有 个有效数字 4 3 4030 105保留两个有效数字是 精确到千位是 5 某数有四舍五入得到 3 240 那么原来的数一定介于 和 之间 6 2003 年我国国内生产总值 GDP 为 116694 亿元 用四舍五入法保留 3 个有效数字 用科学记 数法表示为 亿元 将 207 670 保留 3 个有效数字 其近似数为 考点考点 7 考查非负数的性质 考查非负数的性质 例 8 若有理数 a b 满足 3a 1 b 2 2 0 则 ab的值为 析解 析解 由绝对值及平方的非负特征 可知 3a 1 0 b 2 2 0 又 3a 1 b 2 2 0 故只能有 3a 1 0 b 2 2 0 所以 a b 2 ab 2 1 3 1 3 1 9 考点考点 8 考查数学思想方法 考查数学思想方法 例 9 设 a 是大于 1 的有理数 若 a 在数轴上对应的点分别记作 A B C 则 A B C 三 a 2 3 2a 1 3 点在数轴上自左至右的顺序是 A C B A B B C A C A B C D C A B 析解 析解 本题考查有理数大小的比较方法 同时考查常用数学方法的灵活应用 如本题采用取特殊值法进行 比较 则显得简捷明快 个 性 化 辅 导 讲 义 第 7 页 共 14 页 因为 a 1 所以不妨取 a 4 则 2 3 由 2 3 4 知 a 故应选 B a 2 3 2a 1 3 a 2 3 2a 1 3 例 10 如下图 若数轴上 A B 两点表示的数为 a b 则下列结论正确的是 A b a 0 B a b 0 C 2a b 0 D a b 0 1 2 析解 析解 本题主要考查能否应用数形结合的思想并结合加 减法则进行判断 由图形知 a 1 0 b 1 a b 所以b a b a 0 a b 0 显然 2a b 0 a b 0 所以只有 A 正 1 2 1 2 确 故选 A 注 此题也可由图形取特殊值 如取 a 2 b 0 5 等 通过计算验证 例 11 我国著名数学家华罗庚曾说过 数形结合百般好 隔裂分家万 事非 在一个边长为 1 的正方形纸版上 依次贴上面积为 的矩 1 2 1 4 1 8 1 2n 形彩色纸片 n 为大于 1 的整数 请你用 数形结合 的思想 依数形变化的 规律 计算 1 2 1 4 1 8 1 2n 析解 析解 本题启示我们 运用数形结合思想构造几何图形 常可巧解代数题 如右图 事实上 这样一直贴下去 即是面积分别为 的小矩形 1 2 1 4 1 8 1 2n 面积之和 而这恰好等于边长为 1 的大正方形的面积 故 1 1 2 1 4 1 8 1 2n 考点考点 9 考查数学思维能力 考查数学思维能力 例 12 已知 ab 2 与 b 1 2互为相反数 试求代数式 1 ab 1 a 1 b 1 1 a 2 b 2 的值 1 a 2005 b 2005 析解 析解 由已知仿例 9 可知 ab 2 0 b 1 2 0 所以 ab 2 0 b 1 0 从而 a 2 b 1 则原式 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 2005 2006 1 2006 2007 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 2005 1 2006 1 2006 1 2007 1 1 2007 2006 2007 注 应予以本题用到了逆向思维的思想 逆用分数加减法则 应予以重视 例 13 先观察下列算式 再填空 32 12 8 1 52 32 8 2 72 52 8 92 2 8 4 2 92 8 5 132 2 8 通过观察归纳 写出反映这种规律的一般结论 AB ab 110 1 1 2 2 1 1 4 4 1 1 8 8 1 1 1 16 6 1 1 3 32 个 性 化 辅 导 讲 义 第 8 页 共 14 页 析解 析解 通过计算或根据规律可得应填数据 1 3 2 7 3 11 4 11 6 结论 两个连续奇数的平方差能被 8 整除 例 14 观察下列等式 9 1 8 16 4 12 25 9 16 36 16 20 这些等式反映自然数间的某种规律 设 n n 1 表示自然数 用关于 n 的等式表示这个规律为 解析 解析 阅读 观察后 可列下表 1 个2 个3 个4 个 n 个 第一组数9162536 n 2 2 第二组数14916 n2 第三组数8121620 n 2 2 n2 4 n 1 故第 n 个式子是 n 2 2 n2 4 n 1 评注 评注 在阅读材料 观察其过程的基础上 进行分析 探索 比较 归纳 猜想等思维活动 从而得到规 律 评注 评注 本章内容在中考中大多以填空题 选择题的形式命题 综观近几年各省市中考题 考查的重点内容 是相反数 倒数 非负数 绝对值的概念及有关性质 有理数的大小比较 近似数与科学记数法 另有与之相 应的创新 探究型问题 但万变不离其宗 关键是理解并掌握基本概念及运算性质 初学有理数的常见错误剖析初学有理数的常见错误剖析 对于初学有理数者 在解题中出现错误是难免的 也是正常的 但必须弄清产生错误的原因 掌握正确的 解答方法 只有这样才能逐步形成数学基本技能和能力 本文就有理数这一部分中的解题易犯错误归纳剖析如 下 一 答案不完整答案不完整 例 1 若一个有理数的 倒数 绝对值 平方 立方 等于它本身 则这个数分别是 2 3 4 错误答案 1 正数 1 1 分析 给出的答案不完整 漏掉了一些符合条件的数 产生错误的原因主要是把数的认识局限在正数范围 之内 忽视 0 和才引进的负数 对数的范围的拓宽不适应 另外由于对负数 倒数 绝对值等概念没有完全正 确理解而造成的错误 正确答案是 1 正数和 0 1 和 0 1 和 0 二 分类不明确二 分类不明确 例 2 有理数中 最小的正整数是 最小的整数是 绝对值最小的数是 个 性 化 辅 导 讲 义 第 9 页 共 14 页 最小的正数是 错误答案 0 1 1 1 分析 产生错误的原因 一是对有理数的分类没有弄清楚 二是 任意两个有理数之间总至少存在一个有理数 的性质不理解 当然也有一部分同学因 正数 和 整数 的概念混淆而导致错误 正确答案 1 不存在 0 不存在 三 概念不清晰三 概念不清晰 例 3 判断正误 1 任何一个有理数的相反数和它的绝对值都不可能相等 2 任何一个有理数的相反数都不会等于它的倒数 错误答案 分析 第 1 小题失误原因 一是误认为一个有理数 a 的相反数 a 总是负数 二是误认为能够等于 a 而得到 a 究其根源是对 相反数 和 绝对值 的概念还没弄明白 第aa 2 小题失误原因是对一个有理数和它的倒数 以及相反数的符号之间的关系不清晰所致 正确答案 四 运算不准确四 运算不准确 1 运算符号错误 运算符号错误 例 4 计算 15 120 4 25 6 错解 错解 原式 25 8 17 剖析 剖析 此解将 120 前面的 号既视为运算符号 又视为性质符号 以致出错 应当注意 号在运 算中只能当作二者中的一种 正解 正解 原式 25 8 33 例 5 计算5 6 42 错解 错解 原式 16 6 5 17 剖析 剖析 此解忽略了与的区别 表示 4 的平方的相反数 其结果为 16 表示两个 2 4 2 4 2 4 2 4 4 相乘 其结果为 16 应该注意 平方的相反数 与 相反数的平方 之间的区别与联系 正解 正解 原式 16 6 5 15 2 运算顺序错误 运算顺序错误 例 6 计算11 11 2 11 2 11 错解 错解 原式 2 2 1 个 性 化 辅 导 讲 义 第 10 页 共 14 页 剖析 剖析 此解法中的错误是违背了运算顺序 乘除为同一级运算 在同级运算中 应从左到右的顺序依次进 行 而这里先做了乘法 后做除法 正解 正解 原式 121111111 2 11 11 2 11 例 7 计算 错解 错解 原式 4 9 0 1 13 1 2 1 2 1 3 2 22 剖析 剖析 上面解法错在没有注意运算顺序 按从左到右的顺序依次计算 在中 先算了减法 1 2 1 2 1 后算乘法 正解 正解 原式 4 9 14 2 1 2 1 3 运算性质错误 运算性质错误 例 7 计算 5 05 1 5 0 4 1 5 2 2 错解 错解 原式 4 3 30 4 3 12 2 5 4 3 24 2 5 2 1 2 3 2 1 4 1 2 5 222 剖析 剖析 上面解法中 出现了三个运算性质上的错误 一是 二是 24 2 5 2 1 4 1 2 5 三是 222 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 5 0 正解正解 原式 4 1 39 4 3 40 4 3 16 2 5 4 3 4 1 2 5 2 1 2 3 2 1 4 1 2 5 22 4 滥用运算律 滥用运算律 例 8 计算 36 2 1 3 1 4 1 错解 错解 原式 36 36 36 2 1 3 1 4 1 剖析 剖析 对于乘法有分配律 a b c ab ac 但除法却没有相应的分配律 即 a b c a b a c 上述解法错 在乱造公式 乱套公式 以上所列错误 究其原因 主要是对有理数的有关概念不明 运算性质 运算法则不熟所致 因此 在学 习有理数时 一定要正确理解概念 准确运用运算性质 熟练使用运算法则 提高解题能力 模拟试题模拟试题 一 想一想 填一填一 想一想 填一填 1 0 2的相反数的倒数是 2 在数轴上 A 点表示 B 点表示 那么到原点的距离较远的是 5 2 2 7 3 2 3 小于5而大于 4的所有偶数的和是 4 平方得64的有理数是 个 性 化 辅 导 讲 义 第 11 页 共 14 页 5 若 3 m 1 63 n 6 则 m n 的最大值是 6 如果 a 0 b 0 a b 0 那么 a b 用 或 填空 7 一个数与7的和等于 2 则这个数与7的积等于 8 已知 A a a 2 a3 a4 a2000 若 a l 则 A 若 a 1 则 A 补 有一次小明在做点游戏时抽到的四张牌分别是 7 3 3 7 他苦思不得其解 相信聪明的你24 一 定能帮他解除困难 请写出一个成功的算式 24 二 看一看 选一选二 看一看 选一选 9 0 2 的大小顺序是 2 1 3 1 A 0 2 B 0 2 C 0 2 D 0 2 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 10 如果 x 是有理数 那么 A 1 x 的值一定比1小 B 1 x2的值一定比1小 C 1 x 的值不大于1 D 1 x2的值不大于1 11 一天有8 64 104s 一年如果按365天计算 则一年有多少秒可用科学记数法表示为 A 3 153 6 107 B 3 153 5 106 C 3 153 6 103 D 3 153 6 104 12 如果由四舍五入得到的近似数是35 那么在下列各数中不可能是其值的是 A 34 49 B 34 51 C 34 99 D 35 49 13 a b 为有理数 在数轴上如下图所示 则 A 1 B 1 C 1 D 1 a 1 b 1 a 1 b 1 b 1 a 1 b 1 a 1 14 已知 n 表示正整数 则一定是 2 1 1 nn A 0 B 1 C 0或1 D 无法确定 随 n 的不同而不同 补 计算 2 2004 2 2003的结果是 A 1 B 2 C 22003 D 22004 三 试一试 答一答三 试一试 答一答 15 已知 a 与 b 互为相反数 c 与 d 互为倒数 e 的绝对值为1 求的值 2005 2006 2 ba cde 16 计算 个 性 化 辅 导 讲 义 第 12 页 共 14 页 524 4 3 6 1 8 3 24 1 1 243 2 1 12 1 2 17 已知 012 2 bab 1 求 a b 的值 2 求的值 2008 2008 2 a b 3 求 20082008 1 22 1 11 11 bababaab 18 计算 23 4 5 3 2 5 1 3 2 3 1 3 22 3 5 3 2 01 2 3 19 如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和 那么这个数就叫完全数 例如 6 的不包括自身的所有 因数为 1 2 3 而且 所以 6 是完全数 大约 2200 多年前 欧几里德提出 如果是质数 6123 21 n 那么是一个完全数 请你根据这个结论写出 6 之后的下一个完全数是 12 2