《“基本不等式”省优质课比赛教学设计及反思》

第 1 页 共 7 页 基本不等式基本不等式 教学教学设计设计 2 ab ab 一 教材分析 本节课选自 普通高中课程标准数学教科书 数学 5 人教 A 版 第三章第 4 节第一课时 主 要内容为基本不等式的推导与简单应用 它以前面已学习的有关不等式的基本知识为依据 2 ab ab 从利用基本不等式求最值这个侧面来体现基本不等式的应用 而且在基本不等 2 ab ab 2 ab ab 式的推导过程中渗透了分析法的解题方法 为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔 2 ab ab 同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法 此内容都是学生今后学习中必备的数学素养 二 学情分析 学生有了不等式的基本知识作为铺垫 对不等式的学习已具备基本的认识 而基本不等式来自生活 是从生活中抽象而来的 只要我们选材得当 能够激发学生的学习兴趣 学生也能够较容易理解基本不 等式的推导 且达到渗透数学思想 关注数学文化的目的 三 三 目标分析 教学目标 教学目标 1 学会推导并掌握基本不等式 理解基本不等式的几何意义 并掌握定理中的不等号 取等号 的条件是 当且仅当这两个数相等 2 探索并了解基本不等式的证明过程 在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程 领 悟数形结合思想的应用 3 培养学生生活问题数学化 并注重运用数学解决生活中实际问题的意识 有利于数学生活化 大 众化 同时通过学生自身的探索研究 领略获取新知的喜悦 教学重难点 教学重难点 本节课教学重点是应用数形结合的数学思想理解基本不等式 并从不同角度探索不等式 的证明过程 2 ab ab 教学难点是基本不等式等号成立条件 2 ab ab 四 教学策略 本课在设计上采用了由特殊到一般 从具体到抽象的教学策略 利用数形结合 类比归纳的思想 层层深入 通过学生自主探究 分析 整理出推导公式的不同思路 同时 借助多媒体的直观演示 帮 助学生理解 并通过教师的点拨引导 师生互动 讲练结合 从而突出重点 突破难点 教法教法 问题引导 启发探究和归纳总结相结合 第 2 页 共 7 页 学法学法 自主学习与合作讨论相结合 教学手段教学手段 黑板板书为主结合多媒体辅助教学 五 教学过程 创设情境 创设情境 引入课题引入课题 填写下表 abab 2 ab 与的大小关系 ab 2 ab 1 2 1 8 1 4 1 416 22 问题问题 1 1 观察与的大小关系 从中你发现了什么结论 ab 2 ab 猜想得到结论 一般的 如果 R 2 ab a babab 那么当且仅当时取号 问题问题 2 2 你能给出它的证明吗 证法 1 用比较法证明 作差ab ba 2 变形 baba2 2 1 22 判断符号 0 2 1 2 ba 当且仅当 即时取 取等条件ba ba 证法 2 用分析法证明 要证 1 2 ab ab 只要证 2 2abab 要证 2 只要证 0 3 2abab 要证 3 只要证 4 2 0ab 显然 4 是成立的 当且仅当时 4 中的等号成立 ab 设计设计意意图图 第 3 页 共 7 页 通过引导 让学生去证明猜想的结果 进一步巩固比较两个代数式大小的方法 并让学生明白归纳 猜想 证明是我们发现世界 认知世界的重要的思维方法 师归纳 师归纳 1 如果把看作是正数的等差中项 看作是正数的等比中项 那么该定理可以 2 ba a bab a b 叙述为 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 2 在数学中 我们称为的算术平均数 称为的几何平均数 本节定理还可叙 2 ba a bab a b 述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 自主探究 自主探究 深化认识深化认识 1 1 认识基本不等式的几何背景认识基本不等式的几何背景 问题问题 3 3 能否给基本不等式一个几何解释呢 探究 课本第 110 页的 探究 在右图中 是圆的直径 点是上的一点 ABCABACa BCb 过点作垂直于的弦 连接 你能利用这个图形得出基本不等式的几CABDEADBD 2 ab ab 何解释吗 易证 那么 即 Rt ACD Rt DCB 2 CDCA CB CDab 这个圆的半径为 显然 它大于或等于 即 2 ba CDab ba 2 其中当且仅当点与圆心重合 即时 等号成立 Cab 因此 基本不等式几何意义是 半径不小于半弦 2 ab ab 设计设计意意图图 通过展示均值不等式的几何直观解释 培养学生数形结合的意识 并使抽象的问题更加直观 形象 使学生进一步加深对均值不等式的理解 2 2 拓广探究拓广探究 展示并介绍古代弦图 同学们现在看到的是中国古代数学中著名的一副图 叫做弦图 它是由我 国三国时期的数学家赵爽设计的 早在 1300 多年以前 这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明 了勾股定理 这是世界上最早证明勾股定理的方法之一 弦图不仅造型美观 而且蕴藏着很多玄机 第 4 页 共 7 页 展示 24 届国际数学家大会会标 大家现在看到的是 2002 年在我们北京召开的第 24 届国际数学家 大会的会标 这个会标设计源于古代弦图 它的色调明暗相间 使它看上去象一个风车 这不但象征中 国人民的热情好客 同时也充分展现了中国古代数学对世界所做出的重大贡献 今天咱们也来研究一下 弦图 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系 1 探究图形中的不等关系 问题问题 4 4 请观察会标图形 图中有哪些特殊的几何图形 它们在面积上有哪些相等关系和不 等关系 将图中的 风车 抽象成如图 在正方形中四个全等的直角三角形 设直角三角形ABCD 的两条直角边长为那么正方形的边长为 这样 4 个直角三角形的面积的和是 正方 a b 22 ab 2ab 形的面积为 由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积 我们就得到了一个不等式 22 ab 利用多媒体演示会标图形的变化 引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于 22 2abab 正方形的面积 问题问题 5 5 大家看 这个图形里还真有点奥妙 我们从图中找到了一个不等式 这里 的取值有ab 没有什么限制条件 不等式中的等号什么时候成立呢 当直角三角形变为等腰直角三角形 即时 正方形缩为一个点 这时ab EFGH 有 22 2abab 第 5 页 共 7 页 2 得到结论 一般的 如果 2R 22 号时取当且仅当那么 baabbaba 3 思考证明 你能给出它的证明吗 证明 因为 222 2baabba 当 22 0 0 abababab 时当时 所以 即0 2 ba 2 22 abba 师归纳 师归纳 1 从上述两个不等式中 可以发现 如果 对于不等式 我们用分别0 0ab 22 2abab 代替 可得 通常我们把上式写作 ab a b2abab a 0 b 0 2 ab ab 2 以上 我们是从数和形两个角度充分分析了这个不等式 可见 数与形是一个事物的两个方面 设计设计意意图图 通过问题情境的设计激发学生学习的积极性 培养学生的探究能力 其次 简略介绍中国古代数学 家赵爽的生平 渗透数学思想 关注数学文化 实际运用 实际运用 强化新知强化新知 例题例题 1 用篱笆围一个面积为 100的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用的篱 2 m 笆最短 最短的篱笆是多少 2 一段长为 36的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最m 大 最大面积是多少 分析 分析 1 当长和宽的乘积确定时 问周长最短就是求长和宽和的最小值 2 当长和宽的和确定时 求长与宽取何值时两者乘积最大 解 解 1 设矩形菜园的长为 宽为 则 篱笆的长为 2 xmym100 xy xy m 由 2 xy xy 可得 2 100 xy 2 xy 40 等号当且仅当 因此 这个矩形的长 宽为 10时 所用篱笆最短 10 xyxy 时成立 此时m 最短篱笆为 40 m 2 设矩形菜园的长为 宽为 则 2 36 18 矩形菜园的面积为 xm ymxy xy xy 2 m 第 6 页 共 7 页 由 可得 18 9 22 xy xy 81 xy 可得等号当且仅当 9xyxy 时成立 此时 因此 这个矩形的长 宽都为 9时 菜园的面积最大 最大面积为 81 m 2 m 设计设计意意图图 让学生初步运用基本不等式解决实际问题 通过对实际问题的解决让学生体会数学来源于生活 同 时又服务于生活 回顾反思 回顾反思 拓展延伸拓展延伸 1 1 课堂小结课堂小结 组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法 小组之间互相补充完成课堂小结 实 现对基本不等式认识的再次深化 体会从特殊到一般的研究方法 体会数形结合的数学思想 体会归纳 猜想 证明的思维方法 掌握基本不等式 理解它的几何背景 并能运用它解决实际问题 设计设计意意图图 小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程 重点和难点所在 另一方面 更是对 探索过程的再认识 对数学思想方法的升华 对思维的反思 可为学生以后解决问题提供经验和教训 2 2 作业布置作业布置 必做题 P 113 1 2 3 4 选做题 1 已知都是正数 求证 x y 1 如果积是定值 那么和有最小值 此时 xyPxy 2 Pxy 2 如果和是定值 那么积有最大值 此时 xy Sxy 2 4 S xy 2 当时不等式成立 若 则有不等式 a 0 b 0 2 ab ab 0 1 2 3 i ain 成立 研究性作业 1 设 称为的调和平均数 如图 00ab 2ab ab a b 为线段C 上的点 且 为中点 以为直径AB ACa CBb OABAB 作半 圆 过点作的垂线 垂足为 连结 则图中线CODE AD BD 段 第 7 页 共 7 页 的长度是的算术平均数 线段 的长度是的几何平均数 线段 的长度是的调和 a b a b a b 平均数 2 已知都是正数 证明 a b 22 2 11 22 abab ab ab 设计设计意意图图 分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时 拓展自主发展的空间 让不同层次的学生都可以 获得成功的喜悦 发挥自己的潜能 六 教学反思 新课程的理念倡导学生积极主动地探索知识的发生 发展