高中概率与统计复习知识点与题型

概率与统计知识点与题型概率与统计知识点与题型 3 1 13 1 1 3 1 23 1 2 随机事件的概率及概率的意义随机事件的概率及概率的意义 1 1 基本概念 基本概念 1 必然事件 在条件 S 下 一定会发生的事件 叫相对于条件 S 的必然事件 2 不可能事件 在条件 S 下 一定不会发生的事件 叫相对于条件 S 的不可能事件 3 确定事件 必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件 4 随机事件 在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件 叫相对于条件 S 的随机事件 5 频数与频率 在相同的条件 S 下重复 n 次试验 观察某一事件 A 是否出现 称 n 次试验中事件 A 出 现的次数 nA 为事件 A 出现的频数 称事件 A 出现的比例 fn A 为事件 A 出现的概率 n nA 对于给定的随机事件 A 如果随着试验次数的增加 事件 A 发生的频率 fn A 稳定在某个常 数上 把这个常数记作 P A 称为事件 A 的概率 6 频率与概率的区别与联系 随机事件的频率 指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 n nA 它具有一定的稳定性 总在某个常数附近摆动 且随着试验次数的不断增多 这种摆动幅度 越来越小 我们把这个常数叫做随机事件的概率 概率从数量上反映了随机事件发生的可能 性的大小 频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 3 1 33 1 3 概率的基本性质概率的基本性质 1 基本概念 1 事件的包含 并事件 交事件 相等事件 2 若 A B 为不可能事件 即 A B 那么称事件 A 与事件 B 互斥 3 若 A B 为不可能事件 A B 为必然事件 那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 4 当事件 A 与 B 互斥时 满足加法公式 P A B P A P B 若事件 A 与 B 为对立事件 则 A B 为必然事件 所以 P A B P A P B 1 于是有 P A 1 P B 2 概率的基本性质 1 必然事件概率为 1 不可能事件概率为 0 因此 0 P A 1 2 当事件 A 与 B 互斥时 满足加法公式 P A B P A P B 3 若事件 A 与 B 为对立事件 则 A B 为必然事件 所以 P A B P A P B 1 于是有 P A 1 P B 4 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生 其 具体包括三种不同的情形 1 事件 A 发生且事件 B 不发生 2 事件 A 不发生且事件 B 发生 3 事件 A 与事件 B 同时不发生 而对立事件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生 其包括两种情形 1 事件 A 发生 B 不发生 2 事件 B 发生事件 A 不发生 对立事件互斥事件的特殊情形 3 2 13 2 1 3 2 23 2 2 古典概型及随机数的产生古典概型及随机数的产生 1 1 古典概型的使用条件 试验结果的有限性和所有结果的等可能性 2 古典概型的解题步骤 求出总的基本事件数 求出事件 A 所包含的基本事件数 然后利用公式 P A 总的基本事件个数 包含的基本事件数A 3 3 13 3 1 3 3 23 3 2 几何概型及均匀随机数的产生几何概型及均匀随机数的产生 1 基本概念 1 几何概率模型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则 称这样的概率模型为几何概率模型 2 几何概型的概率公式 P A 积 的区域长度 面积或体试验的全部结果所构成 积 的区域长度 面积或体构成事件A 1 几何概型的特点 1 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有无限多个 2 每个基本事件出 现的可能性相等 一 随机变量一 随机变量 1 1 随机试验的结构应该是不确定的 试验如果满足下述条件 试验可以在相同的情形下重复进行 试验的所有可能结果是明确可知的 并且不止一个 每次试验 总是恰好出现这些结果中的一个 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果 它就被称为 一个随机试验 2 2 离散型随机变量离散型随机变量 如果对于随机变量可能取的值 可以按一定次序一一列出 这样的随机变量叫做离 散型随机变量 若 是一个随机变量 a b 是常数 则ba 也是一个随机变量 一般地 若 是随机 变量 xf是连续函数或单调函数 则 f也是随机变量 也就是说 随机变量的某些函数也是随机变量 设离散型随机变量 可能取的值为 21i xxx 取每一个值 2 1 1 ix的概率 ii pxP 则表称为随机变量 的概率分布 简称 的分布列 1 x 2 x i x P1 p 2 p i p 有性质 2 1 0 1 ip 1 21 i ppp 注意 若随机变量可以取某一区间内的一切值 这样的变量叫做连续型随机变量连续型随机变量 例如 5 0 即 可以 取 0 5 之间的一切数 包括整数 小数 无理数 3 3 二项分布二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 P 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 knkk n qpCk P 其中pqnk 1 1 0 于是得到随机变量 的概率分布如下 我们称这样的随机变量 服从二项分布 记作 B n p 其 中 n p 为参数 并记p nb k qpC knkk n 二项分布的判断与应用 二项分布 实际是对 n 次独立重复试验 关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复 且每次试验只有 两种结果 如果不满足此两条件 随机变量就不服从二项分布 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小 而每次抽取时又只有两种试验结果 此时可以把它看作独立重复试验 利用二项分布求其分布列 4 4 几何分布 几何分布 k 表示在第 k 次独立重复试验时 事件第一次发生 如果把 k 次试验时事件 A 发生 记为 k A 事 A 不发生记为q P A A kk 那么 AAAAP k P k1k21 根据相互独立事件的概率乘法分 式 P AAP A P AP k P k1k21 3 2 1 1 kpq k 于是得到随机变量 的概率分布列 123 k Pq qp pq2 pq 1k 我们称 服从几何分布 并记pqp g k 1k 其中 3 2 1 1 kpq 5 5 超几何分布超几何分布 一批产品共有 N 件 其中有 M M N 件次品 今抽取 Nnn 1 件 则其中的次品数 是一离散型随机变量 分布列为 MNknM 0k 0 C CC k P n N kn MN k M 分子是从 M 件次品中取 k 件 从 N M 件正品中取 n k 件的取法数 如果规定m r时0C r m 则 k 的范围可以写为 k 0 1 n 超几何分布的另一种形式 一批产品由 a 件次品 b 件正品组成 今抽取 n 件 1 n a b 则次品数 的分布列为n 0 1 k C CC k P n ba kn b k a 超几何分布与二项分布的关系 设一批产品由 a 件次品 b 件正品组成 不放回抽取 n 件时 其中次品数 服从超几何分布 若放回式抽 取 则其中次品数 的分布列可如下求得 把ba 个产品编号 则抽取 n 次共有 n ba 个可能结果 等可 能 k 含 knkk n baC 个结果 故 n 0 1 2 k ba a 1 ba a C b a baC k P knkk n n knkk n 即 ba a nB 我们先为 k 个次品选定位置 共 k n C种选法 然后每个次品位置有 a 种选法 每个正品 位置有 b 种选法 可以证明 当产品总数很大而抽取个数不多时 k P k P 因此二项分布可作 为超几何分布的近似 无放回抽样可近似看作放回抽样 二 数学期望与方差二 数学期望与方差 1 期望的含义 一般地 若离散型随机变量 的概率分布为 1 x 2 x i x P1 p 2 p i p 则称 nnp xpxpxE 2211 为 的数学期望或平均数 均值 数学期望又简称期望 数学期望反映了 离散型随机变量取值的平均水平 2 随机变量ba 的数学期望 baEbaEE 当0 a时 bbE 即常数的数学期望就是这个常数本身 当1 a时 bEbE 即随机变量 与常数之和的期望等于 的期望与这个常数的和 当0 b时 aEaE 即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积 单点分布 ccE 1 其分布列为 cP 1 两点分布 ppqE 10 其分布列为 p q 1 二项分布 npqp knk n kE knk 其分布列为 pnB P 为发生 的概率 01 Pqp 几何分布 p E 1 其分布列为 pkq P 为发生 的概率 3 3 方差 标准差的定义方差 标准差的定义 当已知随机变量 的分布列为 2 1 kpxP kk 时 则称 nn pExpExpExD 2 2 2 21 2 1 为 的方差 显然0 D 故 D 为 的根方差或标 准差 随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动 集中与离散的程度 D越小 稳定性越高 波动越小 4 4 方差的性质方差的性质 随机变量ba 的方差 DabaDD 2 a b 均为常数 单点分布 0 D 其分布列为pP 1 两点分布 pqD 其分布列为 p q 1 二项分布 npqD 几何分布 2 p q D 5 期望与方差的关系 如果 E和 E都存在 则 EEE 设 和 是互相独立的两个随机变量 则 DDDEEE 期望与方差的转化 22 EED EEEEE 因为 E为一常数 0 EE 三 正态分布三 正态分布 1 密度曲线与密度函数 对于连续型随机变量 位于 x 轴上方 落在任一区间 ba内的概率等于它 与 x 轴 直线ax 与直线bx 所围成的曲边梯形的面积 如图阴影部分 的曲线叫 的密度曲线 以其作为 图像的函数 xf叫做 的密度函数 由于 x 是必然事件 故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1 2 2 正态分布与正态曲线 正态分布与正态曲线 如果随机变量 的概率密度为 2 2 2 2 1 x exf Rx 为常数 且0 称 服从参数为 的正态分布 用 2 N表示 xf的表达式可简记为 2 N 它 01 Pqp y x ab y f x 的密度曲线简称为正态曲线 正态分布的期望与方差 若 2 N 则 的期望与方差分别为 2 DE 正态曲线的性质 曲线在 x 轴上方 与 x 轴不相交 曲线关于直线 x对称 当 x时曲线处于最高点 当 x 向左 向右远离时 曲线不断地降低 呈现出 中间高 两边低 的 钟形曲线 当x 时 曲线上升 当x 时 曲线下降 并且当曲线向左 向右两边无限延伸时 以 x 轴为渐 近线 向 x 轴无限的靠近 当 一定时 曲线的形状由 确定 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 越小 曲线 越 瘦高 表示总体的分布越集中 3 3 标准正态分布 标准正态分布 如果随机变量 的概率函数为 2 1 2 2 xex x 则称 服从标准正态 分布 即 1 0 N有 xPx 1 xx 求出 而 P a b 的计算则是 abbaP 注意 当标准正态分布的 x 的 X 取 0 时 有5 0 x当 x 的 X 取大于 0 的数时 有5 0 x 比如 5 00793 0 5 0 则 5 0 必然小于 0 如图 正态分布与标准正态分布间的关系 若 2 N则 的分布函数通 常用 xF表示 且有 x F x x P 习题习题 1 6 名同学排成两排 每排 3 人 其中甲排在前排的概率是 A B C D 12 1 2 1 6 1 3 1 2 有 10 名学生 其中 4 名男生 6 名女生 从中任选 2 名 恰好 2 名男生或 2 名女生的概 率是 A B C D 45 2 15 2 3 1 15 7 x y a 标准正态分布曲线 S阴 0 5Sa 0 5 S S 3 甲乙两人独立的解同一道题 甲乙解对的概率分别是 那么至少有 1 人解对的概率 21 p p 是 A B C D 21 pp 21 pp 21 1pp 1 1 1 21 pp 4 从数字1 2 3 4 5这五个数中 随机抽取2个不同的数 则这2个数的和为偶数的概率 是 A B C D 5 1 5 2 5 3 5 4 5 有 2n 个数字 其中一半是奇数 一半是偶数 从中任取两个数 则所取的两数之和 为偶数的概率是 A B C D 1 2 1 2n 1 21 n n 1 21 n n 6 有 10 名学生 其中 4 名男生 6 名女生 从中任选 2 名学生 恰好是 2 名男生或 2 名 女生的概率是 A B C D 45 2 15 2 15 7 3 1 7 已知 P 箱中有红球 1 个 白球 9 个 Q 箱中有白球 7 个 P Q 箱中所有的球除颜色 外完全相同 现随意从 P 箱中取出 3 个球放入 Q 箱 将 Q 箱中的球充分搅匀后 再 从 Q 箱中随意取出 3 个球放入 P 箱 则红球从 P 箱移到 Q 箱 再从 Q 箱返回 P 箱中的 概率等于 A B C D 5 1 100 9 100 1 5 3 C9 2 C10 3 乘以 C9 2 C10 3 8 已知集合 A 12 14 16 18 20 B 11 13 15 17 19 在 A 中任取一个元素 用 ai i 1 2 3 4 5 表示 在 B 中任取一个元素用 bj j 1 2 3 4 5 表示 则 所取两数满足 ai bI的概率为 A 4 3 B 5 3 C 2 1 D 5 1 9 在圆周上有 10 个等分点 以这些点为顶点 每 3 个点可以构成一个三角形 如果随 机选择 3 个点 刚好构成直角三角形的概率是 直径有 5 个 A B C D 1 4 1 3 1 2 1 5 10 已知 10 个产品中有 3 个次品 现从其中抽出若干个产品 要使这 3 个次品全部被抽 出的概率不小于 0 6 则至少应抽出产品 A 7 个 B 8 个 C 9 个 D 10 个 11 甲 乙独立地解决 同一数学问题 甲解决这个问题的概率是 0 8 乙解决这个问题的 概率是 0 6 那么其中至少有 1 人解决这个问题的概率是 A 0 48 B 0 52 C 0 8 D 0 92 12 某小组有三名女生 两名男生 现从这个小组中任意选出一名组长 则其中一名女生小丽当选为组长 的概率是 13 掷两枚骰子 出现点数之和为 3 的概率是 14 某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成 现从中选出 2 人担任正副班长 其中至少有 1 名女生当选的概 率是 15 我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示 年降水量 mm 100 150 150 200 200 250 250 300 概率 0 210 160 130 12 则年降水量在 200 300 m m 范围内的概率是 16 向面积为 S 的 ABC 内任投一点 P 则 PBC 的面积小于的概率是 2 S 17 有五条线段 长度分别为 1 3 5 7 9 从这五条线段中任取三条 则所取三条线段能构成一个三 角形的概率为 18 在等腰 Rt ABC 中 在斜边 AB 上任取一点 M 则 AM 的长小于 AC 的长的概率为 19 甲 乙两名篮球运动员 投篮的命中率分别为 0 7 与 0 8 1 如果每人投篮一次 求甲 乙两人至少有一人进球的概率 2 如果每人投篮三次 求甲投进 2 球且乙投进 1 球的概率 20 加工某种零件需要经过四道工序 已知死一 二 三 四道工序的合格率分别为 且各道工序互不影响 9 10 8 7 6 9 8 7 1 求该种零件的合格率 2 从加工好的零件中任取 3 件 求至少取到 2 件合格品的概率 3 假设某人依次抽取 4 件加工好的零件检查 求恰好连续 2 次抽到合格品的概率 用最简分数表示结果 2121 甲 乙两名工人加工同一种零件 两人每天加工的零件数相等 所得次品数分别为 和 的分布列如下 012 012 P 6 10 1 1010 3 P 5 1010 32 10 则比较两名工人的技术水平的高低为 思路启迪 一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值 即期望 二是要看出次品 数的波动情况 即方差值的大小 22 22 某商场经销某商品 根据以往资料统计 顾客采用的付款期数 的分布列为 12345 P0 40 20 20 10 1 商场经销一件该商品 采用 1 期付款 其利润为 200 元 分 2 期或 3 期付款 其利润为 250 元 分 4 期或 5 期付款 其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润 求事件A 购买该商品的 3 位顾客中 至少有 1 位采用 1 期付款 的概率 P A 求 的分布列及期望E 参考答案 参考答案 1 5 BDDBC 6 11 CBBBCD 12 13 14 15 0 25 16 17 18 5 1 18 1 7 53 4 3 10 2 2 19 解 设甲投中的事件记为 A 乙投中的事件记为 B 1 所求事件的概率为 P P A