五上：钉子板上的多边形-教学设计(定稿)

1 钉子板上的多边形钉子板上的多边形 连云港市院前小学 李吉爱 教学内容 教学内容 义务教育教科书数学五年级上册第 108 109 页 教学目标教学目标 1 探索并初步发现钉子板上多边形内有 1 2 3 枚以以上钉子的多边形的 面积与多边形边上的钉子数之间的关系 激发进一步探索钉子板上的多边形面 积与钉子数关系的兴趣 2 经历探索过程 积累探索经验 体验成功乐趣 3 通过小组合作 类比迁移探索问题的方法 尝试探索研究同类问题 教学重点教学重点 探索钉子板上的多边形面积与边上钉子数和中间钉子数之间的规律 教学难点 教学难点 在有限的课堂时间内进行类比推导 得出一般规律 教具准备教具准备 钉子板 钉子板套管 橡皮泥替代 板贴 多媒体课件 学具准备 学具准备 钉子板 作业纸等 教学过程 教学过程 课前交流对话 预设课前交流对话 预设 3 3 分钟 分钟 主要围绕主要围绕 会观察 敢猜想会观察 敢猜想 这两个关键词 这两个关键词 1 孩子们 认识老师吗 老师姓啥名啥 你是怎么知道的 在学生猜想后点 击课件全部显示 只显示一半你就能猜出来 你属牛的吧 你太牛了 可见你 善于观察 敢于猜想善于观察 敢于猜想 磁板分别贴出善于观察 敢于猜想观察 敢于猜想 这两点是我们学习 数学时 很优秀的品质 2 你知道今天将要学习什么知识吗 在学生回答后点击课件出示课题 你是 怎么知道的 看来咱们班会观察 敢猜想的同学真不少 老师希望这节课中能看到更多的同学具有这种品质 准备好了吗 下面我 们开始上课 一 激趣生疑 直观感知 预设 一 激趣生疑 直观感知 预设 3 3 分钟 分钟 1 1 复习学过的平面图形的面积 引出一道稍难的问题 埋下伏笔 引出课题 复习学过的平面图形的面积 引出一道稍难的问题 埋下伏笔 引出课题 a 过渡引入 我们学过好多平面图形 老师考考你 谁能在 20 秒之内答出它的 面积是多少吗 点击课件出示例题中平行四边形的那道题 2 b 看来这种题目难不倒大家 老师再出一道 考考你 点击出示 在 20 秒后 点击课件消失 问 怎么没有刚才那么迅速呢 预设 学生会说出关于 割补 的字眼 教师板书 割补拼接 二字 教师用 课件配合进行点拨 揭示答案 17 5 平方厘米 c 过渡 老师想告诉你 只要你用心上完这节课 保你在 20 秒之内就能解答出 来 你们想学习这个绝招吗 想 告诉你吧 解决这个难题的奥妙就藏在这个小小的钉子板中 磁板贴出课 题 钉子板上的多边形 学生齐读 二 学习新课 建构知识 预设二 学习新课 建构知识 预设 3333 分钟 分钟 1 1 呈现一个钉子板围成的多边形呈现一个钉子板围成的多边形 简化成点子图 简化成点子图 预设 预设 2 2 分钟 分钟 a 师 为了便于研究 我们把钉子板上的多边形简化在点子图上 课件显示 课件显示 我们约定钉子板上以及点子图上的每相邻两个点之间的距离都是 1 厘米 显 显 示示 1cm1cm b 请问这四枚钉子围成的多边形 它的面积是多少平方厘米 c 这八枚钉子围成的多边形呢 你是怎么知道的 求出来的 还可以数出来 我们数数看 小结 这种规则的多边形用 数 的办法更实用 d 观察比较 这两个图形有什么不同之处呢 预设 边长不同 面积不相等 边上的钉子枚数也不相同 里面钉子个数不同 边上的钉子枚数越多 围成的图形的面积就越大 如果学生说不出 边上钉子 数 这点 点击课件 友情提示 2 2 探究多边形内有探究多边形内有 1 1 枚钉子的规律 枚钉子的规律 1010 分钟 分钟 1 1 个例发现 形成猜想 个例发现 形成猜想 a 过渡 看来一个图形的面积与这个图形边上的钉子数密切有关 在表述的同 在表述的同 时进行板贴 时进行板贴 多边形的面积多边形的面积 边上的钉子数边上的钉子数 它们之间到底有着怎样的联 系呢 b 我们先来观察这几个图形 带着学生一起数一数 1 号图形的边上有几枚钉子 3 面积是多少呢 4 号图形我们刚才就已经知道了它的面积 它边上的钉子数是 几呢 在学生回答后 点击课件显示 c 出示探究表格 让学生仿照老师的样子独立完成剩下的 2 个图形吗 d 全班集体交流 指名学生回答 教师即时点击课件显示指名学生回答 教师即时点击课件显示 在反馈 3 号图形时 稍加突出 追问 这个图形的面积是多少 你是怎么想的 还可以怎么想 教师小结 在在 核算面积时 巧妙的核算面积时 巧妙的 割补拼接割补拼接 是个好方法 是个好方法 填写完成后 让学生仔细观察表格 你有什么发现 填写完成后 让学生仔细观察表格 你有什么发现 预设预设 学生回答出 多边形面积平方厘米数乘以 2 等于边上钉子的数量 教师 就追问 倒过来怎么说呢 多边形边上的钉子数的一半 等于多边形面积的 平方厘米数 用数量关系式表达出来就是 在学生答道点子上后 即时整在学生答道点子上后 即时整 理板书 补充理板书 补充 2 2 评价 宝贝们 你们太了不起了 异中求同 找到了规律 板贴 异中求同 评价 宝贝们 你们太了不起了 异中求同 找到了规律 板贴 异中求同 2 2 举例验证 再生疑惑 举例验证 再生疑惑 过度 不过我们发现的这个规律 到目前为止只能算是一个 猜测猜测 只有 经得住 验证验证 板贴勤于验证 板贴勤于验证 才能称作规律 下面我们找个多边形验证一 下 好吗 课件出示 一个底 4 厘米 高 2 厘米的三角形 师 让学生一起数边上的钉子数 8 枚 按照刚才的发现 这个图形的面积就 应该是 8 的一半 等于 4 平方厘米 用原先底 高 2 的方法 谁帮老师算 一下 4 2 2 4 完全符合 师 老师这儿还有一个边上是 8 枚钉子的图形 点击课件 它的面积是 预 设大多数学生上当会说是 4 师 追问 同意吗 教师课件点拨 这儿光整格子就已经是 4 平方厘米了 何 况还多了一个三角形呢 怎么回事呢 3 3 归纳概括 形成结论 归纳概括 形成结论 师 我们暂且不看这个图形 先比较一下这几个符合规律的有什么共同点 内部钉子只有一枚 4 师 看样多边形的面积不仅和边上的钉子数有关 还和内部的钉子数有关系 因而我们的这个发现 必须要加上一个条件 才能正确 附加什么条件呢 在学生表述后 贴上板贴 内部钉子数 1 枚 在贴上板贴时 教师故意贴 不下 用字母表示的需求由此而生 师 这么多字 都贴不下了 有办法让这句话简洁一些吗 用字母表示 我们在表示面积时一般用 s 表示 多边形边上的钉子数用 n 表示 在对应的位 置板书 s 和 n 那么这个规律可以写成 s n 2 小结回顾 回顾刚才我们在探索规律的过程 我们先是仔细观察 然后异中求 同 提出猜想 最后通过验证 终于找到了这样的一条规律 指着板书 当 多边形内部钉子数 1 枚时 提示学生齐读 多边形的面积 边上钉子数 2 也就是 s n 2 3 3 探究多边形内有探究多边形内有 2 2 枚钉子的情况 枚钉子的情况 预设 预设 1010 分钟 分钟 过渡 过渡 老师有个疑问 对着课件 这种内部有 2 枚钉子的多边形 会不会也 有类似的规律呢 我们能继续探究吗 能 1 出示探究要求 请看活动要求 师 简单解读活动要求 宣布活动开始 2 学生小组合作 完成探究活动 二 教师巡视 选取完成迅速的且具有 典型性的 2 个小组作品 贴在黑板上 同时让学生代表用钉子板套管 或者橡 皮泥 在内部钉子上做标记 并到电脑上输入相应的数据 3 班级反馈 教师带着全班同学先检查内部钉子数是否符合要求 宝贝们 完成的小组向老师示意一下 不好意思 因为时间有限 所以 不能让你们尽情的玩了 没有完成的小组 也停下来 好吗 我们一起来检查 一下这几个小组围成的图形内部有几枚钉子 然后指名其中一个小组代表表述发现的规律 这是哪个小组的 能说说你 们的发现吗 教师随机板书 当内部钉子数 2 枚 s n 2 1 课件中其它输入的数据 仅当作验证规律使用 这是哪一组的数据 你们 同意刚才的发现吗 我们一起来验证一下 预设 如果出现 s n 2 2 这种情况 可以把 2 转化为 0 5 用乘 5 法分配率处理 4 4 探究多边形内有探究多边形内有 3 3 枚以及更多钉子的情况 枚以及更多钉子的情况 预设 预设 1010 分钟 分钟 1 推想多边形内部有 3 枚以及 3 枚以上钉子的规律 过度 对着板书 你们太了不起来 如此迅速的从不同的多边形中找到了两 条规律 这两个规律 看起来有些不同 但又有所相同 如果多边形内部有 3 枚钉子 你猜猜会有怎样的变化 学生表述后 教师板书 3 s n 2 2 4 枚呢 教师板书 4 s n 2 3 5 枚呢 教师板书 5 s n 2 4 6 枚呢 7 枚呢 8 枚呢 20 枚呢 a 枚呢 师追问 后面加上的数有什么规律 在学生回答到 后面加的数比内部的钉 子数少 1 板贴 内部钉子数 板贴 内部钉子数 1 1 2 出示验证要求 完成探究活动 三 a 过度 你们太棒了 特别善于观察 敢于猜测 但是这些猜测现在要打上一 个 因为只用通过验证 才能完全成立 时间关系 我们分组行动吧 请 你们小组合作 从中选择一条加以验证 b 活动前稍加指导 出示课件 如果你们小组想验证 内部钉子数 3 枚 这儿就填上 3 如果你们小组想验证 内部钉子数 4 枚 这儿就填上 4 这儿 要填写刚才相应的推测 明白了吗 活动开始吧 c c 学生活动 教师巡视 学生活动 教师巡视 d 集体交流 现在我们来汇报一下你们的验证结果 哪组先说 请你们组的一 位同学把你们围成的图形举起来 给大家看一下 哪位代表发言 还有哪个组 和他们组一样 也是验证这种类型的 你们和他们的结论一致吗 你们组是验证那一条 能说说吗 e 得出结论 师 经过大家的努力 我们现在可以确定这些猜想都是成立的 这么多的规律 归结成一句话就是 多边形的面积 边上钉子数 2 内部钉子数 1 用字母表 示就是 s n 2 a 1 这里的 a 可以表示许多数 老师有个疑问 这里的 a 可以是 0 吗 预设 不能 能 6 教师点拨 点击课件 出示四根钉子围成的一个正方形 我们把它放大一下 课件显示放大后的图形 带着学生一起核算 板书 0 s n 2 0 1 并随机 改成 s n 2 1 三 课堂总结 预设三 课堂总结 预设 3 3 分钟 分钟 1 简介皮克定理 师 孩子们 今天我们一起探索发现了 多边形的面积等于边上钉子数除以 2 加上内部钉子数减一这个规律 实际上这和伟大的科学家皮克发现的 皮克 定理 是一致的 课件展示 课件展示 皮克在 1899 年发现 给定顶点坐标均是整点 或正方形格点 的简单多边形 其面积 S 与内部格点数 a 边上格点数 n 的 关系 S n 2 a 1 2 照应课前的问题 课件出示课前谈话中的难题 并告诉学生边上钉子数与内 部钉子数 让学生快速计算 3 回顾反思 师 同学们谢谢你们的精彩合作 回顾我们探索和发现规律的过程 得出这个 结论固然重要 但我觉得更重要的是整个过程中的体会 你想说说吗 预设 学生不说 出现冷场 这样应对 老师估计你们会说 却不敢说 三个人是条 龙 一个人变成 虫 这样吧 老师送你一个 李悟 吧 注意此 李悟 非 礼 物但胜似 礼物 那是什么礼物呢 点击课件出示 一切推理猜想都必须从观 察与验证得来 李界 四 课外拓展 四 课外拓展 推荐一本书 格点与面积 今天我们学习的这个只是到初中大家还要深入学习 有兴趣的同学可以阅 读这本书 格点与面积 在这本书中提及了这种横竖不相等的格点 有兴趣的 同学自己探究一下 7 板书设计 板书设计 8 板书设计 钉子板上的多边形 教师随机运用区善于观察善于观察 异中求同异