2-第二章拉伸、压缩与剪切

1 第二章第二章 拉伸 压缩与剪切拉伸 压缩与剪切 2 1 拉伸与压缩的概念拉伸与压缩的概念 等直杆的两端作用一对大小相等 方向相反 作用线与杆件轴线重合的力 这种变形叫轴向拉伸或压缩 一 一 工程实例工程实例 悬索桥 其拉杆为典型受拉杆件 桁架 其杆件受拉或受压 二 受力特点二 受力特点 杆件受到的外力 或其合力的作用线沿杆件轴线 三 变形特点三 变形特点 发生轴线方向的伸长或缩短 2 2 拉伸或压缩时横截面上的内力和应力拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 一 轴力一 轴力 2 1 对于轴向拉伸 压缩 杆件 用截面法求横截面 m m 上的内力 2 轴力正负规定 拉力为正 方向背离杆件截面 压力为负 方向指 向杆件截面 二 轴力图二 轴力图 1 轴力图 轴力沿轴线方向变化的图形 横坐标表示横截面位置 纵坐 标表示轴力的大小和方向 2 轴力图作用 通过它可以快速而准确地判断出最大内力值及其作用截 面所在位置 这样的截面称为危险截面 轴向拉 压 变形中的内力图称为轴 力图 表示轴力沿杆件轴线方向变化的情况 3 作下图所示杆件的轴力图 三 横截面上的应力三 横截面上的应力 1 平面假设 变形前原为平面的横截面 变形后仍保持为平面且仍垂直 于轴线 只是各横截面间发生沿杆轴的相对平移 通过对称性原理 平面假设可得以证明 2 由平面假设可得 两截面间所有纵向纤维变形相同 且横截面上有正 应力无切应力 3 3 由材料的均匀连续性假设 可知所有纵向纤维的力学性能相同 所以 轴向拉压时 横截面上只有正应力 且均匀分布 即 2 1 N A FdAA A N F 为拉 压 杆横截面上的正应力计算公式 正应力的正负号与轴力正负号相同 拉应力为正 压应力为负 当轴力与横截面的尺寸沿轴线变化时 只要变化缓慢 外力与轴线重合 外力与轴线重合 如左图 式 2 1 也可使用 这时某一横截面上的正应力为 2 2 xA x x N F 例题例题 一等直杆受力情况如图 a 所示 试作杆的轴力图 解 1 先求约束力 x 4 直杆受力如图 b 所示 由杆的平衡方程得0F x kNkN RA F 50104020 2 求杆中各段轴力 AB 段 沿任意截面 1 1 将杆截开 取左段为研究对象 1 1 截面上的轴力 为 设 为正 由左段的平衡方程得 N1 F N1 F0F x 0FF RAN1 N1RA FF20kN BC 段 沿任意截面 2 2 将杆截开 取左段为研究对象 设轴力为正 N2 F 由左段的平衡方程得 0F xN2RA FFkN0 50 N2 F0kN 3 结果为负 说明的指向与所设方向相反 实为压力 N2 F CD 段 沿截面 3 3 截开 取右端为研究对象 3 3 截面上的轴力为 N3 F 设为正 由右段的平衡方程得 0F xN3 F4 kN0 0 压力 N3 F4 kN 0 3 绘制轴力图 5 上题中每次求轴力时 都将未知轴力方向假定为拉力 并可得出结论 某横 截面上的轴力值等于所截取部分上所有外力的代数和 2 3 拉伸或压缩时斜截面上的应力拉伸或压缩时斜截面上的应力 一 一 应力计算公式应力计算公式 40kN A BC 50kN10kN D a 1 1 N1 F RA F c 40kN A BC 50kN10kN D b 1 1 2 2 3 3 RA F d RA F N2 F 50kN e N3 F 40kN f 图 N F 单位 kN 30 40 20 6 设杆件的横截面面积为 A 现将杆沿斜截面 k k 截开 与横截面成 角 规定逆时针为正 的斜截面面积 取左段为研究对象 横截面上 cos A A 的正应力为 则应力可分解成垂直于横截面上的正应力和相切于横截 P 面的切应力 2 coscos p 2sin 2 1 sin p 二 讨论二 讨论 1 特殊截面应力的特点 当时 达到最大值 且 0 max 0 0 铸铁拉伸的断裂面为横 截面 当时 达到最大值 且 45 2 max 45 7 低碳钢由于抗剪能力 比抗拉能力差 拉伸 过程中出现 45o 滑移 线 当 90 时 表示在平行于轴线的纵向截面上没有应力 0 9090 2 两个互相垂直截面的切应力关系 o o o sin sinsin 0 00 90 90 2 2 2902 22 切应力互等定律切应力互等定律 过受力物体任一点取互相垂直的两个截面上的切应力等值反 向 三 例题三 例题 图所示轴向受压等截面杆件 横截面面积 A 400mm2 载荷 F 50kN 试求 横截面及斜截面 m m 上的应力 解 由题可得 横截面上的正应力 N PaMPa F A 3 8 0 6 50 10 1 25 10125 400 10 斜截面上的正应力 o o coscos MPa 22 0 50 1255051 6 斜截面上的切应力 o o sinsin MPa 0 50 125 22 5061 6 22 2 4 材料在拉伸时的力学性能材料在拉伸时的力学性能 材料力学性能是指机械性能 是指材料在外力作用下出现的变形 破坏等 方面的特性 一 低碳钢拉伸时的力学性能一 低碳钢拉伸时的力学性能 试验规范 金属拉伸试验方法 GB228 87 8 一 试验过程 一 试验过程 1 实验装置 9 变变形形传传感感器器 10 2 试样 1 形状 圆形截面 L0 10d0或 L0 5d0 矩形截面 LALA 00 11 35 65三 2 加工精度 0 8 表面高 低粗糙程度 0 8um 3 试验 1 弹性阶段 ob 加载速度 3 10MPa s 从原点至 b 点 及卸载后变形可 以完全恢复 其中 oa 段为直线段 应力 和应变 是线性关系 满足胡克定 律 E 的单位为 GPa E 比例极限 弹性极限 两值非常靠近 工程上不严格区分 P e 2 屈服阶段 从 b 到 c 点 应力不增加而应变显著增加 试验中取波浪线中 最小纵坐标为屈服点 加载速度 小于 15MPa s 屈服极限 上屈服限和下屈服限 材料屈服时产生塑性变形 残余变形 s 即卸载后不能恢复变形 塑性变形将影响杆件能否正常工作 试件表面磨光 屈服阶段试件表面出现 45o 的滑移线 11 缩缩颈颈与与断断裂裂 滑滑移移线线 3 强化阶段 从 c 到 e 点 抵抗变形能力增强 横向尺寸明显减小 4 局部变形阶段 颈缩阶段 过 e 点后 试样局部横向尺寸急剧缩小称为 缩颈 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 二 参数测量 二 参数测量 1 弹性模量 the modulus of elasticity E tanE 12 2 屈服强度 yield stress s 3 抗拉强度 ultimate stress b 4 延伸率 percent elongation 5 塑性材料 100 1 l ll 5 断面收缩率 percent reduction in area 100 1 A AA 三 卸载定律及冷作硬化 三 卸载定律及冷作硬化 1 卸载定律 应力 应变图中 如果在超过屈服点后的 k 点 逐渐卸除拉力 应力和应变关系将沿着近似地平行于 Oa 的斜直线回到点 即应力和应变k k k 按直线规律变化 这就是卸载定律 2 冷作硬化 卸载后 重新加载 比例极限提高 屈服现象不再出现 塑性 变形和伸长率下降的现象称为冷作硬化 3 工程应用 起重机的钢索 建筑钢材 钢材喷丸处理 4 冷作硬化消除 退火 时效 13 二 其它塑性材料 中碳钢 高碳钢 铝合金 青铜 黄铜等 拉伸力学性能二 其它塑性材料 中碳钢 高碳钢 铝合金 青铜 黄铜等 拉伸力学性能 工程常用的其他塑性材料 H62 黄铜 T10A 高碳钢 20Cr 合金结构钢 的机械性能 名义屈服极限名义屈服极限 对于没有明显屈服点的塑性材料 如铝合金 产生 2 0p 0 2 0 002 塑性应变时的应力 三 铸铁拉伸时的力学性能三 铸铁拉伸时的力学性能 铸铁是一种典型的脆性材料 灰铸铁拉伸时的应力 应变关系是一段微弯曲 线 通常取曲线初始部分的割线的斜率作为弹性模量 称为割限弹性模量割限弹性模量 14 2 5 材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能 一 低碳钢的压缩试验一 低碳钢的压缩试验 H 1 5 3d 1 试验过程 弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 局部变形阶段 2 6 轴向拉伸和压缩时的强度计算轴向拉伸和压缩时的强度计算 一 失效与许用应力一 失效与许用应力 1 极限应力 构件失效前所能承受的最大应力 塑性材料 s 0 压缩 拉伸 MPa 10 20 30 400 50 100 200 300 400 灰铸铁 塑性材料的 曲 线 压缩 拉伸 15 脆性材料 b 0 2 许用应力 对于一定材料制成的构件 其工作应力的最大容许值 n 0 二 强度条件二 强度条件 强度校核 A N F 截面设计 N F A 许用载荷确定 AFN 三 例题三 例题 1 图所示变截面由两种材料制成 AE 段为铜质 EC 段为钢质 钢的许用应力 1 160MPa 铜的许用应力 2 120MPa AB 段横截面面积 1000mm2 BC 段的横截面面积是AB 段的一半 外力F 60kN 作用线沿杆方 向 试对此杆进行强度校核 解 求杆的轴力 作轴力图 AD 段 02 0 1x FFF N 解得 kN1202 1 FFN 16 DB段 02 0 2x FFFF N 解得 kN60 2 FFN BC 段 0 0 3x FFF N 解得 kN60 3 FFN 确定危险截面 经分析危险截面在AD 段 强度校核 MPa120 101010 120 62 3 max AD AD A F 所以杆件强度满足要求 2 图示钢木桁架 其尺寸及计算简图如图所示 已知 16kN 钢的许用应力 P F 120MPa 试选择钢竖杆DI的直径 6 3 18m m m Fp Fp Fp Fp Fp 17 Fp FN FN FN 解 求杆DI 的轴力 用截面法取ACI为研究对象 受力图及坐标系如图所示 建立平衡方程 036 0 A PN FFM 解得 kN8 N F 由强度条件可得 N 4 4 Fd A m mm 6 3 10120 10844 N F d2 9 3 图所示桁架 已知两杆的横截面面积均为A 100mm2 许用拉应力 t 200MPa 许用压应力 150MPa 试求载荷的最大许用值 c 1 2 B F B F FN2 FN1 解 1 求 1 2 杆的轴力 以节点B 为研究对象 受力图和坐标系如图 建立平衡方程 045cos 0F 12 NNx FF 045sin 0F 1 FFN y 18 解得 拉 压 FFN2 1 FFN 2 2 确定载荷的最大许用值 1 杆强度条件 tN F A2F 1 kN 14 14 2 1020010100 2 66 t A F 2 杆强度条件 CN F AF 2 kN 0 151015010100 66 C AF 2 7 材料在拉伸或压缩时的变形材料在拉伸或压缩时的变形 轴向拉 压 直杆的变形特点是 在轴向拉力作用下 将引起轴向尺寸的 伸长和横向尺寸的缩小 反之 在轴向压力作用下 将引起轴向的缩短和横向 的增大 一 胡克定律一 胡克定律 HookeHooke s s law law 由试验可知 胡克定律 E 由 和 可得 A N l l EA Nl l 这表示 在线弹性范围内 杆件的变形量与拉力 F 和杆件的原长度 l 成正比 l 与横截面面积 A 成反比 可直接计算杆件的伸长 压缩 量 对长度相同 受力相等的杆件 EA 越大则变形越小 EA 称为杆件的轴向刚度 刚度 the axial rigidity 当轴力与横截面尺寸沿轴线连续变化时 由积分得 xEA dxxF ld N l N xEA dxxF l 19 二 泊松比二 泊松比 PoissonPoisson s s ratio ratio 横向应变与纵向应变之比 对同一种材料为一常数 例题 两根相同的钢杆铰接 作用载荷为 F 475kN 如图 a 所示 钢杆的横截面 面积 长度 若 试求节点 B 的位移 2 1680Amm ml3 GPa200E 解 取节点 B 为隔离体 如图 b 所示 未知力均假设为拉力 由静力平衡 方程 求得杆 AB 的轴力和杆 BC 的轴力分别为 N1 F N2 F N1N2 FFFcoskN 45336 三三 杆 AB 和 BC 的变形量为 为拉伸变形 1 Nm BBmmm Pam N F l l EA 3 3 1 1 962 336 103 3 103 200 101680 10 由已知的几何简图 即可求出 B 点的位移 m BB mm coscos l 1 3 4 24 4545 本题中利用切线法确定变形后节点的位置 B 2 8 拉伸 压缩静不定问题拉伸 压缩静不定问题 1 静定问题 未知力数目等于独立平衡方程数目 未知力可由平衡方程全部求 出 2 静不定问题 未知力数目多余独立平衡方程数目 未知力不能由平衡方程全 A A C B F 1 1 1 1 a A A C B c 2 B 1 B B b F B 45 45 N2 F N1 F 20 部求出 3 静不定问题的解法 几何关系法 1 静力方程 静力关系 2 变形协调方程 变形几何关系 3 物理方程 物理关系 4 例题 图示结构 已知杆 1 2 的拉压刚度为 E1A1 长度为 l1 3 杆的拉压刚度为 E3A3 试求杆 1 2 3 的内力 F 1 3 2 A A A A F FN1 FN3 FN2 A 2 3 1 解 以节点 A 为研究对象 建立平衡方程 N1N2 NNN sinsin coscos x y FFF FFFFF 123 001 002 由变形几何关系可得变形协调方程 cosll 13 由胡克定律可得 NNN NN cos cos F lF lF l ll E AE AE A F lF l E AE A 1 13 33 1 13 113333 2 1 13 1 1133 3 21 由 解得 NN N cos cos cos F FF E AE A F F E AE A 2 12 2 3311 3 3 1133 2 12 2 9 温度应力和装配应力温度应力和装配应力 一 温度应力一 温度应力 由于温度改变但又不能自由膨而或收缩而引起的应力 例 图所示管长度为 l 横截面面积为 A 材料弹性模量为 E 材料线 膨胀系数为 温度升高 t 试求管的温度应力 RB RB F FEAtEt A 二 二 装配应力装配应力 由于尺寸制作不准确而引起的应力 例题 1 如图 a 所示杆件中 杆 1 2 的抗拉刚度为 杆 3 为 杆 3 11A E 33A E 有加工误差 长度为 l 若设法把三杆铰结在一起 由结构对称 求此时各 杆的内力 22 A0 l3 l1 1 3 2 A1 A A FN1 FN3 FN2 解 NN N cos cos cos E A FF E A l E A E A F E A l E A 33 12 33 3 11 33 3 33 3 11 21 2 1 2 2 10 应力集中的概念应力集中的概念 一 应力集中一 应力集中 因构件外形突然变化 而引起局部应力急剧增大的现象 如 切口 切槽 油孔 螺纹 轴肩等 二 应力集