三角形-“心”的向量关系

1 三角形 心 的向量关系 我们都知道 在三角形中 因为有三边和三角 故有很多的心 其中作为学生应 掌握的四个心 重心 内心 外心 垂心 不仅要理解其定义 性质 还需了解和分 析其向量的表示形式 由于向量是一种研究几何图形的另一种工具 所以我们有必要 对它们进行整理和归纳 让同行借鉴 一 各心的定义 1 重心 三角形三条边的中线的交点 其性质一是连接重心和顶点 延长后必交 于对应边的中点 其性质二是重心把中线长分成 2 1 2 垂心 三角形三边的高线的交点 其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂 直 3 外心 三角形三边的中垂线的交点 即三角形的外接圆的圆心 其性质是外心 到三顶点等距离 4 内心 三角形三内角平分线的交点 即三角形的内切圆的圆心 其性质是内心 到三边等距离 二 各心的向量表示 在三角形 ABC 中 点为平面内一点 若满足 O 1 则点为三角形的重心 0 OCOBOAO 分析 由 以为邻边作一平行四边形 OBOCOA OCOB OBEC 点 D 为 BC 中点 如图 由向量的平行四边形法则 有 交 BC 于 D 从而有OBOCOE OAAOODOE 2 故为重心 O A B C O D E 2 则点为三角形的外心 OCOBOA O 3 OAOCOCOBOBOA 或者 则点为三角形的垂心 222222 ABOCACOBBCOA O 分析 由有三个等式 其中一个如 OAOCOCOBOBOA OCOBOBOA 2 则有 有 故 同理可证 点为三0 OCOAOB0 CAOBACOB O 角形的垂心 A B C O D 而在三角形 ABC 中 记 则由OAa OBb OCc 2222 BOACCOAB 展开为 则 2 2 2 2 bcacba caba 220 bca 故 同理可证 从而点为三角形的垂心 OBAC OABC O 4 则点为三角形的内心 0 OCABOBACOABCO 分析 若点为三角形的内心 如图 延长 过点 C 作 由OABCAOBOCE 于相似 有 由 AD 为角 A 的平分线 有 CDEBDO 与 DB CD OB CE AB AC DB CD 从而有 故 AB AC OB CE OB AB AC CE OB AB AC CE A B C O D E 同理可得 而 BO 为角 B 的内角平分线 BC BD OE OD BC BD OD OE AB OA BD OD 有 故OA AB BC BC AB OA OE AO AB BC OE 而 所以 CEOCOE OB AB AC OCAO AB BC 有OBACOCABOABC 0 OCABOBACOABC 3 三 动点的轨迹过三角形心的问题 设点 P 为三角形所在平面内的一个定点 点 Q 为平面内的一个动点 若满足 ABC 1 其中 则动点 Q 一定过的重心 ACABPAPQ R 0ABC 2 其中 则动点 Q 一定过的内心 AC AC AB AB PAPQ R 0ABC 分析 由于表示方向的单位向量之和 由菱形性质可知 AC AC AB AB ACAB 为角 A 的内角平分线 AC AC AB AB 3 其中 则动点 Q 一定过 coscos CAC AC BAB AB PAPQ R 0 的垂心 ABC 分析 下面只需说明的性质 CAC AC BAB AB coscos 如图 在中 延长 AD 过点 B 作记ABC BCAD ACBM 1 BDa 2 CDa 则 故有 ACb ABc 2 1 a a b BM b a a BM 2 1 AC a a BM 2 1 2 a a AD AM AD a a AM 2 AD a a AM 2 A B C O D M b c a1 a2 4 由 从而有 BMABAM AC a a ABAD a a 2 1 2 有与共线 CAC AC BAB AB a AC a AB AD aa a coscos 2121 AD CAC AC BAB AB coscos 从而 与垂直 CAC AC BAB AB coscos BC 4 其中 则动点 Q 一定 coscos 2 CAC AC BAB ABPCPB PQ R 0 过的外心 ABC 四 三角形的外心与它的垂心 H 的关系 O 2HCHBHAOCOBOAOH 在中 以 BC 所在的直线为 x 轴 BC 的中点为原点建立坐标系 设 ABC 11 yxA 则不难求得它的外心坐标 从而有 0 2 xB 0 2 xC 2 0 1 2 1 2 2 2 1 y xxy O 它的垂心坐标 从而有 2 3 1 2 1 2 1 2 2 1 y yxx xOCOBOA 1 2