多变量微积分习题课参考答案(二重积分概念、性质、计算)_790307533

微积分B 2 第4次习题课 1 10 微积分 B 2 第 4 次习题课 参考答案 1 比较定理 区域可加性 确定积分区域D 使得二重积分 22 1 d d 94 D xy Ix y 达到 最大值 解 根据重积分的比较定理和积分区域的可加性性质 只要积分域D包含了使得被积函数 22 10 94 xy f x y 的所有点 而没有包含 22 10 94 xy f x y 的点 那么二重积分 22 1 d d 94 D xy Ix y 就会达到最大值 所以积分域应取为 22 1 94 xy Dx y 2 二重积分与累此积分的关系 设函数 f x y连续 交换下列累次积分的积分次序 1 2 1 0 d d x x xf x yy 2 2 1222 0010 d dd d x xx xf x yyxf x yy 3 1 3 00 d cos sin df rrr r 4 2cos 2 0 2 d cos sin df rrr r 解 1 2 1 0 d d x x xf x yy 对应的二重积分的积分域D由yx 2 yx 0 x 1x 围成 如图 令 1 1 01 yx D y 2 1 10 yx D y 则 12 DDD 所 以 2 1 0 d d x x xf x yy 1101 01 d dd d yy yf x yxyf x yx 2 如图 2 12 00 d d x x xf x yy 对应的积分域为 1 D 22 10 d d x xf x yy 对应的积分域为 2 D 记 12 DDD 则 2 112 01 yxy D y 所以 2 1222 0010 d dd d x xx xf x yyxf x yy 2 12 011 d d y y yf x yx 1 1 1 1 y 2x x2 x y 2 21 D2 D1 微积分B 2 第4次习题课 2 10 3 1 3 00 d cos sin df rrr r 对应的积分域为D 如图 所以 11 33 0000 d cos sin dd cos sin df rrr rr rf rr 4 2cos 2 0 2 d cos sin df rrr r 对应的积分域D是一个圆心在 1 0 半径为1的圆 如图 所以 2cos 2 0 2 d cos sin df rrr r 2arccos2 0arccos2 d cos sin d r r r rf rr 3 二重积分的几何意义 在极坐标系下的计算 设 3 R由锥面 22 1zxy 与平面 zx 和0 x 围成 求 的体积 解 在xOy平面上的投影域D由曲线 22 1xxy 与直线0 x 围成 D在极坐标下可 以表示成 1 0 1cos 22 r D 所以 22 1 d d D Vxyxx y 1 21 cos 0 2 2 d 1 1cos d 9 rr r 4 平均值的概念 交换积分次序 求函数 2 1 sind x f xtt 在区间 0 1 的平均值 解 函数 2 1 sind x f xtt 在区间 0 1 的平均值为 1111 22 0010 ddsinddsind x x ff xxxttxtt 交换积分次序 得 1111 222 0000 1 dsinddsindsind 1cos1 2 t x xttttxttt 所以 1 cos1 1 2 f 5 二 重 积 分 在 极 坐 标 系 下 的 计 算 泰 勒 公 式 当0t 时 求 无 穷 小 量 222 22 1cos d xyt f txy 的阶 解 因为 2 2 00 d 1cos d t f trr r D 1 2 D 微积分B 2 第4次习题课 3 10 222266 1 6 sin ttttto t 66 6 to t 所以 f t在0t 时是6阶无穷小量 6 二重积分的性质 在极坐标系下的计算 设 22 1 0 Dx y xyx 计算二重积 分 22 1 d d 1 D xy Ix y xy 解 因为D关于x轴对称 且 22 1 xy xy 关于y是奇函数 所以 22 d d0 1 D xy x y xy 从而 11 2 2 222 00 2 1 d dddln 1 ln2 1122 D r Ix yrr xyr 7 二重积分的性质 在极坐标系下的计算 设D是介于圆周 22 4xy 与 22 1 1xy 之 间的部分 计算二重积分 22 d D Ixyy 解法 1 记 1 D 22 4xy 2 D 22 1 1xy 则 12 2222 d d DD Ixyyxyy 因为 11 2 2 2222 00 16 dddd 3 DD xyyxyr r r 22 3 2cos 2222 2 0 2 dddd DD xyyxyr r r 3 3 2 33 2 2 2 8816 cosdsin 399 所以 22 16 d 3 1 9 D Ixyy 解法 2 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知 d0 D y 所以 22d D Ixy 12 2222 2dd DD xyxy 上上 2 2 22 2 002cos 2 2ddddrrrr D 微积分B 2 第4次习题课 4 10 44816 2 3 1 3399 8 二重积分的变量替换公式 二重积分在极坐标系下的计算 设 22 1 1 2 Dx yxyyx 计算二重积分 d d D xyx y 解法 1 作变量代换 平移 1 1 ux vy 则 22 2 Du vuvvu 如图 1 D x y D u v 所以 5 2 4 0 4 8 d d u d dd cossin d 3 DD xyx yvu vrrr r 解法 2 由 22 1 1 2xy 得 2 sincos r 所以 3 2 sincos 4 0 4 d dd cossin d D xyx yrrr r 3 2 sincos 3 4 0 4 1 cossin d 3 r 3 3 4 4 8 cossin sincos d 3 3 4 4 818 sincos 343 9 二 重 积 分 的 性 质 在 直 角 坐 标 系 下 的 计 算 设 2Dx yxy 2 22 1 1 12 xxy f x y xy xy 求 F t 解法1 将区域 0 xt D xyt 交换次序为 0 0 yt D xy 所以 000 decosde cosde d ttty xyyx x F txy yy yx 0e e 1 cosd t yy y y 根据变限定积分函数的导数公式 得 F t e e1 cos tt t 解法2 令 0 decosd uv xy x G u vxy y 则 F tG t t 所以 1 1 uvuv F tGt tGt tGt tGt t 其中 ecosdecosd0 vt uyty u ut u vt t Gt ty yy y 000 ecosdecosde cose de e1 cos utt x vx ttxtt v u vt t Gt tv xt xtxt 所以 F t e e1 cos tt t Remark 0 ecosd u x v v Gu vv x 利用了含参变量积分的求导公式 解法3 根据含参变量积分的求导公式 求导得 0 ecosdecosd tt xyx t t F ty yt x 0 0e cose d t tx tx e e1 cos tt t 14 偏导数概念 分部积分公式 交换积分顺序 已知函数 f x y具有二阶连续偏导数 且 1 0 1 0fyf x d d D f x yx ya 其中 01 01Dx yxy 计算二 重积分 d d xy D Ixyfx yx y 解 因为 1 0 1 0fyf x 所以 1 0 1 0 yx fyfx 从而 11 00 d d xy Ix xyfx yy 11 1 0 00 dd y xyx x yfx yfx yyx 微积分B 2 第4次习题课 8 10 11 00 d d x yxfx yx 11 1 0 00 dd x x xf x yf x yxy 11 00 d dyf x yxa 15 交换积分次序 或函数等式证明 设函数 f t连续 求证 2 0000 1 dd d d 2 xvux vuf ttf t txt 证法 1 交换积分顺序 得 0000 d dd d d vuvvv t uf tttf tuf t vtt 所以 00000 dd dd d xvuxv vuf ttvf t vtt 再交换积分顺序 得 000 d dd d xvxx t vf t vtttf t vtv 0 d d xx t f ttvtv 2 0 1 d 2 x f t xtt 所以 2 0000 1 dd d d 2 xvux vuf ttf t txt 证法 2 令 000 dd d xvu F xvuf tt 2 0 1 d 2 x G xf t xtt 则 0000 d dd d d xuxxx t F xuf tttf tuf t xtt 0 d x G xf t xtt 又因为 0 0F 0 0G 所以 F xG x 即 2 0000 1 dd d d 2 xvux vuf ttf t txt 16 二重积分与累次积分的关系 分部积分公式 比较定理等 已知函数 f x y具有 二阶连续偏导数 且关于变量x和y的周期均为1 即对任意的点 x y 都有 1 f xyf x y 和 1 f x yf x y 若 f x y满足 22 11 22 11 d d0 f x yf x y xf x yy xy 证明 f x y是常函数 证明 因为 微积分B 2 第4次习题课 9 10 22 11 22 11 d d f x yf x y xf x yy xy 22 1111 22 1111 d dd d f x yf x y xf x yyxf x yy xy 且 22 1111 22 1111 d dd d f x yf x y xf x yyyf x yx xx 12 11 11 1 dd x x f x yf x y f x yxy xx 2 11 11 dd f x y xy x 2 11 2 11 d d f x y xf x yy y 12 11 11 1 dd y y f x yf x y f x yyx yy 2 11 11 dd f x y yx y 所以当 22 11 22 11 d d0 f x yf x y xf x yy xy 时 必有 22 11 11 d d0 x y f x yf x y x y xx 因为 22 f x yf x y xx 连续非负 所以 22 0 f x yf x y xx 从而 0 f x y x 0 f x y y 11x 1y 1 故 yxf在11x 1y 1 时是常数 考虑到其周期性便知 yxf在定义域上 是常数 17 二重积分与累次积分的关系 比较定理 均值不等式 设函数 f x连续 且 0 mf xM 0 1 x 求证 1 01 01 1d d x y f x x y f y 2 01 01 d d x y f x x y f y 2 4 Mm M m 证明 1 因为 0101 0101 d dd d xx yy f xf y x yx y f yf x 所以 微积分B 2 第4次习题课 10 10 010101 010101 2d dd d2 d d2 xxx yyy f xf xf y x yx yx y f yf yf x 即 01 01 1d d x y f x x y f y 2 01 01 d d