不等式及恒成立经典例题

不等式及恒成立经典例题不等式及恒成立经典例题 例例 1 已知 f x x2 2 a 2 x 4 1 如果对一切 x R f x 0 恒成立 求实数 a 的取值范围 2 如果对 x 3 1 f x 0 成立 求实数 a 的取值范围 解 解 f x 的图像开口向上 1 对一切实数 x f x 0 则 0 即 a 2 2 4 0 0 a 4 2 当 x 3 1 时 f x 0 对称轴 2 a 可在区间内 也可在区间外 或 或 解得 a 4 例例 2 设 A x 2 x 1 或 x 1 B x x2 ax b 0 已知 A B x x 2 A B x 1 x 3 试求 a b 的值 分析分析 在本题求解时要正确利用图形进行分析 解 解 如图所示 设 B x x 设想集合 B 所表示的范围在数轴上移动 显然当且仅当 B 覆盖 住集合 x 1 x 3 才 能使 A B x 1 x 3 1 且 1 并且 1 及 3 1 3 因此 B x 1 x 3 根据二次不等式与二次方程的关系 可知 1 与 3 是方程 x2 ax b 0 的两根 a 1 3 2 b 1 3 3 解恒成立问题常用方法解恒成立问题常用方法 1 1 分离参数法分离参数法 例例 3 3 设 其中 a 是实数 n 是任意给定的自然数 n ann xf x x x 121 lg 且 n 2 若当 时有意义 求 a 的取值范围 xf 1 x 解解 由时 有意义得 1 x xf 由指 0121 ann x x x xxx nnn a 1 1 21 数函数单调性知上式右边的函数的最大 xxx nnn x 1 1 21 值是 n n nn 121 1 n 1 2 1 故 a n 1 2 1 例例 2 2 已知定义在 R 上函数 f x 为奇函数 且在上是增函数 对于任意求实 0Rx 数 m 范围 使 恒成立 0cos2432cos mmff 解解 f x 在 R 上为奇函数 且在上是增函数 0 f x 在上为增函数 又 0cos2432cos mmff 32cos f cos24mmf mmf4cos2 即mm4cos232cos 2cos3cos22 m 2 cos 3 1 2 cos2 cos24 cos2 2cos3 2 m m cos2 2 cos2 cos2 cos2 2 cos2 2 cos2 4 令 2 m 4 3 1 cos tt t t 2 即 4 m 在上恒成立 t t 2 3 1 t 即求在上的最小值 t ttg 2 3 1 t 2等号成立条件 t 即成立 t ttg 2 2 t 2 3 12 t 4 m4 22 min tg2222 m 的取值范围为 4 22 例例 3 3 设 0 a 若满足不等式的 一切实数 x 亦满足不等式 4 5 bax 求正实数 b 的取值范围 2 1 2 ax 简析略解简析略解 此例看不出明显的恒成立问题 我们可以设法转化 设集合 A bababaxx B 2 1 2 1 2 1 222 aaaxx 由题设知 AB 则 2 1 2 aba 2 1 2 aba 于是得不等式组 2 1 2 aab 2 1 2 aab 又 最小值为 2 1 2 aa 4 3 2 1 2 a 16 3 最小值为 4 1 2 1 2 1 2 2 aaa 4 1 16 3 b 即 b 的取值范围是 16 3 0 2 2 主参换位法主参换位法 例例 4 4 若对于任意 a 函数的 1 1 axaxxf244 2 值恒大于 0 求 x 的取值范围 解 解 设 把它看成关于 a 的直线 442 2 xxaxag 由题意知 直线恒在横轴下方 所以 01 g 解得 或或 01 g1 x2 x3 x 例例 5 5 对于 0 3 上的一切实数 x 不等式恒成立 求实数 m 的取 122 xmx 值范围