2013-2014-1练习参考答案

第一章函数 极限与连续性第一章函数 极限与连续性 练习 1 函数 一 选择题 C D D 二 填空题 1 2 3 2 57xx 40 40 xx f f x xx 0 1 三 1 2 2 33 D 0 1D 四 1 2 2 sin lnyu uV Vx 2 ln arctan 2yu uV Vw wx 五 六 七 略 2 1 2 x x e yxR e sin1 1 sin1 01 sin3 0 xx f xxx xx 练习 2 一 选择题 C D D 二 三 四略 练习 3 一 略 二 不存在 同理地 不存在 0 lim1 x x x 0 lim1 x x x 0 lim x x x 0 lim x g x 三 略 练习 4 极限的运算法则与极限存在准则 两个重要极限 一 选择题 B A A 答案改为 4 B 二 填空题 1 1 3 5 ln2 三计算题 1 原式 2 原式 6 6 2 2 lim 1 t t e t 6 6 2 2 lim 1 x x e x A 3 原式 4 令 则原式 2 0 2 sin 2 lim1 2 x x x arcsintx 0 lim1 sin x t t 5 原式 6 原式 4 2sin 4 lim2 4 x x x 2 1 lim 1 1 lim 1 x x x x x e x 7 原式 8 原式 2 2 2 sin 0 lim 1 2 x x x x xe A 2 1cos1 1 cos1 2 0 lim 1 cos1 x x x x xe A 四 证明 当 所以0 111 n xxx 时 0 lim11 n x x 当 所以 故0 111 n xxx 时 0 lim11 n x x 0 lim 11 n x x 练习 5 无穷小的比较 一 选择题 C C C B A 二 填空题 0 1 2 1 3 2 5 三计算题 1 原式 2 原式 3 3 0 lim1 x x x 0 1 lim 44 x x x 3 4 原式 2 3 1 1 3 lim1 1 x xx x 3020 20 50 12 2 3 3 lim 1 2 2 x xx x 5 原式 6 原式 3 0 2sin 1 cos lim1 x xx x 2 sin sin 2limlim2 2 xx x x x x 四 因为 所以 2 00 tansin 2 limlim0 kk xx x x xx C xx A 3k 练习 6 函数的连续性与间断点 一 选择题 1 C 2 C 3 B 二 填空题 1 2 3 可去0 1x 1 ln5 2 三 求下列函数的不连续点并判别间断点的类型 1 2 0 x 跳跃间断点1 x 跳跃间断点 四 证明略 五 六 3 2 a 2 b a 1 b 2 练习 7 连续函数的性质 一 证明 令 则 4 42F xxx 12 0 2 0F xFF 在 上连续 且 由零点定理可知 至少存在 使 1 2 0F 二 证令 sinF xxaxb 0F xF a F ab 在a b 上连续 且 由零点定理可知 至少存在 使 a ab 0F 三 证令 F xf xx 0F xF a F b 在a b 上连续 且 由零点定理可知 至少存在 使 a b 0F 四 则 1 2 F xf xf x 1 2 F x 在0 上连续 111 0 0 1 222 FffFff 若若 则取 1 0 1 2 fff 0 1 2 x 则命题得证 若若 则 1 0 2 ff 1 0 0 2 FF 由零点定理可知 至少存在 使 1 0 2 0F 函数 极限与连续自测题函数 极限与连续自测题 一 选择题 C D D 二 二 填空题 1 2 1 3 4 5 02 8ab 2 3 1a 三 1 2 3 4 5 6 1 7 8 e 1 2 0 1 2 2x 2 e 3 abc 四 五 略 六 是间断点 且是第一类间断点的跳跃间断点 2 1ae 1x 七 a 1 b 1 练习练习 8 8 导数的概念导数的概念 一 选择题1 D 2 C 3 B 4 C 二 填空题 1 连续 不可导 2 2011 3 6 4 0 三 解答题 1 2 3 4 连续且可导 31f4 4ab 1 e 练习练习 9 9 求导法则 求导法则 1 1 一 填空题 1 2 3 17 25 15 360 xy 二 计算下列函数的导数 y 1 2 3 4 2 152 ln23 xx xe 2 lnxxx 2 sincos sin xxx x 2 2 1 2 1 x xx 5 6 2 arctan 12 xx xx 422 2 2 3234ln 3ln xxxxxx xx 三 四 五 28170 xy 2 4 24 bacb aa 21yx 练习练习 1010 求导法则 求导法则 2 2 一 填空题 1 2 3 2 1 arctan 1 f x x lna 2x e 二 求下列函数的导数 y 1 2 3 4 2 1 1x 3 2 2 4 4x arcsin 3 x 2 1 1x 5 6 arccosx 2 3arcsin 2 4 x x 三 解答题 1 2 3 3 2 0 2 2 sin2sincosx fxfx 4 22 22f x fxg x gx fxgx 练习练习 1111 求导法则 求导法则 3 3 一 填空题 1 2 3 4 5 0 x xn e 1 2cos 2 2 n n x 2 12sin8 cossinxxxxx 2 二 计算题 1 2 3 2 2 1 x x 11 1111 1 1 5325 3 2 nn n nn nn yy xxxx 二 求由下列方程所确定的函数的导数 dx dy 1 2 2 3 3 6 xyx yxy xy xy 三 解答题 1 2 3 2ln2 1 1 2ln2 xy xy y x 0 ln2 1 y 1 4 四 1 2 切线方程 cos y y e yxe yx 五 切线 法线 4560 xy 54130 xy 练习练习 1212 求导法则 求导法则 4 4 一 填空题 1 2 3 1 ln x xx 2 3 4 b a t 22 22 b ybxa a 二 计算题 1 1 sin1cos 1sin 2 1 2sin1 x xx x x e xexexx e xxe 2 3 1 4 5 2 1 ln 3 ln33 111 x x xx x xxx 2 1 24 tt yy t 3 6 7 8 1 ft 22 3 11 1 yx y 2 3 3 2 y ey y y 练习练习 1313 函数的微分函数的微分 一 填空题 1 高阶 2 3 必要 4 1 2 cot 2 x dx x 2 2 14x 2 2 1x 3 4 tan2x 1 1x 二 计算题 1 求下列函数的微分dy 1 2 2 21 x xx e dx 2 1111 sincos 21 x dx xxx xx 3 sin sin cos ln x x xxxdx x 2 1 2 1 12 2 sinln 1 2 x x x xe dyxedx x xe 3 4 5 略 1 ln1 y dydx yy 2 2 xy dydx xy 6 1 2 3 2360 1498 150 第二章第二章 自测题 自测题 1 1 一 选择题 3 分 5 15 分 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 二 填空题 3 分 5 15 分 1 2 3 nn a faxb 1 cossinsincosff xff xf x fx 4 1 三 解答题 7 分 8 56 分 1 2 3 arctan x1 2 x y 2 2 1 lnfxax ax 4 5 11111 21234xxxx 3 2 cossin t ett 6 7 21 sin 2 12 sin x edx xx 1 11 2 2 2 2121 3 xxxy 8 9 不连续 跳跃间断点 2faafaa 10 11 利用左右导数定义及极限的保号性可证1ab 参考答案参考答案 练习练习 1414 一 3 C 二 个根 1 2 3 3 2 3 1 2 2 3 3 4 三 1 设 则 故 由 从而 arctancotF xxarcx 0F x F xC 1 2 F 2 F x 设 由罗尔定理得出 2012 2012F xf xxF xfx 3 设 由罗尔定理得出 2 2F xf xxF xfxx 4 设辅助函数 由罗尔定理得出 F xxf xF xf xxfx 练习练习 1515 一 B 二 6 19 3 2 ab 三 6 3 次洛必达法则 1 6 1 6 1 3 1 3 1 练习练习 1616 一 1 0 1 1 n n n xx n f xR 0 n n xxoxR 4 23 7 2 11115 4 2 4 4 4 464512 4 16 4 4 x xxx x 01 0 1 2 3 2n n x n xx xx 4 1 2 1 2 n xn xx exo x n 2 33552121 12 222 sin2 1 3 5 21 nn nn xxx xxo x n 3 23 1 ln 1 1 23 n nn xxx xxo x n 4 2 1 1 1 1 1 2 nn n xxxxo x n 二 1 用皮亚诺余项 3 1 2 提示 皮亚诺余项 12 1 0 2 1 1 1 22 2 1 2 xxx 0 2 1cos 2 2 x x x 3 提示 3 2 1 0 1 3 1 1 1 1 3 1 xxx 练习练习 1717 一 C D 二 2 3 3 1 2 0 2 11 3 f 2 14f 三 1 用单调性证明 递减间区 递增区间 为极大值 为极小 0 1 0 1 3 0 f2 1 f 值 当桶的底面直径 桶高时 桶的容积最大 2 3 S d 2 3 S h 4 用单调性证明 练习练习 1818 一 4 二 2 22 22 1y 1x 三 1 提示 极值拐点 6 9 2abc 0 y 0y 2 凹区间 凸区间 拐点 1 0 0 1 1 2 1 2 18 29 渐近线 0 1yx 四 证法一 设 用极值证明 sin2f xxx 证法二 不等式变形为 设 用单调性证明 sin2x x sin2 x f x x 证法三 设 用凹凸性证明 2 sinf xxx 练习练习 1919 一 0 1 R 1 1 4x 2 14y 3sin costt2 二 递减区间 递增区间 1 1 1 3 1 3 为极大值 为极小值 无拐点 有斜渐近线 2 1 f0 3 f 5 4 1 xy 2 递减区间 递增区间 211 0 333 2 0 3 为极大值 为极小值 拐点为 无渐近线 图形略 250 327 f 0 2f 152 327 三 1 2 2 K 练习练习 2020 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用 一 填空题一 填空题 1 在处 当改变一个单位时 近似 改变 20 个单位 10 20 y 10 x xy 2 总成本为 平均成本为 边际成本为 经济含义是 10 125C 10 12 5C 10 5 C 在生产个单位时 再生产一个单位商品所需的成本为 105 3 3 Ey x Ex 2 6 x Ey Ex 二 选择题二 选择题 1 2 3 A 三 应用题三 应用题 1 300 2 1 20 120 30 120 20 6 30 4 20 2 30 2RRRRRR 2 经济意义是 当销售量达到 20 时 如果多销售 1 个单位产品 则收益将 20 2 R 增加 2 个单位 经济意义是 当销售量达到 30 时 如果多销售 1 个单位产 30 2 R 品 则收益将减少 2 个单位 3 25 3 1 经济意义是 当价格时 若价格上涨 或下降 一个单位时 需 4 8 Q 4P 求量将减少 或增加 8 个单位 2 经济意义是 当价格时 需求变动的幅度小于价格变动的幅度 4 0 541 4P 即当时 价格上涨 需求只减少 4P 10 54 3 增加 4 减少 5 0 460 855P 导数应用导数应用 综合自测题参考答案综合自测题参考答案 一 1 D 2 B 3 B 4 A 二 1 2 3 4 5 两 1 2 2 3 1 10q 三 1 设 则 原式 2 xt 0t 8 1 4 cosln lim 2 0 t t t 2 原式 2 2 sin2 lim 1ln cos1 1 0 2 2 0 2 limeee x ex ex x x x x x 1 1 ln1 limlimlim0 nnn xxx x x xnxnx 4 1 1 00 1 1 limlim0 x xx x e x e 四 1 证明 设 用单调性证明 2 1 e 1 x f xxx 2 设 由零点定理及单调性证得 5 1F xxx 五 2 842441 10332 12402462 62016 abcda abcdbyaxbxc abccyaxb abd 六 存在 及在上连续 fx f xfx F x 1 2 1 1 0F xf xxfxF 00 1 0 2 01 2 0FFF 0 1 0F 七 八 用洛必达法则证 附加题参考答案 附加题参考答案 1 即当 时 在 处连续 当 时 有 当 时 由导数的定义有 2 每月销售件该商品时可使总利润最大 100 3 1 2 3 增加 24 P P P 1 3 0 67 练习 21 不定积分的概念与性质参考答案 一 选择题 1 D 2 B 3 C 二 填空题 1 0 2 3 cxx cot3 2 1 2 2 xxy 三 求不定积分 1 324 1 23ln3 4 xxdxxxxc 2 cxxxdxxxdxxxx sectantansecsec tan secsec 2 单调增加 区间 0 单调减少 区间 0 极值点1x 极值 极大值 1 1 fe 凹区间 2 凸区间 2 拐点 2 2 2 e 渐近线0 y 3 1 1 3 33 3 1 ln3 xx xxx e e dxe dxc 4 cxxdxdx x dx x tan2sec2 cos2 1 2cos1 1 2 2 5 6 42 3 2 331 arctan 1 xx dxxxc x 22 tancot sincos dx xxc xx 7 32 11 1 2 1 1 x dxc xxx 8 dx x x 3 2 1 dxxxx 2 3 5 3 2 3 1 cxxx 3 5 3 5 3 2 8 3 5 6 2 3 练习 22 换元积分法与分部积分法 1 参考答案 一 选择题 1 D 2 C 3 D 二 填空题 1 xd x sin 1 sin 1 2 cx x sin sin 1 2 若 dxbaxfCxFdxxf 则 cbaxF a 1 3 设 则 x exf dx x xf ln c x 1 三 求不定积分 1 cexdedxxe xxx 222 2 1 2 1 2 2 cxxd x dx xx lnarcsinln ln1 1 ln1 1 22 3 dx x x cos tan c x dx x x cos 2 cos sin 2 3 4 ln lnln ln lnln dx xc xxx 5 cxxdx x x dx x x dx x xx 2 2 222 arccos 2 1 1 1 arccos 11 arccos 6 2 arctan 1 x x xxx dxde ec eee 7 8 33 1 sincoscos 3 xdxxxc 2 arctan arctan 1 x dxxc xx 练习 23 换元积分法与分部积分法 2 参考答案 一 选择题 1 C 2 B 3 B 二 填空题 1 dxxarcsincxxx 2 1arcsin 2 dxx 2 36cx xx 2 36 26 arcsin18 3 dxxxcoscxxx cossin 三 计算题 1 2 令 cxxdx xx 2 2 11lnln 1 1 tdtdxtxtx21 1 2 则 11x dx dt t dt t t 1 1 12 1 2 cxx 11ln 212 3 c x xdx x x 3 arccos39 9 2 2 4 dx x x 2 cos cxxxxxd coslntantan 5 6 222 11 24 xxx xedxxeec 3 2 ln1ln ln ln xxx dxc xxxx 7 8 四 略 1 cos sincos 2 xx exdxexxc ceexdxe xxx 22 练习 24 几种特殊类型函数的积分 一 求不定积分 1 2 3 cxx 2ln3lncxx 5ln2ln cxx 1ln 2 1 ln 2 4 5 cxe x 11ln2cxx arctan 6 66 6 7 cx xx x cos1ln 2 cosln2 2 tanc x 3 1 2 tan2 arctan 3 2 不定分自测题答案 一 选择题 1 D 2 C 3 B 4 A 5 A 6 D 二 填空题 1 2 3 4 5 x4cot3cc x x ln ceF x c x 3 arcsin 三 计算题 1 2 3 c xx 1 ln 1 cx 1sin ln 2 cxxxx 22 1 1ln 4 5 2ln1xxc cxxx 1ln 442 44 6 7 8 c x x x sin 2coscxx 83ln2 2 lnsinxxc 四 21 3 1 2 36CxCxyCxyxy 又的切线为 2 0 在 3 2 632 切 kyx 3 2 1 Ck切 故曲线为 2 0 3 2 2 3 又过点Cxxy2 2 C2 3 2 3 xxy 五 dxxfx ln cexxedx x xf xxf xx ln ln 附加题 x x xftxtxxt arcsin arcsinsinsin 2 则 dxxf x x 1 cxxx 2arcsin12 定积分及其应用参考答案 练习 25 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 一 选择题 A C D 二 填空题 1 2 2 0 3 4 4 三 1 2 3 四 0 l Mx dx 1 2 1 2 01 dx x 2 1 1 2 yx 五 3 0 15 4 32 Vt dt 六 证明 由积分中值定理 使得 0 1 1 2 3 2 3 3 1 0 3 f x dxfff 在满足罗尔定理使 即在内至少存在一点 使 f x 0 0 0f 1 0 0f 练习 26微积分基本公式微积分基本公式 一 选择题 A C B C B 二 填空题 1 0 2 3 4 2 sinb 2 sina 1 5 6 三 计算题 1 2 124 32 11 xx xx 2 24 2 0 2 x tx e dtx e 5 4 6 2 原式 3 原式 2 4 0 sec11 4 d 0 2 2 1 1 31 14 xdx x 4 原式 5 原式 8 6 原式 0 2 cos2 2x dx 2 0 5 0 2tan 1 lim 69 x x xttdt x 7 对等式两边求导 2 sin0 y xe y 2 sin y yex 8 原式 012 22 201 1 5 2 x dxxdxx dx 练习 27定积分的换元法定积分的换元法 一 选择题 D A B B 二 填空题 1 200 0 三 计算题 1 原式 2 1 1 ln1 2 31 1 ln e dx x 2 原式 3 原式 2 6 1 cos23 268 udu 2 00 4 sinsin 3 dd 4 令 原式 xt 2 0 22 2ln2 1 t dt t 5 令原式 1 x et 2 1 2 0 22 1 14 t dt t 6 令 原式 sinxt 22 2 0 sincos 16 ttdt A 7 令 故原式 8 证略 22 xtu 2 22 00 1 2 xx tf xtdtf u du 2 xf x 练习 28定积分的分部积分法定积分的分部积分法 一 选择题 C B 二 填空题 7 2 2 ln x f xx e 三 计算题 1 原式 2 原式 2 2 2 0 1 cos2 2 x xdx A 3 原式 4 原式 4 1 2ln8ln24xdx 3 4 cotxdx 1311 ln3ln2 4922 5 原式 1 1 0 2 0 1 arctanln2 142 x xxdx x 6 原式 I 2 2 00 coscos1 sin xx x xdeexeI exdx 1 1 2 Ie 7 令 原式 8 提示 xt 2 2 0 22 1 t te dte 00 sinsin fxxdxxdfx 练习 29定积分的应用 定积分的应用 1 一 选择题 C B C 二 计算题 1 1 2 2 9 2 2 Ayy dy 2 在处的切线方程 在处的切线方程 0 0 4yx 4 0 416yx 故面积为 24 22 02 16 444164 3 Axxx dxxxx dx 3 22 222 00 1 cos 3 a Aydxat dta 4 2 2 0 1 4 1 cos 166 2 Ad 5 1 3222 12 0 1 1 0 2 t t ssstx dxx dxt tst maxmin 1111 0 0 1 2243 ssssss 练习 30 定积分的应用 定积分的应用 2 一 选择题 B A 二 填空题 1 2 3 8 64 5 2 0 dt 三 计算题 1 11 4 00 3 10 Vxdxx dx 2 223 4 3 3 3 R R A xRxdxVA x dxR 3 11 222222 00 2 21 21 1614Vxxx 4 22 22 00 443 cos sin6Sxy dtattdta 5 1 依胡克定律可得从而故Fkx 5 500 0 01 k 500Fx 0 4 0 50040 WxdxJ 5 2 1 元 40 0 40 12 5 490 80 q Ldq 2 售出台时 前台平均利润为 元 6030 30 0 1 12 5 12 31 3080 q dq 后台平均利润为 元 30 60 30 1 12 5 11 94 3080 q dq 6 1 以水面为轴 垂直向下为轴 建立坐标系 yx 3 25 0 1 3 92 10 3 x WgxdxJ A 6 2 元 100 64 25 5 280C qdq q 练习 31 广义积分广义积分 一 选择题 C D B 二 填空题 1 2 3 4 01P 1P 1P 1P 1k 12k 三 计算题 1 1 21 ln arcsinln 2 1 ln e e dx x x 2 原式 3 原式 0 2 0 11 axax x eedx aaa 2 1 18 1 31 xdx x 4 1