平方根和立方根经典讲义

因材施教 成就英才 高品质教育 高品质生活 初二 实数 学生版 page 1 of 5 平方根和立方根平方根和立方根 中考要求 内容基本要求略高要求 较高要 求 平方根 算术平方根 了解平方根及算术平方根的概念 会用 根号表示非负数的平方根及算术平方根 会用平方运算求某些非负数的平方根 立方根 了解立方根的概念 会用根号表示数的 立方根 会用立方根运算求某些数的立方根 实数了解实数的概念会进行简单的实数运算 知识点睛 实数可按下图进行详细分类 实数可按下图进行详细分类 0 正整数 整数 负整数有理数有限小数或无限循环小数 正分数实数 分数 负分数 正无理数 无理数无限不循环小数 负无理数 实数与数轴上的点一一对应实数与数轴上的点一一对应 以下概念均在实数域范围内讨论以下概念均在实数域范围内讨论 平方根的定义及表示方法 平方根的定义及表示方法 如果一个数的平方等于 那么这个数叫做的平方根 aa 也就是说 若 则就叫做的平方根 2 xa xa 一个非负数的平方根可用符号表示为 aa 算术平方根 算术平方根 一个正数有两个互为相反数的平方根 其中正的平方根叫做的算术平方根 可用符号表示为 aa 有一个平方根 就是 的算术平方根也是 负数没有平方根 当然也没有算术平方根 a0000 负数的平方根在实数域内不存在 具体内容高中将进学习研究 一个非负数的平方根不一定是非负数 但它的算术平方根一定是非负数 即若 则 0a 0a 平方根的计算 平方根的计算 求一个非负数的平方根的运算 叫做开平方 开平方与平方是互逆运算 可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根 以及检验一个 数是不是另一个数的平方根或算术平方根 因材施教 成就英才 高品质教育 高品质生活 初二 实数 学生版 page 2 of 5 通过验算我们可以知道 通过验算我们可以知道 当被开方数扩大 或缩小 倍 它的算术平方根相应地扩大 或缩小 倍 2 nn0n 平方根和算术平方根与被开方数之间的关系 若 则 不管为何值 总有0a 2 aa a 2 0 0 a a aa a a 注意二者之间的区别及联系 若一个非负数介于另外两个非负数 之间 即时 它的算术平方根也介于 a 1 a 2 a 12 0aaa 1 a 之间 即 利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致 2 a 12 0aaa 范围 立方根的定义及表示方法 立方根的定义及表示方法 如果一个数的立方等于 那么这个数叫做的立方根 也就是说 若则就叫做的立方根 aa 3 xa xa 一个数的立方根可用符号表 其中 叫做根指数 不能省略 a 3 a3 前面学习的 其实省略了根指数 即 也可以表示为 a2 2 aa 读作 三次根号 读作 二次根号 读作 根号 3 aa 2 aaaa 任何一个数都有立方根 且只有一个立方根 正数的立方根为正数 负数的立方根为负数 的立方根为 00 立方根的计算 立方根的计算 求一个数的立方根的运算 叫做开立方 开立方与立方是互逆运算 可以通过立方运算来求一个数的 立方根 以及检验一个数是不是另一个数的立方根 通过归纳我们可以知道 通过归纳我们可以知道 当被开方数 大于 0 扩大 或缩小 倍 它的立方根相应地扩大 或缩小 倍 3 nn 33 aa 33 aa 若一个数介于另外两个数 之间 即 a 1 a 2 a 12 aaa 它的立方根也介于和之间 即 3 1 a 3 2 a 3 33 12 aaa 利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围 重 难点 重点 重点 平方根和立方根的基本概念 以及灵活应用 难点 难点 平方根的性质 例题精讲 例例 1 判断下列各题 并说明理由 的平方根是 819 一定是正数 a 的算术平方根是 2 aa 若 则 2 5a 5a 93 因材施教 成就英才 高品质教育 高品质生活 初二 实数 学生版 page 3 of 5 是的平方根 6 2 6 的平方根是 2 6 6 若 则 2 36x 366x 若两个数平方后相等 则这两个数也一定相等 如果两个非负数相等 那么这两个数各自的算术平方根也一定相等 算术平方根一定是正数 没有算术平方根 2 a 的立方根是 644 是的立方根 1 2 1 6 33 xx 互为相反数的两个数的立方根互为相反数 正数有两个互为相反数的偶数次方根 任何数都有唯一的奇数次方根 例例 2 若 则 若 则 22 2 a a 22 3 x x 若 则的平方根是 若 则 22x 25 x 2 5x x 若 则 若 则 2 1 a a a 2 0aa a 当 的算术平方根是 0m 2 m 算术平方根是 则 2 ab ab ab 若一个自然数的一个平方根是 那么比它大 的自然数的平方根是 m1 平方根等于本身的数是 算术平方根等于它本身的数是 立方根等于它本 身的数是 平方根与立方根相等的数是 例例 3 计算下列各题 2 1 51 30 3 x 3 100 2 0 027x 33 1257351 11 64168 333 21600010 125 例例 4 已知某正数的两个平方根是与 求这个正数 35a 1a 例例 5 已知 求的值 为正整数 3 2 27ab 235ab 21 3 n ab n 因材施教 成就英才 高品质教育 高品质生活 初二 实数 学生版 page 4 of 5 例例 6 已知为实数 且满足 求的值 a200201aaa 2 200a 课堂作业 练习练习 1 若 求所有可能值 22 3 x 33 2 y xy 练习练习 2 一个数的平方根是和 求这个数 22 ab 4613ab 练习练习 3 已知的平方根是 的立方根是 求的平方根 2a 2 27ab 3 22 ab 练习练习 4 已知 那么ab 的值为 2 2 5 0ab 家庭作业 1 的平方根是 的平方根是 的平方根是 16 2 2 5 2 2 的相反数是 的立方根是 3 864 平方根等于本身的数是 算术平方根等于它本身的数是 立方根 等于它本身的数是 平方根与立方根相等的数是 已知 是整数 则满足条件的最小正整数为 20nn A 2B 3C 4D 5 因材施教 成就英才 高品质教育 高品质生活 初二 实数 学生版 page 5 o