《电磁场与电磁波》课后习题解答(第一章)

第一章习题解答第一章习题解答 习题习题 1 1 解解 2 2 222 2 2 222 2 2 222 222 222 222222222 222 222 cos cos cos coscoscos 1 x x xyz y xyz z xyz xyz xyzxyzxyz xyz xyz 矢径r与轴正向的夹角为 则 同理 矢径r与y轴正向的夹角为 则 矢径r与z轴正向的夹角为 则 可得 从而得证 aa bb gg abg 习题习题 1 2 解解 92433132 9 243 54 9 243 236335 xyzxyzxyz xyzxyzxyz xyzxyz ABeeeeeeeee A Beeeeeeeee A Beeeeee A B 9 243 191 243 31514 xyz xyzxyz xyz eee eeeeee eee 习题习题 1 3 解解 已知 38 xyzxyz Aebece Beee 1 要使 则须散度 AB 0A B A 所以从 可得 1 380A Bbc A381bc 即只要满足 3b 8c 1 就可以使向量 和向量 垂直 2 要使 则须旋度 AB A0AB 所以从 1 83 8 3 0 138 xyz xyz eee ABbcbc ec eb e 可得 b 3 c 8 习题习题 1 4 解解 已知 因为 所以应有129xyzAeee xyBaebe BA 0A B 即 1291290 xyzxyeeeaebeab 又因为 所以 1B 22 1ab 由 解得 34 55 ab 习题习题 1 5 解解 由矢量积运算规则 123233112 xyz xyz xxyyzz eee A Caaaa za y ea xa z ea ya x e xyz B eB eB e B 取一线元 xyz dle dxe dye dz 则有 0 xyz xyz eee dlBBB dxdydz B 则矢量线所满足的微分方程为 xyz dxdydz BBB 或写成 233112 dxdydz k a za ya xa za ya x 常数 求解上面三个微分方程 可以直接求解方程 也可以采用下列方法 1 k xaayaa zad zaaxaa yad yaazaa xad 3231 3 2132 2 3121 1 2 k xayaz zdz zaxay ydy yazax xdx 211332 由 1 2 式可得 31211 yaaxaakxad 3 21322 zaaxaakyad 32313 xaayaakzad 32 xyaxzakxdx 4 13 yzaxyakydy 21 xzayzakzdz 对 3 4 分别求和 0 321 zadyadxad0 321 zayaxad 0 zdzydyxdx0 222 zyxd 所以矢量线方程为 1321 kzayaxa 2 222 kzyx 习题习题 1 6 解解 已知矢量场 222 2 xy z Aaxzx ebyxyezzcxzxyz e 若 是一个无源场 则应有 div 0A A 即 div A 0 y xz A AA A xyz 因为 2 x Aaxzx 2 y Abyxy 2 2 z Azzcxzxyz 所以有 div az 2x b 2xy 1 2z cx 2xy x 2 c z a 2 b 1 0A 得 a 2 b 1 c 2 习题习题 1 7 解解 设矢径 的方向与柱面垂直 并且矢径 到柱面的距离相r r 等 r a 所以 2 sss r dsrdsadsaah A 2 2 a h 习题习题 1 8 解解 已知 2 3x y 22 3 yz Ax yzexy e 而 AAAArot 22 22 6 32 03 xyz xyz eee Axyx y ey exyze xyz x yzxy 222 3 6 32 xyz Ax yxyx y ey exyze 又yxzyx exexy z e y e x e 2 36 2322332 22 6309186 03 xyz xyz eee Axyxx y ex y ex y ze x yzxy 所以 222 3 6 32 xyz rotAAAx yxyx y ey exyze zyx ezyxeyxeyx 233223 6189 49 9 3 222 zyx exzeyexxyx 习题习题 1 9 解解 已知已知 222 2 2 22 xyz Ayxzexyz ex zyz e 所以 1 144 22 0 xyz yy xxzz xyz xyz xyz AA AAAA rotAA xyzyzzxxy AAA xzxzyy eee eee eee 由于场的旋度处处等于 0 所以矢量场为无旋场 A A 习题习题 1 10 解解 令 ln C 1 4 9 14 222 xyz 222 xyz c e c e 因此 C ln14 14 为等值面方程 222 xyz 习题习题 1 11 解解 求函数 在点 M 2 3 处沿曲线 y 朝 x 增大一方的方向导数 23 3xy 2 1x 解 2 3 6 36 M xy x 22 2 3 33 15 M xy y 在 L 取一点 x y y 1 2 x2x 沿 L 的方向的方向余弦为 2x c 22 2 os 2 3 xx l xy 2 1 45xx 22 3 cos 2 3 yy l xy 2 2 45 x xx 因为则 x y 2 3 0l 所以 1 cos 17 4 cos 17 又因为 cos lx cos y 24 17 习题习题 1 11 解解 2 求函数 在点 M 2 3 处沿曲线 y 朝 x 增大一方的方向导数 22 3xy 2 1x 曲线 y 在 M 点沿所取方向的切线斜率为 42 M M xy 所以 4 tg 因此 方向余弦为 17 1 1 1 cos 2 tg 17 4 cos 236 xy x 623 2 yx y 所以所求的方向导数为 17 60 17 4 6 17 1 36coscos M yxl 习题习题 1 12 解解 标量场 r 1 该标量为一个以直角坐标系的 O 点为球心的球面 求切平面的方程 该平面的法线向量为 111 333 xyz neee 根据平面的点法式方程 得平面方程为 111111 0 333333 xyz 整理 得 3xyz 习题习题 1 13 解解 2 2 coscoscos cos 2 cos 2 cos 121 11 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 222 13 01 22 xyz yyzxyxzzxy 习题习题 1 14 解解 矢量的方向余旋为A 222 2 cos 3 yzyzxzxy 222 1 cos 3 xzyzxzxy 222 2 cos 3 xyyzxzxy 满足题意方向导数 2223 coscoscos 6cos 33 cos 2 cos 17 3 M u lAxyz xyxy zy z 习题习题 1 15 解解 0 222 222 222 coscoscos 954 cos 314 5 1 4 1 192 4 13 cos 314 5 1 4 1 192 19217 cos 314 95 4 1 192 4317 314314314 4 1 25 314 x y z M lxyz l l l l l l yzxzxy l l 又 317123 25 1 314314314 123 5 1 25 1 29 4 19 314 xyz 即函数在点 处沿着点 到点 的方向导数为 习题习题 1 16 解解 23 42 66 xyz xyz gradeee xyz xyeyxeze 所以 0 0 0 326 xyz gradeee 1 1 1 63 xy gradee 习题习题 1 17 解解 1 2 xyz xyz xyz xyz uuu gradueee xyz vvv gradveee xyz uvuvuv gradugradveee xyz grad uv vvv gradveee xyz v v xx 证 证 2 3 222 2 xyz xyz vv eveve yyzz vgradgradv uuu grad uueueue xyz u gradu 证 习题习题 1 18 解解 1 证明 A B x eX y ey z ez eBeBeBeAeAeA zzyyxxzzyyXx BABABAZzyyxx zyx zyx AAAz y X zyx BBBz y x BA 得证 2 A zyx A eee zyX Xyz AAA xyz eee x A x A ex y A y A ey z A z A ez X y xz xyz yz A AA eeeA xyzxyz eee AA 得证 习题习题 1 19 解解 n n n nnn n rn zyx zyx zyxnzyx zyxz z zyxy y zyxx x rr zyxzyxzyx zyxr x xr z zr y yr x x zyx zyxzzyx zyx z zr z z zyx zyxyzyx zyx y yr y y zyx zyxxzyx zyx x xr x x r z zr y yr x xr r 3 3 2 0 3 3 1 3 3 3 1 222 2 222 222 2 222 2 222 2 222 2 222 2 1 222222 2 3 222 32223333 3222 2 1 2222 2 3 222 2 3 222 3 3222 2 1 2222 2 3 222 2 3 222 3 3222 2 1 2222 2 3 222 2 3 222 3 3333 同理可得 证明 习题习题 1 20 解解 已知 1 2 222 xyz rxyzrxeyeze 所以 z 1 yz xyz zyxzyx yzzxxz 0000 xyz xyz xy xyz reeexeyeze xyz eee x eee y 1 222 2 xy 3333 222222222222 2222 2 z 111 222222222 222 2 r zy zyxz xz e e xy yz xyz xyz xz xy xeyeze r eee xyz xyz xyzxyzxyzxyz xy eee x xyzxyzxyz z 33 22222 22 xy e 0000 zxyz y 1 222 2 z 111 222222222 222 33222 222222 22 3 f r f r r yz xf r yf r zf r zyf r zyf r zyyzf r xyz xz xy xeyeze r eee xyz xyz eee x xyzxyzxyz xyz xyzxyz x 222 y 33222222 222222 22 z 33222222 222222 22 e xzxzf r xzxzf r e xyxyf r xyxyf r 0 0 00 xyz xyzxyz xyzxyz e xyzxyz xyzxyz 习题习题 1 21 解解 xyz xyz xyz AAA BBB xxyyzz AAAA xxyyzz BBBB yy xxzz xyz AA AAAA BBB yzzxxy BA xyz xyz B xyz AAA AB yy xxzz xyz BB BBBB AAA yzzxxy BA AB yy xxzz xyz AA AAAA BBB yzzxxy yy xxzz xyz BB BBBB AAA yzzxxy yzzyzxxzxyyx A BA BA BA BA BA B xyz yzzyzxxzxyyx A BA BA BA BA BA B xyz 习题习题 1 22 解解 证明 令 则 左边 又由题得 同理有 故 等式右边 故左边 右边 得证 习题习题 1 23 解解 2232 222 V 2 V a 224 0 325 0 5 XZX YZ2XY Y Z V Z XYZV 3ZV 3Z3 3 Z 5 a d xy d d aZdV aZ a A A A V 由散度定理得 I 2 5 习题习题 1 24 解解 2 22 2 22 2 2 1 1111 11 111 H ct EE ctct ctct E ctct HH ct ctct EEE H HHH E A A 证毕 证毕 习题习题 1 25 解解 由题意可知 左 2 v A xyz eee xxz AAA x e xx A yz ee yyzz A AA AA 22 2 A 即证 习题习题 1 26 解解 1 解 sinx siny sinx siny 2 2 x 2 z e 2 2 y 2 z e sinx siny 2 2 z 2 z e 2 2 2 sinx siny 0 2 2 x 2 2 y 2 2 z 2 2 2 z e 满足拉普拉斯方程 2 解 在圆柱形坐标中 拉普拉斯算子可表示为 22 2 222 11 r rrrrz 1 r rrr 22 cos n n rn 2 22 1 r 22 cos n n rn 0 2 2 z 0 22 2 222 11 r rrrrz 满足拉普拉斯方程 习题习题 1 27 解解 23322 23322 23 232222 2 32 32 xyz xyz yy xxzz xyz xy eee xyz Axy z ex zex y e xy zx zx y Ay z xyz AAAA AA Aeee yzzxxy x yxexy zxyex zx u ru ru ru r u ru ru ru r u ru r u ru ru ru ru r u ru r 解 1 3 22 222 22 1 2 cossin coscossin 2 coscos 3 cos 1 cos2 sin cos0sin z rz rz rz r yze eee rrz Arere rrr Arr rrz r eee Arere rrz rr u r u ru ru ru r u ru ru r u ru r u ru ru r u ru ru ru r 2 2 22 2 2 sin 11 3 sin 11 si