高数 高等数学 微分练习题及答案详解(南风暖心)

第二节第二节 微分微分 2 1 2 1 微分的概念微分的概念 淘宝特卖 http www g 一 微分概念的引入一 微分概念的引入 在实际测量中 由于受到仪器精度的限制 往往会产生误差 例 如 x0为准确数 实际测量出是 x x0 x 为 x0的近似数 由此产 生的误差为 x 相应产生的函数值的误差 y f x0 x f x0 往往需要估计 y 的值 如果 f x0 x f x0 计算很复杂 因此 计算 y 也很麻烦或者实际中只知道近似数 x 与误差 x 又如何估计 y 淘宝特卖 http www g 假设 f x 存在 则 f x 有 0 x lim x x f xx f 00 0 x lim x y f x 0 于是 x y 0 x lim y f x0 x x 而 0 x lim x x 1 即 x 0 x x 0 因此 当 x 很小时 y f x0 x 淘宝特卖商城 http www g 在实际中如果不知道 x0 只知道 x 由 x0 x 相差很小 则 y f x x 从而可以估计出 y 从 1 式我们看到 f x0 相对 x 是一个常数 x 是 x 的高阶无穷小 如果 y A x 0 x x 0 则 y A x 由此得到微分的概念 淘宝特卖商城 http www g 二 微分的概念二 微分的概念 定义定义 设 y f x 在 x0的某领域 U x0 内有定义 若 y f x x f x 可表示为 y A x o x x 0 其中 A 是写 x 无关的常数 A x 称为 y 的线性部 则称 y f x 在点 x 处可微 称线性部 A x 为 y f x 在点 x 处的微分 记为 dy 即 dy A x 南风暖心网 http www g 三 可微与可导的关系三 可微与可导的关系 从概念的引入 我们可以看到可导必可微 反之也是正确的 因此有 定理定理 函数函数 y y f x f x 在点在点 x x 可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数 y y f x f x 在点在点 x x 处可导 且处可导 且 A A f x f x 南风暖心网 http www g 证 充分性 由 f x 在点 x 处可导 有 f x 于是 0 x lim x y f x 其中 0 有 x y 0 x lim y f x x x 由 0 有 x o x 0 x lim x y x 0 淘宝特卖商城 http www g 所以 y f x x o x x 0 因此 y f x 在点 x 处可微且 f x A 必要性 由 y f x 在点 x 处可微 由定义知 y A x 0 x x 0 A 与 x 无关 由 A A f x 0 x lim x y 0 x lim x x O 所以 y f x 在点 x 处可导 于是 若 y f x 在点 x 处可微 则 dy A x 由 A f x 有 dy f x x 淘宝特卖商城 http www g 由函数 x 在 x 处可微 则 dx x x x 即自变量的改变 量等于自变量的微分 因此 dy f x dx 等价于 f x dx dy 由此可见 导数 f x 等于函数 y f x 的微分 dy 与自变量 x 的微分 dx 的商 因此 导数又称为微商 这时不仅可以看成一 dx dy 个整体记号 也可以看成 dy 与 dx 的商 下面举几个例子 来说明微分的一些实际意义 1 圆面积 S r2 其中 r 为圆半径 则 淘宝特卖首页 http www g 2 6 S r r 2 r2 2 r r r 2 ds 2 r r 2 rdr 当半径有增量 r 时 圆面积的增量 S 如图中圆环表示 用 微分 ds 近似它即以边长为 2 r 圆 环内圆长 高为 圆环厚度 dr 的长方形面积来近似 如图 2 7 淘宝特卖首页 http www g 2 7 2 圆柱体体积 V r2h 其中 r 为圆柱体的底面半径 h 为圆柱的高 v r r 2h r2h 2 rh h r h r 2 dv 2 rh r 2 rhdr 淘宝网特卖频道 http www g 2 8 当底面半径有增量 r 时 圆柱体的增量 v 如图中空心圆柱 表示 用微分 dv 近似 即底面长为 2 r 内圆柱底面周长 宽为 h 圆柱的高 高为圆柱厚度 r 的长方体体积 如图 2 9 3 球的体积 v r3 其中 r 为地球半径 当半径有增量 r 3 4 时 球体积的增量 即薄球壳的体积 v V r r 3 r3 3 4 3 4 r3 3r2 r 3r r3 r3 3 4 4 r2 r 4r r r2 r 3 4 dv 4 r2 r 南风暖心网 http www g 即薄球壳的体积 v 用微分 dv 近似即以球壳内球面面积 4 r2 与厚 dr 的乘积来近似 四 微分的几何意义四 微分的几何意义 若 y f x 在点 x 处可微 则 y f x x o x dy o x 南风暖心网 http www g 2 9 及 PT 中曲线 y f x 在曲线上点 P x y 处的切线斜率 tan f x y f x x f x NQ dy f x x tan x NT 图 2 10 o x y dy NQ TQ 淘宝特卖 http www g 风暖心网 由 dy y 即 NT NQ 则 PT PQ 2 2 NTx 2 2 NQx PQ 因此 当 x 很小时 可用线段 NT 近似代替 NQ 或者说在 P 点邻近 可用切线段 PT 近似代替曲线弧 PQ 2 2 2 2 微分的基本性质微分的基本性质 淘宝特卖 http www g 一 微分基本公式一 微分基本公式 由 dy f x dx 将导数公式表中每个导数乘上自变量的微分 dx 便得相应的微分公式 公式略 请读者写出来 二 微分的四则运算二 微分的四则运算 淘宝特卖首页 http www g 定理定理 设 u x v x 在点 x 处均可微 则 u v uv cu c 为常数 v 0 在点 x 处都可微 且 v u 1 d u v du dv 2 d uv vdu udv 特别 d cu cdu c 为常数 3 d v 0 特别 d v 0 v u 2 v udvvdu v 1 2 v dv 淘宝特卖首页 http www g 注 微分的四则运算与导数的四则运算类似 只须把导数四则运 算中的导数改成微分 就可得到微分的四则运算 证 3 d dx dx v u v u 2 v uvv u v 0 2 v dx uvvdx u 2 v udvvdu 三 一阶微分不变形三 一阶微分不变形 定理定理 若 u x 在 x 处可微 y f u 在点 u u x 处可 微 则复合函数淘宝特卖商城 http www g y f x 在点 x 处可微 且 dy f u du 证 由复合函数的求导法则知 y f x 在点 x 处可导 所 以在点 x 处可微 且 dy WB f x x dx f x d x f u du 淘宝特卖商城 http www g dy f u du 即这里 u 是中间变量 它与当 x 是自变量 y f x 在点 x 处可微 dy f x dx 形式一样 我们称之为微分 的一阶不变性 例 1 y e淘宝网特卖频道 http www g xxsin 2 解法一 由 y ecos x2 2x xxsin 2 x x2 1 于是 dy y dx ecos x2 2x dx xxsin 2 x x2 1 解法 2 利用微分的四则运算和微分一阶不变性 dy de ed sin x2 xxsin 2 xxsin 2 x ecos x2 d x2 xxsin 2 xx ecos x2 d x2 d xxsin 2 xx ecos x2 2xdx dx xxsin 2 x x2 1 ecos x2 2x dx xxsin 2 x x2 1 从这里也可得到 y ecos x2 2x xxsin 2 x x2 1 例 2 求由方程 2y x x y ln x y 所确定的函数 y y x 的微分 dy 淘宝网特卖频道 http www g 解 对方程两端求微分 d 2y x ln x y d x y x y dln x y 得 2dy dx ln x y dx dy dx dy 解出 dy 有 dy dx 淘宝特卖 http www g yx2 x 例 3 利用微分求 t y t x dx dy 2 2 dx yd 解 y dx dy t d t d dt t dt t t t 从这里可以看出 只要求 t t 存在且 t 0 存在 淘宝特卖 http www g dx dy dt 2 2 dx yd dx dy t d t t d dt t t t t t t 2 3 t t t t t 2 3 2 3 近似计算与误差估计近似计算与误差估计 一 近似计算一 近似计算 淘宝特卖 http www g 若 y f x 在点 x0处可微 即 y f x0 x f x0 f x0 x o x x 0 当 x 很小时 有 y f x0 x 1 即 f x0 x f x0 f x0 x 则 f x0 x f x0 f x0 x 2 1 式为我们提供计算 y 近似值的公式 2 式为我们提供计算 f x0 x 近似值的公式 特别 x0 0 有 f x f 0 f 0 x 设 x x 若 x 很小时 有 f x f 0 f 0 x 于是当 x 很小时 sin xtsx x ln 1 x x ex 1 x 1 x 1 x 0 与我们前面讲的等价无穷小量完全一致 例 4 计算的近似值 100 002 1 解 设 f x f x x f 100 1 100 1 100 99 100 1 由 f 1 002 f 1 0 002 100 002 1 f 1 f 1 0 002淘宝特卖 http www g 1 0 002 1 00002 100 1 二 误差估计二 误差估计 从微分概念的引入可知 应用微分来估计误差 是非常方便迅速 的 设 x0为准确数 x 为近似的数 则 x x x 称为准确数 x0 的绝对误差限 若存在正数 x 使 x x0 x x 则 称 x为绝对误差限 称 或 为准确数的相对误差 而 0 x x x x 或 为相对误差限 淘宝特卖 http www g 0 x x x x 若 y f x 则 y dy f x0 x f x0 x y 于是 y f x0 x或 f x x称为 y 的绝对误差 限 x或 x称为 y 的相对误差限 y y x f x f 0 0 x f x f 例 5 为了计算出球的体积精确到 1 问度量球的直径 D 所允 许的最大相对误差是多少 南风暖心网 http www g 解 球的体积 v 3 由 3 4 2 D 6 D3 dv dD 于是 2 D 2 3由 1 有 v dv 6 D dD 2 D 3 2 D dD v dv 3 1 即 0 33 D dD D dD 3 1 2 4 2 4 高阶微分高阶微分 南风暖心网 http www g 若 y f x 在区间 X 上可微 x 为自变量 则 dy f x dx 这里 dy 不仅与 x 有关 与 dx x 也有关 而 x 是与 x 无关 的一个量 我现在是研究 dy 与 x 之间的关系 因此 在这里 x 相 对于 x 来说是个常数 所以 dy 是 x 的函数 如果 dy 又可微即 f x 存在 则 d dy d f x dx d f x dx f x dxdx f x dx2称为 f x 的二阶微分 记作 d2y 即 d2y f x dx2 淘宝特卖商城 http www g 一般地若 dn 1y f n 1 x dxn 1可微 即 f n x 存在 则 d dn 1y d f n 1 x dxn d f n 1 x dxn 1 f n x dx dxn f n x dxn称为 f x 的 n 阶微分 记作 dny 即 dny f n x dxn则 淘宝特卖商城 http www g 卖商城 f n x x 为自变量 n n dx yd 因此 f n x 可看成 dny 与 dxn的商 又称 n 阶微商 我们知道不论 u 是中间变量 还是自变量 f u 存在 若 u 是 中间变量 u x 存在 都有一阶微分不变性 dy f u du 二阶有没有微分不变性呢 若 x 是自变量 f x 存在 则 d2y f x dx2 南风暖心网 http www g 若 y f u u x 且 f u 都存在 由 dy f u du 于是 d2y d dy d f u du du df u f u d du f u du du f