2015高考数学(人教版)一轮复习课时训练：2.9-函数模型及其应用(含答案解析)

课时提升作业课时提升作业 十二十二 函数模型及其应用函数模型及其应用 45 45 分钟分钟 100100 分分 一 选择题一 选择题 每小题每小题 5 5 分分 共共 4040 分分 1 2014 鄂州模拟 在一次数学实验中 运用计算器采集到如下一组数据 x 2 0 1 001 02 03 0 y0 24 0 5112 02 3 98 8 02 则 y 关于 x 的函数关系与下列最接近的函数 其中 a b c 为待定系数 是 A y a bx B y a bx C y ax2 bD y a b 2 2014 黄冈模拟 如图 正方形 ABCD 的顶点 A B 顶点 C D 位于 0 2 2 2 2 0 第一象限 直线 l x t 0 t 将正方形 ABCD 分成两部分 记位于直线 l 左侧 2 阴影部分的面积为 f t 则函数 S f t 的图象大致是 3 2014 随州模拟 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料 如图 为降低消 耗 开源节流 现要从这些边角料上截取矩形铁片 如图中阴影部分 备用 当截 取的矩形面积最大时 矩形两边长 x y 应为 A x 15 y 12B x 12 y 15 C x 14 y 10D x 10 y 14 4 2014 岳阳模拟 国家规定某行业征税如下 年收入在 280 万元及以下的税 率为 p 超过 280 万元的部分按 p 2 征税 有一公司的实际缴税比例为 p 0 25 则该公司的年收入是 A 560 万元B 420 万元 C 350 万元D 320 万元 5 2014 北京模拟 在半径为 R 的半球内有一内接圆柱 则这个圆柱的体积的 最大值是 A R3 B R3 2 3 9 4 3 9 C R3D R3 2 3 3 4 9 6 2014 潍坊模拟 一张正方形的纸片 剪去两个一样的小矩形得到一个 E 形图案 如图所示 设小矩形的长 宽分别为 x y 剪去部分的面积为 20 若 2 x 10 记 y f x 则 y f x 的图象是 7 2014 郑州模拟 某种新药服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克 如图所 示为函数 y f x 的图象 当血液中药物残留量不小于 240 毫克时 治疗有效 设 某人上午 8 00 第一次服药 为保证疗效 则第二次服药最迟的时间应为 A 上午 10 00B 中午 12 00 C 下午 4 00D 下午 6 00 8 能力挑战题 如图 A B C D 是某煤矿的四个采煤点 m 是公路 图中所标线段 为道路 ABQP BCRQ CDSR 近似于正方形 已知 A B C D 四个采煤点每天的采煤量 之比约为 5 1 2 3 运煤的费用与运煤的路程 所运煤的质量都成正比 现要 从 P Q R S 中选出一处设立一个运煤中转站 使四个采煤点的煤运到中转站的 费用最少 则地点应选在 A P 点 B Q 点 C R 点 D S 点 二 填空题二 填空题 每小题每小题 5 5 分分 共共 2020 分分 9 某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍 且知病毒的繁殖规律为 y ekt 其中 k 为常数 t 表示时间 单位 小时 y 表示病毒个数 则 k 经过 5 小时 1 个病毒能繁殖为 个 10 2014 温州模拟 一高为 H 满缸水量为 V 的鱼缸截面如图所示 其底部破了 一个小洞 满缸水从洞中流出 若鱼缸水深为 h 时的水的体积为 V1 则函数 V1 f h 的大致图象可能是图中的 11 如图 书的一页的面积为 600cm2 设计要求书面上方空出 2cm 的边 下 左 右方都空出 1cm 的边 为使中间文字部分的面积最大 这页书的长 宽应分别为 12 能力挑战题 某医院为了提高服务质量 对挂号处的排队人数进行了调查 发现 当还未开始挂号时 有 N 个人已经在排队等候挂号 开始挂号后排队的人 数平均每分钟增加 M 人 假定挂号的速度是每个窗口每分钟 K 个人 当开放一个 窗口时 40 分钟后恰好不会出现排队现象 若同时开放两个窗口时 则 15 分钟后 恰好不会出现排队现象 根据以上信息 若要求 8 分钟后不出现排队现象 则需 要同时开放的窗口至少应有 个 三 解答题三 解答题 13 13 题题 1212 分分 14 14 1515 题各题各 1414 分分 13 2014 宜昌模拟 湖北宜昌 三峡人家 风景区为提高经济效益 现对某一 景点进行改造升级 从而扩大内需 提高旅游增加值 经过市场调查 旅游增加值 y 万元与投入 x x 10 万元之间满足 y f x ax2 x bln a b 为常数 当 101 50 x 10 x 10 万元时 y 19 2 万元 当 x 20 万元时 y 35 7 万元 参考数据 ln2 0 7 ln3 1 1 ln5 1 6 1 求 f x 的解析式 2 求该景点改造升级后旅游增加利润 T x 的最大值 增加利润 旅游增加值 投入 14 2014 珠海模拟 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中 情况的调查研究中 发现其注意力指数 p 与听课时间 t 之间的关系满足如图所 示的曲线 当 t 0 14 时 曲线是二次函数图象的一部分 当 t 14 40 时 曲 线是函数 y loga t 5 83 a 0 且 a 1 图象的一部分 根据专家研究 当注意力 指数 p 大于等于 80 时听课效果最佳 1 试求 p f t 的函数关系式 2 老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳 请说明理由 15 能力挑战题 2013 武汉模拟 预计某地区明年从年初的前 x 个月内 对某 种商品的需求总量 f x 万件 近似满足 f x x x 1 35 2x x N 且 x 12 1 写出明年第 x 个月的需求量 g x 万件 与月份 x 的函数关系式 并求出哪个 月份的需求量超过 192 万件 2 如果将该商品每月都投放到该地区 p 万件 不包含积压商品 要保证每月都 满足供应 p 至少为多少万件 积压商品转入下月继续销售 答案解析答案解析 1 解析 选 B 由 x 0 时 y 1 排除 D 由 f 1 0 f 1 0 排除 C 由函数值增长速度不 同 排除 A 故选 B 2 解析 选 C f t 增长的速度先快后慢 故选 C 3 思路点拨 利用三角形相似列出 x 与 y 的关系式 用 y 表示 x 从而矩形面积可 表示为关于 y 的函数 解析 选 A 由三角形相似得 24 24 8 x 20 得 x 24 y 由 0 x 20 得 8 y 280万 依题意有 280 280 2 p 0 25 解之得 x 320 万元 5 解析 选 A 设圆柱的高为 h 则圆柱的底面半径为 圆柱的体积为 R2 2 V R2 h2 h h3 R2h 0 h R V 3 h2 R2 0 h 时 V 有最大值 R 3 为 V R3 2 3 9 6 思路点拨 先根据已知构建函数 y f x 解析式 再结合图象作出选择 解析 选 A 由题意知 xy 10 即 y 且 2 x 10 10 加固训练 一水池有两个进水口 一个出水口 每个水口的进 出水速度如图甲 乙所示 某天 0 点到 6 点 该水池的蓄水量如图丙所示 给出以下 3 个论断 0 点到 3 点只进水不出水 3 点到 4 点不进水只出水 4 点到 6 点不进水也不出水 则一定正确的是 A B C D 解析 选 A 由丙图知 0 点到 3 点蓄水量为 6 故应两个进水口进水 不出水 故 正确 由丙图知 3 点到 4 点间 1 小时蓄水量少 1 个单位 故 1 个进水 1 个出水 故 错 误 由丙图知 4 点到 6 点蓄水量不变 故可能不进水也不出水或两个进水一个出水 故 错误 7 解析 选 C 当 x 0 4 时 设 y k1x 把 4 320 代入 得 k1 80 所以 y 80 x 当 x 4 20 时 设 y k2x b 把 4 320 20 0 代入得 4 2 320 20 2 0 解得 k2 20 400 所以 y 400 20 x 所以 y f x 80 0 4 400 20 4 20 由 y 240 得或 0 4 80 240 4 20 400 20 240 解得 3 x 4 或 40 运煤的费用与运煤的路程 所运煤的质量都成 正比 比例系数为 k k 0 则地点选在点 P 其运到中转站的费用为 k 5xl 2xl 6xl 12xl 25kxl 地点选在点 Q 其运到中转站的费用为 k 10 xl xl 4xl 9xl 24kxl 地点选在点 R 其运到中转站的费用为 k 15xl 2xl 2xl 6xl 25kxl 地点选在点 S 其运到中转站的费用为 k 20 xl 3xl 4xl 3xl 30kxl 综上可知地点应选在 Q 煤运到中转站的费用最少 误区警示 本题易因不能准确确定采煤点和中转站的路程关系而导致错误 9 解析 由已知得 2 e 2 所以 ln2 即 k 2ln2 k 2 当 t 5 时 y e 2ln2 5 210 1024 e 2 10 答案 2ln2 1024 10 解析 当 h 0 时 V1 0 可排除 由于鱼缸中间粗两头细 所以当 h 在 附 H 2 近时 体积变化较快 h 小于 时 体积增加越来越快 h 大于 时 体积增加越来越慢 H 2 H 2 答案 11 思路点拨 设这页书的长为 xcm 根据面积为 600cm2将宽用 x 表示 再将中间 文字部分的面积 S 用 x 表示 进而求函数最值 解析 设这页书的长为 xcm 宽为 ycm 则 xy 600 所以 y 则中间文字部分的长为 x 2 1 x 3 cm 600 宽为 y 2 cm 600 2 所以其面积 S x 3 600 2 606 2 x 900 又解得 3 x 0 600 2 0 所以 S 606 2 2 486 x 900 当且仅当 x 即 x 30 时 Smax 486 此时 y 20 900 答案 30cm 20cm 12 解析 设要同时开放 x 个窗口才能满足要求 则 N 40 40 15 15 2 8 8 由 得 K 2 5 60 代入 得 60M 8M 8 2 5Mx 解得 x 3 4 故至少同时开放 4 个窗口才能满足要求 答案 4 加固训练 2012 福建高考 某地区规划道路建设 考虑道路铺设方案 方案设计 图中 点表示城市 两点之间连线表示两城市间可铺设道路 连线上数据表示两城 市间铺设道路的费用 要求从任一城市都能到达其余各城市 并且铺设道路的总 费用最小 例如 在三个城市道路设计中 若城市间可铺设道路的线路图如图 1 则 最优设计方案如图 2 此时铺设道路的最小总费用为 10 现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3 则铺设道路的最小总费用为 解析 根据题目中图 3 给出的信息及题意 要求的是铺设道路的最小总费用 且 从任一城市都能到达其余各城市 可将图 3 调整为如图所示的结构 线段下方的 数字为两城市之间铺设道路的费用 此时铺设道路的总费用为 2 3 1 2 3 5 16 答案 16 13 解析 1 由条件 a 102 101 50 10 1 19 2 202 101 50 20 2 35 7 解得 a b 1 则 f x x ln x 10 1 100 x2 100 101 50 x 10 2 由 T x f x x x ln x 10 则 T x x2 100 51 50 x 10 50 51 50 1 1 50 50 令 T x 0 则 x 1 舍 或 x 50 当 x 10 50 时 T x 0 因此 T x 在 10 50 上是增函数 当 x 50 时 T x 0 因此 T x 在 50 上是减函数 所以 x 50 为 T x 的极大值点 即最大值点 即该景点改造升级后旅游增加利润 T x 的最大值为 T 50 24 4 万元 14 解析 1 t 0 14 时 设 p f t c t 12 2 82 c 0 将 14 81 代入得 c 1 4 t 0 14 时 p f t t 12 2 82 t 14 40 时 将 14 81 代入 y loga t 5 83 得 a 1 4 1 3 所以 p f t 1 4 12 2 82 0 14 1 3 5 83 14 40 2 t 0 14 时 由 t 12 2 82 80 1 4 解得 12 2