上海市高考数学圆锥曲线试题

高考数学圆锥曲线试题汇编高考数学圆锥曲线试题汇编 已知以 F1 2 0 F2 2 0 为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点 043 yx 则椭圆的长轴长为 A B C D 23627224 21 本小题满分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 如题 21 图 倾斜角为 a 的直线经过抛物线的焦点 F 且与抛物线交于xy8 2 A B 两点 题 21 图 求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程 若 a 为锐角 作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P 证明 FP FP cos2a 为 定值 并求此定值 21 本题 15 分 如图 直线 y kx b 与椭圆交于 A B 两点 记 AOB 2 2 1 4 x y 的面积为 S I 求在 k 0 0 b 1 的条件下 S 的最大值 当 AB 2 S 1 时 求直线 AB 的方程 5 如果双曲线 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2 那么点 P 到 y 轴的距离 24 2 2 yx 是 A B C D 3 64 3 62 6232 10 已知抛物线 y x2 3 上存在关于直线 x y 0 对称的相异两点 A B 则 AB 等于 A 3 B 4 C 3 D 422 y x O A B 21 本小题满分 12 分 求 F1 F2分别是椭圆的左 右焦点 2 2 1 4 x y 若 r 是第一象限内该数轴上的一点 求点 P 的作标 22 12 5 4 PFPF 若是该椭圆上的一个动点 求 的最大值和最小值 P 1 PF 2 PF 设过定点 M 0 2 的直线 l 与椭圆交于同的两点 A B 且 ADB 为锐角 其中 O 为作标原点 求直线 的斜率的取值范围 lk 上海理科 8 已知双曲线 则以双曲线中心为焦点 以双曲线左焦点为顶点 22 1 45 xy 的抛物线方程为 21 已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为 果圆 22 22 10 xy x ab 22 22 10 yx x bc 其中 是对应的焦点 222 0 0abcabc 012 F F F 1 若三角形是边长为 1 的等边三角形 求 果圆 的方程 012 F F F 2 若 求的取值范围 11 A AB B b a 3 一条直线与果圆交于两点 两点的连线段称为果圆的弦 是否存在实数 使得斜率k 为的直线交果圆于两点 得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上 若存在 求出所k 有的值 若不存在 说明理由 k y O 1 A 2 B 2 A 1 B M 1 F 0 F 2 F x 上海文 21 本题满分 本题满分 18 分 本题共有分 本题共有 3 个小题 第个小题 第 1 小题满分小题满分 4 分 第分 第 2 小题满分小题满分 5 分 第分 第 3 小题满分小题满分 9 分 分 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作1 2 2 2 2 b y a x 0 x 1 2 2 2 2 c x b y 0 x 果圆 其中 222 cba 0 a0 cb 如图 设点 是相应椭圆的焦点 和 是 果圆 与 0 F 1 F 2 F 1 A 2 A 1 B 2 Bx 轴的交点 是线段的中点 yM 21A A 1 若是边长为 1 的等边三角形 求该 012 F FF 果圆 的方程 2 设是 果圆 的半椭圆P1 2 2 2 2 c x b y 上任意一点 求证 当取得最小值时 0 x PM 在点或处 P 12 BB 1 A 3 若是 果圆 上任意一点 求取得最小值时点的横坐标 PPMP 陕西文 3 抛物线的准线方程是yx 2 A B 014 x014 y C D 012 x012 y 9 已知双曲线 C 0 b 0 以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相切的圆 22 22 1 xy a ab 的半径是 A a B b C D ab 22 ba 22 本小题满分 14 分 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距离为 2 2 2 2 b y a x 3 6 3 求椭圆 C 的方程 设直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求 AOB 面积 2 3 的最大值 22 本小题满分 本小题满分 14 分 分 解 设椭圆的半焦距为 依题意c 6 3 3 c a a 所求椭圆方程为 1b 2 2 1 3 x y 设 11 A xy 22 B xy 1 当轴时 ABx 3AB 2 当与轴不垂直时 ABx 设直线的方程为 ABykxm 由已知 得 2 3 2 1 m k 22 3 1 4 mk 把代入椭圆方程 整理得 ykxm 222 31 6330kxkmxm 12 2 6 31 km xx k 2 12 2 3 1 31 m x x k 2 22 21 1 ABkxx 222 2 222 3612 1 1 31 31 k mm k kk 22222 2222 12 1 31 3 1 91 31 31 kkmkk kk 2 42 2 2 121212 33 0 34 1 9612 36 96 k k kk k k 当且仅当 即时等号成立 当时 2 2 1 9k k 3 3 k 0k 3AB 综上所述 max 2AB 当最大时 面积取最大值 ABAOB max 133 222 SAB 山东理 13 设是坐标原点 是抛物线的焦点 是抛物线上的一点 OF 2 2 0 ypx p A 与轴正向的夹角为 则为 FA x60 OA 21 本小题满分 12 分 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在轴上 椭圆上的点到焦点距离的最大值为 CxC3 最小值为 1 求椭圆的标准方程 C 若直线与椭圆相交于 两点 不是左右顶点 且以 l ykxm CABAB 为直径的圆过椭圆的右顶点 求证 直线 过定点 并求出该定点的坐标 ABCl 标准答案标准答案 I 由题意设椭圆的标准方程为 22 22 1 0 xy ab ab 3 1acac 2 2 1 3acb 22 1 43 xy II 设 由得 1122 A x yB xy 22 1 43 ykxm xy 222 34 84 3 0kxmkxm 2222 6416 34 3 0m kkm 22 340km 2 1212 22 84 3 3434 mkm xxxx kk 22 22 12121212 2 3 4 34 mk yykxmkxmk x xmk xxm k 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 2 0 D1 ADBD kk 12 12 1 22 yy xx 121212 2 40y yx xxx 222 222 3 4 4 3 16 40 343434 mkmmk kkk 解得 22 71640mmkk 且满足 12 2 2 7 k mk m 22 340km 当时 直线过定点与已知矛盾 2mk 2 l yk x 2 0 当时 直线过定点 2 7 k m 2 7 l yk x 2 0 7 综上可知 直线 过定点 定点坐标为l 2 0 7 全国 2 理 11 设分别是双曲线的左 右焦点 若双曲线上存在点 使 12 FF 22 22 xy ab A 且 则双曲线的离心率为 12 90F AF 12 3AFAF A B C D 5 2 10 2 15 2 5 12 设为抛物线的焦点 为该抛物线上三点 若 F 2 4yx ABC FAFBFC 0 则 FAFBFC A 9B 6C 4D 3 20 本小题满分 12 分 在直角坐标系中 以为圆心的圆与直线相切 xOyO34xy 1 求圆的方程 O 2 圆与轴相交于两点 圆内的动点使成等比数列 求OxAB PPAPOPB 的取值范围 PA PB A 20 解 1 依题设 圆的半径等于原点到直线的距离 OrO34xy 即 4 2 1 3 r 得圆的方程为 O 22 4xy 2 不妨设 由即得 1212 0 0 A xB xxx 2 4x 2 0 2 0 AB 设 由成等比数列 得 P xy PAPOPB 222222 2 2 xyxyxy A 即 22 2xy 2 2 PA PBxyxy AA 22 2 4 2 1 xy y 由于点在圆内 故PO 22 22 4 2 xy xy 由此得 2 1y 所以的取值范围为 PA PB A 2 0 全国 2 文 11 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍 则椭圆的离心率等于 A B C D 1 3 3 3 1 2 3 2 12 设分别是双曲线的左 右焦点 若点在双曲线上 且 12 FF 2 2 1 9 y x P 则 12 0PF PF A 12 PFPF A B C D 102 1052 5 全国 1 理 4 已知双曲线的离心率为 焦点是 则双曲线方程为 2 4 0 4 0 A B C D 22 1 412 xy 22 1 124 xy 22 1 106 xy 22 1 610 xy 11 抛物线的焦点为 准线为 经过且斜率为的直线与抛物线在轴 2 4yx FlF3x 上方的部分相交于点 垂足为 则的面积是 AAKl KAKF A B C D 43 34 38 21 本小题满分 12 分 已知椭圆的左 右焦点分别为 过的直线交椭圆于两点 过 22 1 32 xy 1 F 2 F 1 FBD 的直线交椭圆于两点 且 垂足为 2 FAC ACBD P 设点的坐标为 证明 P 00 xy 22 00 1 32 xy 求四边形的面积的最小值 ABCD 21 证明 椭圆的半焦距 321c 由知点在以线段为直径的圆上 故 ACBD P 12 FF 22 00 1xy 所以 2222 0002 1 1 32222 yxyx 当的斜率存在且时 的方程为 代入椭圆方程BDk0k BD 1 yk x 并化简得 22 1 32 xy 2222 32 6360kxk xk 设 则 11 B xy 22 D xy 2 12 2 6 32 k xx k 2 12 2 36 32 k x x k 2 222 122212 2 4 3 1 1 1 4 32 k BDkxxkxxx x k AA 因为与相交于点 且的斜率为 ACBCPAC 1 k 所以 2 2 2 2 1 4 31 4 3 1 1 23 32 kk AC k k 四边形的面积ABCD 2222 222 22 124 1 1 96 2 32 23 25 32 23 2 kk SBD AC kk kk A 当时 上式取等号 2 1k 当的斜率或斜率不存在时 四边形的面积 BD0k ABCD4S 综上 四边形的面积的最小值为 ABCD 96 25 宁夏理 6 已知抛物线的焦点为 2 2 0 ypx p F 点 在抛物线上 111222 P xyP xy 333 P xy 且 则有 213 2xxx 123 FPFPFP 222 123 FPFPFP 213 2 FPFPFP 2 213 FPFPFP 13 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2 焦点到渐近线的距离为 6 则该双曲线的离心 率为 3 19 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系中 经过点且斜率为的直线 与椭圆有两个不xOy 02 kl 2 2 1 2 x y 同的交点和 PQ I 求的取值范围 k II 设椭圆与轴正半轴 轴正半轴的交点分别为 是否存在常数 使得向量xyAB k 与共线 如果存在 求值 如果不存在 请说明理由 OPOQ AB k 19 解 由已知条件 直线 的方程为 l2ykx 代入椭圆方程得 2 2 2 1 2 x kx 整理得 22 1 2 210 2 kxkx 直线 与椭圆有两个不同的交点和等价于 lPQ 222 1 84420 2 kkk 解得或 即的取值范围为 2 2 k 2 2 k k 22 22 设 则 1122 P xyQ xy 1212 OPOQxxyy 由方程 12 2 4 2 12 k xx k 又 1212 2 2yyk xx 而 2 0 01 21 ABAB 所以与共线等价于 OPOQ AB 1212 2 xxyy 将 代入上式 解得 2 2 k 由 知或 故没有符合题意的常数 2 2 k 2 2 k k 辽宁理 11 设为双曲线上的一点 是该双曲线的两个焦点 若P 2 2 1 12 y x 12 FF 则的面积为 12 3 2PFPF 12 PFF A B C D 6 31212 324 14 设椭圆上一点到左准线的距离为 10 是该椭圆的左焦点 若点 22 1 2516 xy PF 满足 则 M 1 2 OMOPDF OM 20 本小题满分 14 分 已知正三角形的三个顶点都在抛物线上 其中为坐标原点 设圆是OAB 2 2yx OC 的内接圆 点为圆心 OABC I 求圆的方程 C II 设圆的方程为 过圆上任意一点分别M 22 47cos 7cos 1xy MP 作圆的两条切线 切点为 求的最大值和最小值 CPEPF EF CE CF 本小题主要考查平面向量 圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识 考查综合运用 解析几何知识解决问题的能力 满分 14 分 I 解法一 设两点坐标分别为 由题设知AB 2 1 1 2 y y 2 2 2 2 y y 222 2222 222 1112 2212 2222 yyyy yyyy 解得 22 12 12yy 所以 或 6 2 3 A 62 3 B 62 3 A 6 2 3 B 设圆心的坐标为 则 所以圆的方程为C 0 r 2 64 3 r C 4 分 22 4 16xy 解法二 设两点坐标分别为 由题设知AB 11 xy 22 xy 2222 1122 xyxy 又因为 可得 即 2 11 2yx 2 22 2yx 22 1122 22xxxx 1212 2 0 xxxx 由 可知 故两点关于轴对称 所以圆心在轴上 1 0 x 2 0 x 12 xx AB xCx 设点的坐标为 则点坐标为 于是有 解得C 0 r A 33 22 rr 2 33 2 22 rr 所以圆的方程为 4 分4r C 22 4 16xy II 解 设 则2ECFa 8 分 2 cos216cos232cos16CE CFCECF AAA 在中 由圆的几何性质得RtPCE 4 cos x PCPC 17PCMC 18 17 16PCMC 所以 由此可得 12 cos 23 16 8 9 CE CF A 则的最大值为 最小值为 CE CF A 16 9 8 江西理 9 设椭圆的离心率为 右焦点为 方程 22 22 1 0 xy ab ab 1 e 2 0 F c 的两个实根分别为和 则点 2 0axbxc 1 x 2 x 12 P xx 必在圆内 必在圆上 22 2xy 22 2xy 必在圆外 以上三种情形都有可能 22 2xy 21 本小题满分 12 分 设动点到点和的距离分别为和 P 10 A 10 B 1 d 2 d 且存在常数 使得 2APB 01 2 12sin d d 1 证明 动点的轨迹为双曲线 并求出的方程 PCC 2 过点作直线双曲线的右支于两点 试确定的BCMN 范围 使 其中点为坐标原点 OM ON 0 AO 解法一 1 在中 即 PAB 2AB 222 1212 22cos2ddd d 即 常数 22 1212 4 4sinddd d 2 1212 44sin2 12ddd d 点的轨迹是以为焦点 实轴长的双曲线 PCAB 22 1a 方程为 22 1 1 xy 2 设 11 M xy 22 N xy 当垂直于轴时 的方程为 在双曲线上 MNxMN1x 11 M 11 N 即 因为 所以 2 1115 110 12 01 51 2 当不垂直于轴时 设的方程为 MNxMN 1 yk x y y P BOA 1 d 2 d 2 由得 22 1 1 1 xy yk x 2222 1 2 1 1 0kxk xk 由题意知 2 1 0k 所以 2 12 2 2 1 1 k xx k 2 12 2 1 1 k x x k 于是 22 2 1212 2 1 1 1 k y ykxx k 因为 且在双曲线右支上 所以0OM ON AMN 2 1212 2 2 12 22 12 1 0 1 512 1 011 23 100 1 x xy y k xx k x x 由 知 512 23 解法二 1 同解法一 2 设 的中点为 11 M xy 22 N xy MN 00 E xy 当时 12 1xx 2 2 110 1 MB 因为 所以 01 51 2 当时 12 xx 22 11 0 22 0 22 1 1 1 1 1 MN xy x k y xy A 又 所以 0 0 1 MNBE y kk x 22 000 1 yxx 由得 由第二定义得 2 MON 2 22 00 2 MN xy 2 2 12 2 22 MNe xxa 2 2 000 11 1 1 2 11 xxx 所以 222 000 1 2 1 1 yxx 于是由得 22 000 222 000 1 1 2 1 1 yxx yxx 2 0 1 23 x 因为 所以 又 0 1x 2 1 1 23 01 解得 由 知 512 23 512 23 江西文 7 连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点 设点为坐 2 4xy F 10 M AO 标原点 则三角形的面积为 OAM 12 3 2 2 12 3 2 2 12 设椭圆的离心率为 右焦点为 方程 22 22 1 0 xy ab ab 1 e 2 0 F c 的两个实根分别为和 则点 2 0axbxc 1 x 2 x 12 P xx 必在圆上 必在圆外 22 2xy 22 2xy 必在圆内 以上三种情形都有可能 22 2xy 22 本小题满分 14 分 设动点到点和的距离分别为和 且存在常数P 1 10 F 2 10 F 1 d 2 d 12 2FPF 使得 01 2 12sin d d 1 证明 动点的轨迹为双曲线 并求出的PCC 方程 2 如图 过点的直线与双曲线的右支交于 2 FC 两点 问 是否存在 使是以点AB 1 F AB 为直角顶点的等腰直角三角形 若存在 求出的B 值 若不存在 说明理由 22 解 1 在中 12 PFF 12 2FF 2222 12121212 42cos2 4sinddd dddd d 2 12 44dd 1 F y x 2 FO A P B 小于的常数 12 2 1dd 2 故动点的轨迹是以 为焦点 实轴长的双曲线 PC 1 F 2 F22 1a 方程为 22 1 1 xy 2 方法一 在中 设 1 AFB 11 AFd 22 AFd 13 BFd 24 BFd 假设为等腰直角三角形 则 1 AFB 12 34 342 13 2 34 2 2 2 sin 4 dda dda ddd dd d d 由 与 得 2 2da 则 1 3 43 4 2 2 22 21 da da ddaa 由 得 34 2d d 2 4 2 21 2a 84 2 1 2 122 2 01 17 故存在满足题设条件 122 2 17 方法二 1 设为等腰直角三角形 依题设可得 1 AFB 2 1212 2 12 12 22 2 sin 821 1 cos 4 sin 2 4 AFAFAFAF BFBF BFBF AAA AA A 所以 1 2 12 1 sin 21 24 AF F SAFAF A 1 2 12 1 2 BF F SBFBF A 则 1 22 AF B S 由 可设 1 2 1 2 2 2 21 AF F BF F SAF SBF 2 BFd 则 2 21 AFd 1 22 BFABd 则 1 2 22 11 22 22 AF B SABd 由 得 2 22 2d 根据双曲线定义可得 12 22 1BFBFa 21 2 1d 平方得 22 21 4 1 d 由 消去可解得 d 122 2 01 17 故存在满足题设条件 122 2 17 江苏理 3 在平面直角坐标系中 双曲线中心在原点 焦点在轴上 一条渐近线方程为xOyy 则它的离心率为20 xy A B C D 5 5 2 32 15 在平面直角坐标系中 已知顶点和 顶点在椭圆xOyABC 4 0 A 4 0 CB 上 则 22 1 2516 xy sinsin sin AC B 19 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系中 xOy 过轴正方向上一点任作一直线 与抛物线y 0 Cc 相交于两点 一条垂直于轴的直线 分别与 2 yx ABx 线段和直线交于 AB l yc P Q 1 若 求的值 5 分 2OA OB c B A x y O C Q l P 2 若为线段的中点 求证 为此抛物线的切线 5 分 PABQA 3 试问 2 的逆命题是否成立 说明理由 4 分 解 1 设过 C 点的直线为 所以 即 ykxc 2 0 xkxc c 2 0 xkxc 设 A 因为 所以 1122 x yB xyOA 11 x y 22 OBxy 2OA OB 即 1212 2x xy y 1212 2x xkxckxc 22 121212 2x xk x xkc xxc 所以 即所以 22 2ck ckc kc A 2 20 cc 21cc 舍去 2 设过 Q 的切线为 所以 即 111 yykxx 2yx 11 2kx 它与的交点为 M 又 22 11111 222yx xxyx xx yc 1 1 22 xc c x 所以 Q 因为 所以 2 1212 2222 xxyyk k Pc 2 k c 12 x xc 2 1 c x x 所以 M 所以点 M 和点 Q 重合 也就是 QA 为此抛物线的切线 12 222 xxk cc 3 2 的逆命题是成立 由 2 可知 Q 因为 PQ轴 所以 2 k c x 2 P k Py 因为 所以 P 为 AB 的中点 12 22 xxk 9 设分别是椭圆 的左 右焦点 若在其右准线上存在 12 FF 22 22 1 xy ab 0ab 使线段的中垂线过点 则椭圆离心率的取值范围是 P 1 PF 2 F A B C D 2 0 2 3 0 3 2 1 2 3 1 3 20 本小题满分 12 分 已知双曲线的左 右焦点分别为 过点的动直线与双曲线相交于 22 2xy 1 F 2 F 2 F 两点 AB I 若动点满足 其中为坐标原点 求点的轨迹方程 M 1111 FMF AFBFO OM II 在轴上是否存在定点 使 为常数 若存在 求出点的坐标 若不存xCCA CB C 在 请说明理由 20 解 由条件知 设 1 2 0 F 2 2 0 F 11 A xy 22 B xy 解法一 I 设 则则 M xy 1 2 FMxy 111 2 F Axy 由得 1221 2 2 0 FBxyFO 1111 FMF AFBFO 即 12 12 26xxx yyy 12 12 4xxx yyy 于是的中点坐标为 AB 4 22 xy 当不与轴垂直时 即 ABx 12 12 2 4 8 2 2 y yyy x xxx 1212 8 y yyxx x 又因为两点在双曲线上 所以 两式相减得AB 22 11 2xy 22 22 2xy 即 12121212 xxxxyyyy 1212 4 xxxyyy 将代入上式 化简得 1212 8 y yyxx x 22 6 4xy 当与轴垂直时 求得 也满足上述方程 ABx 12 2xx 8 0 M 所以点的轨迹方程是 M 22 6 4xy II 假设在轴上存在定点 使为常数 x 0 C m CA CB A 当不与轴垂直时 设直线的方程是 ABxAB 2 1 yk xk 代入有 22 2xy 2222 1 4 42 0kxk xk 则是上述方程的两个实根 所以 12 xx 2 12 2 4 1 k xx k 2 12 2 42 1 k x x k 于是 2 1212 2 2 CA CBxm xmkxx A 2222 1212 1 2 4kx xkm xxkm 2222 22 22 1 42 4 2 4 11 kkkkm km kk 2 22 22 2 1 2 244 2 1 2 11 m km mmm kk 因为是与无关的常数 所以 即 此时 CA CB Ak440m 1m CA CB A1 当与轴垂直时 点的坐标可分别设为 ABxAB 22 22 此时 12 12 1CA CB AA 故在轴上存在定点 使为常数 x 10 C CA CB A 解法二 I 同解法一的 I 有 12 12 4xxx yyy 当不与轴垂直时 设直线的方程是 ABxAB 2 1 yk xk 代入有 22 2xy 2222 1 4 42 0kxk xk 则是上述方程的两个实根 所以 12 xx 2 12 2 4 1 k xx k 2 1212 2 44 4 4 11 kk yyk xxk kk 由 得 2 2 4 4 1 k x k 2 4 1 k y k 当时 由 得 将其代入 有0k 0y 4x k y 整理得 222 2 4 4 4 4 4 4 1 x y xy y xxy y 22 6 4xy 当时 点的坐标为 满足上述方程 0k M 4 0 当与轴垂直时 求得 也满足上述方程 ABx 12 2xx 8 0 M 故点的轨迹方程是 M 22 6 4xy II 假设在轴上存在定点点 使为常数 x 0 C m CA CB A 当不与轴垂直时 由 I 有 ABx 2 12 2 4 1 k xx k 2 12 2 42 1 k x x k 以上同解法一的 II 湖南文 9 设分别是椭圆 的左 右焦点 是其右准线上纵坐 12 FF 22 22 1 xy ab 0ab P 标为 为半焦距 的点 且 则椭圆的离心率是 3cc 122 FFF P A B C D 31 2 1 2 51 2 2 2 19 本小题满分 13 分 已知双曲线的右焦点为 过点的动直线与双曲线相交于两点 点 22 2xy FFAB 的坐标是 C 10 I 证明 为常数 CA CB II 若动点满足 其中为坐标原点 求点的轨迹方程 MCMCACBCO OM 19 解 由条件知 设 2 0 F 11 A xy 22 B xy I 当与轴垂直时 可设点的坐标分别为 ABxAB 22 22 此时 12 12 1CA CB AA 当不与轴垂直时 设直线的方程是 ABxAB 2 1 yk xk 代入 有 22 2xy 2222 1 4 42 0kxk xk 则是上述方程的两个实根 所以 12 xx 2 12 2 4 1 k xx k 2 12 2 42 1 k x x k 于是 2 12121212 1 1 1 1 2 2 CA CBxxy yxxkxx A 222 1212 1 21 41kx xkxxk 2222 2 22 1 42 4 21 41 11 kkkk k kk 22 42 411kk 综上所述 为常数 CA CB A1 II 解法一 设 则 M xy 1 CMxy 11 1 CAxy 由得 22 1 CBxy 10 CO CMCACBCO 即 12 12 13xxx yyy 12 12 2xxx yyy 于是的中点坐标为 AB 2 22 xy 当不与轴垂直时 即 ABx 12 12 2 2 2 2 2 y yyy x xxx 1212 2 y yyxx x 又因为两点在双曲线上 所以 两式相减得AB 22 11 2xy 22 22 2xy 即 12121212 xxxxyyyy 1212 2 xxxyyy 将代入上式 化简得 1212 2 y yyxx x 22 4xy 当与轴垂直时 求得 也满足上述方程 ABx 12 2xx 2 0 M 所以点的轨迹方程是 M 22 4xy 解法二 同解法一得 12 12 2xxx yyy 当不与轴垂直时 由 I 有 ABx 2 12 2 4 1 k xx k 2 1212 2 44 4 4 11 kk yyk xxk kk 由 得 2 2 4 2 1 k x k 2 4 1 k y k 当时 由 得 将其代入 有0k 0y 2x k y 整理得 222 2 2 4 4 2 2 2 1 x y xy y xxy y 22 4xy 当时 点的坐标为 满足上述方程 0k M 2 0 当与轴垂直时 求得 也满足上述方程 ABx 12 2xx 2 0 M 故点的轨迹方程是 M 22 4xy 湖北理 7 双曲线的左准线为 左焦点和右焦点分别为和 22 1 22 1 00 xy Cab ab l 1 F 2 F 抛物线的准线为 焦点为与的一个交点为 则等于 2 Cl 21 FC 2 CM 121 12 FFMF MFMF A B C D 1 1 1 2 1 2 10 已知直线 是非零常数 与圆有公共点 且公共点的横1 xy ab ab 22 100 xy 坐标和纵坐标均为整数 那么这样的直线共有 A 60 条B 66 条C 72 条D 78 条 19 本小题满分 12 分 在平面直角坐标系中 过定点作直线与抛物线 相交于xOy 0 Cp 2 2xpy 0p 两点 AB I 若点是点关于坐标原点的对称点 求面积的最小值 NCOANB II 是否存在垂直于轴的直线 使得 被以为直径的圆截得的弦长恒为定值 若yllAC 存在 求出 的方程 若不存在 说明理由 此题不要求在答题卡上画图 l A B x y N C O 19 本小题主要考查直线 圆和抛物线等平面解析几何的基础知识 考查综合运用数学知 识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解法 1 依题意 点的坐标为 可设 N 0 Np 1122 A xyB xy 直线的方程为 与联立得消去得ABykxp 2 2xpy 2 2xpy ykxp y 22 220 xpkxp 由韦达定理得 12 2xxpk 2 12 2x xp 于是 12 1 2 2 ABNBCNACN SSSp xx 2 121212 4p xxpxxx x 22222 4822pp kppk 当时 0k 2 min 2 2 ABN Sp 假设满足条件的直线 存在 其方程为 lya 的中点为 与为直径的圆相交于点 的中点为 AC O lACPQPQ H 则 点的坐标为 O HPQ Q 11 22 xyp 2222 111 111 222 O PACxypyp 1 1 1 2 22 yp O Haayp 222 PHO PO H 222 11 11 2 44 ypayp 1 2 p aya pa 2 2 2 PQPH 1 4 2 p aya pa 令 得 此时为定值 故满足条件的直线 存在 其方程为0 2 p a 2 p a PQp l 2 p y 即抛物线的通径所在的直线 解法 2 前同解法 1 再由弦长公式得 2222222 121212 11 4148ABkxxkxxx xkp kp 22 212pkk 又由点到直线的距离公式得 2 2 1 p d k N O A C B y x N O A C B y x O l 从而 2222 2 112 21222 22 1 ABN p Sd ABpkkpk k 当时 0k 2 min 2 2 ABN Sp 假设满足条件的直线 存在 其方程为 则以为直径的圆的方程为lya AC 11 0 0 xxxypyy 将直线方程代入得 ya 2 11 0 xx xap ay 则 2 111 4 4 2 p xap ayaya pa 设直线 与以为直径的圆的交点为 lAC 3344 P xyQ xy 则有 3411 4 2 22 pp PQxxaya paaya pa 令 得 此时为定值 故满足条件的直线 存在 其方程为0 2 p a 2 p a PQp l 2 p y 即抛物线的通径所在的直线 湖北文 12 过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点 为其右焦点 22 1 43 xy 1 FMN 2 F 则的值为 22 MFNFMN 广东理 11 在平面直角坐标系中 有一定点 若线段的垂直平分线过抛物线xoy 2 1 AOA 则该抛物线的方程是 2 2 0 ypx p 18 本小题满分14分 在平面直角坐标系中 已知圆心在第二象限 半径为的圆与直线相xoy2 2Cyx 切于 坐标原点 椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 O 22 2 1 9 xy a C10 1 求圆的方程 C 2 试探究圆上是否存在异于原点的点 使到椭圆右焦点的距离等于线段CQQF 的长 若存在 请求出点的坐标 若不存在 请说明理由 OFQ 18 解 1 设圆心坐标为 m n m0 则该圆的方程为 x m 2 y n 2 8 已知该圆 与直线 y x 相切 那么圆心到该直线的距离等于圆的半径 则 2 2 nm 2 即 4 nm 又圆与直线切于原点 将点 0 0 代入得 m2 n2 8 联立方程 和 组成方程组解得 2 2 n m 故圆的方程为 x 2 2 y 2 2 8 2 5 a2 25 则椭圆的方程为 1a 其焦距 c 4 右焦点为 4 0 那么 4 925 OF 要探求是否存在异于原点的点 Q 使得该点到右焦点 F 的距离等于的长度 4 我们可OF 以转化为探求以右焦点 F 为顶点 半径为 4 的圆 x 4 2 y2 8 与 1 所求的圆的交点数 通过联立两圆的方程解得 x y 5 4 5 12 即存在异于原点的点 Q 使得该点到右焦点 F 的距离等于的长 5 4 5 12 OF 广东文 11 在平面直角坐标系中 已知抛物线关于轴对称 顶点在原点 且过点P 2 4 xoyxO 则该抛物线的方程是 2 8yx 19 本小题满分14分 在平面直角坐标系中 已知圆心在第二象限 半径为2 2的圆与直线相xoyCyx 切于 坐标原点 椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 O 22 2 1 9 xy a C10 1 求圆的方程 C 2 试探究圆上是否存在异于原点的点 使到椭圆右焦点F的距离等于线段的CQQOF 25 2 x 9 2 y 长 若存在 请求出点的坐标 若不存在 请说明理由 Q 19 解解 1 设圆 C 的圆心为 m n 则 解得 22 2 mn n A 2 2 m n 所求的圆的方程为 22 2 2 8xy 2 由已知可得 210a 5a 椭圆的方程为 右焦点为 F 4 0 22 1 259 xy 假设存在 Q 点使 22 2cos 22 2sin QFOF 22 22 2cos422 2sin4 整理得 代入 得 sin3cos2 2 22 sincos1 2 10cos12 2cos70 12 2812 22 2 cos1 1010 因此不存在符合题意的 Q 点 福建理 6 以双曲线的右焦点为圆心 且与其渐近线相切的圆的方程是 22 1 916 xy A B 22 1090 xyx 22 10160 xyx C D 22 10160 xyx 22 1090 xyx 20 本小题满分 12 分 如图 已知点 10 F 直线 为平面上的动点 过作直线 1l x PP 的垂线 垂足为点 且 lQQP QFFP FQ AA 求动点的轨迹的方程 PC 过点的直线交轨迹于两点 交直线 于点 已知 FCAB lM 1 MAAF 求的值 2 MBBF 12 20 本小题主要考查直线 抛物线 向量等基础知识 考查轨迹方程的求法以及研究曲线 几何特征的基本方法 考查运算能力和综合解题能力 满分 14 分 O y x11 l F 解法一 设点 则 由得 P xy 1 Qy QP QFFP FQ AA 化简得 10 2 1 2 xyxyy AA 2 4C yx 设直线的方程为 AB 1 0 xmym 设 又 11 A xy 22 B xy 2 1M m 联立方程组 消去得 2 4 1 yx xmy x 故 2 440ymy 2 4 120m 12 12 4 4 yym y y 由 得 1 MAAF 2 MBBF 整理得 111 2 yy m 222 2 yy m 1 1 2 1 my 2 2 2 1 my 12 12 211 2 myy 12 12 2 2 yy my y A 2 4 2 4 m m A 0 解法二 由得 QP QFFP FQ AA 0FQ PQPF A 0PQPFPQPF A 22 0PQPF PQPF 所以点的轨迹是抛物线 由题意 轨迹的方程为 PCC 2 4yx P B Q M FO A x y 由已知 得 1 MAAF 2 MBBF 12 0 A 则 1 2 MAAF MBBF 过点分别作准线 的垂线 垂足分别为 AB l 1 A 1 B 则有 1 1 MAAAAF MBBBBF 由 得 即 1 2 AFAF BFBF 12 0 福建文 10 以双曲线的右焦点为圆心 且与其右准线相切的圆的方程是 22 2xy 22 430 xyx 22 430 xyx 22 450 xyx 22 450 xyx 22 本小题满分 本小题满分 14 分 分 如图 已知 直线 为平面上的动点 过点作 的垂线 垂足为点 10 F 1l x PPlQ 且 QP QFFP FQ AA 求动点的轨迹的方程 PC 过点的直线交轨迹于两点 交直线 于点 FCAB lM 1 已知 求的值 1 MAAF 2 MBBF 12 2 求的最小值 MA MB A 22 本小题主要考查直线 抛物线 向量等基础知识 考查轨迹方程的求法以及研究曲线本小题主要考查直线 抛物线 向量等基础知识 考查轨迹方程的求法以及研究曲线 几何特征的基本方法 考查运算能力和综合解题能力 满分几何特征的基本方法 考查运算能力和综合解题能力 满分 14 分 分 解法一 设点 则 由得 P xy 1 Qy QP QFFP FQ AA 化简得 10 2 1 2 xyxyy AA 2 4C yx 1 设直线的方程为 AB 1 0 xmym 设 又 11 A xy 22 B xy 2 1M m P B Q M FO A x y 联立方程组 消去得 2 4 1 yx xmy x 2 440ymy 2 4 120m 12 12 4 4 yym y y 由 得 1 MAAF 2 MBBF 整理得 111 2 yy m 222 2 yy m 1 1 2 1 my 2 2 2 1 my 12 12 211 2 myy 12 12 2 2 yy my y A 2 4 2 4 m m A 0 解法二 由得 QP QFFP FQ AA 0FQ PQPF A 0PQPFPQPF A 22 0PQPF PQPF 所以点的轨迹是抛物线 由题意 轨迹的方程为 PCC 2 4yx 1 由已知 得 1 MAAF 2 MBBF 12 0 A 则 1 2 MAAF MBBF 过点分别作准线 的垂线 垂足分别为 AB l 1 A 1 B 则有 1 1 MAAAAF MBBBBF 由 得 即 1 2 AFAF BFBF 12 0 2 解 由解法一 2 2 12 1 MM MA MBmyyyy A 22 1212 1 MM my yyyyy 2 2 24 1 44mm mm 2 2 4 1 4m m 22 22 11 4 2 4 2216mm mm A 当且仅当 即时等号成立 所以最小值为 2 2 1 m m 1m MA MB A16 北京理 17 本小题共 14 分 矩形的两条对角线相交于点 边所在直线的方程为 点ABCD 2 0 M AB360 xy 在边所在直线上 11 T AD I 求边所在直线的方程 AD II 求矩形外接圆的方程 ABCD III 若动圆过点 且与矩形的外接圆外切 求动圆的圆心的轨迹P 2 0 N ABCDP 方程 17 共 14 分 解 I 因为边所在直线的方程为 且与垂直 所以直线AB360 xy ADAB 的斜率为 AD3 又因为点在直线上 11 T AD 所以边所在直线的方程为 AD13 1 yx 320 xy II 由解得点的坐标为 360 32 0 xy xy A 02 因为矩形两条对角线的交点为 ABCD 2 0 M 所以为矩形外接圆的圆心 MABCD 又 22 20 02 2 2AM 从而矩形外接圆的方程为 ABCD 22 2 8xy III 因为动圆过点 所以是该圆的半径 又因为动圆与圆外切 PNPNPM 所以 2 2PMPN 即 2 2PMPN 故点的轨迹是以为焦点 实轴长为的双曲线的左支 PMN 2 2 因为实半轴长 半焦距 2a 2c 所以虚半轴长 22 2bca 从而动圆的圆心的轨迹方程为 P 22 1 2 22 xy x 北京文 4 椭圆的焦点为 两条准线与轴的交点分别为 22 22 1 0 xy ab ab 1 F 2 FxMN 若 则该椭圆离心率的取值范围是 12 MNFF 1 0 2 2 0 2 1 1 2 2 1 2 19 本小题共 14 分 如图 矩形的两条对角线相交于点 边所在ABCD 2 0 M AB 直线的方程为点在边所在直线上 360 xy 11 T AD I 求边所在直线的方程 AD II 求矩形外接圆的方程 ABCD III 若动圆过点 且与矩形的外接圆外切 P 2 0 N ABCD 求动圆的圆心的轨迹方程 P 19 共 14 分 解 I 因为边所在直线的方程为 且与垂直 所以直线AB360 xy ADAB 的斜率为 AD3 D T N O A B C M x y 又因为点在直线上 11 T AD 所以边所在直线的方程为 AD13 1 yx 320 xy