《直线的方程点斜式》优质课比赛教案

第 1 页 共 7 页 直线的方程直线的方程 点斜式点斜式 1 1 教材分析教材分析 从研究直线方程开始 学生对 解析几何 的学习进入了实质性阶段 直线与方 程 关系的研究 是 曲线与方程 的关系研究的前奏和基础 所以本节课教学的效 果直接决定了整个 解析几何 教学的效果 刚刚接触 解析几何 的学生 幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解 解析几何 的实质 而本节课则以比较浅显的问题开启了 解析几何 学习的先河 他们可渐渐 地逐步深刻地认识到直线上的点与有序实数对之间的对应关系 进而可理解 两个独 立条件确定一条直线 这个本质规律 从而自然地构建出本节课研究的内容 两种直线 方程形式中的关键字 点 斜 与 斜 截 分别是 两个独立条件 的高度概括 是对直线方程特征的本质提炼 这些都是 解析几何 乃至全部数学内容的精髓 引 导学生深刻理解 熟练掌握这些 对于提高他们的数学素养大有裨益 贯穿 解析几何 始终的一个重要问题就是由曲线求其方程和由方程研究曲线性 质 而本节课则以简单问题为载体 揭示了解决这个问题的基本方法和步骤 为进一 步解决后继的问题打下了坚实的基础 解析几何 中处处渗透了各种数学思想 特别是数形结合与等价转化思想 本 节课则以生动的具体事例有效地促进学生树立 巩固和熟练应用这些数学思想 教学是以发展学生的数学思维为重要目标 本节课则在优化数学思维的多种特征 上有着独特的功能 综上 本节课是高中数学教学中极为关键的内容 创设和实施优质的教学程序 在一定程度上影响着今后高中数学教学的成败 2 2 教学目标教学目标 2 12 1 知识与技能知识与技能 1 知道由一个点和斜率可以确定一条直线 探索并掌握直线的点斜式 斜截式方 程 2 能根据条件熟练地求出直线的点斜式 斜截式方程 并能化为一般式 2 22 2 过程与方法过程与方法 1 让学生经历知识的构建过程 培养学生观察 探究能力 第 2 页 共 7 页 2 使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系 渗透数形结合等 数学思想 2 32 3 情感态度与价值观情感态度与价值观 1 使学生进一步体会化归的思想 逐步培养他们分析问题 解决问题的能力 2 利用多媒体课件的精彩演示 增强图形美感 使学生享受数学美 增进数学学 习的情趣 3 3 教学重点与难点教学重点与难点 教学重点 直线的点斜式方程 教学难点 对直线的方程与方程的直线的对应关系的理解 4 4 教学方法教学方法 1 教师为主导 学生为主体 师生互动为主线 2 通过创设问题情境 引导学生观察 比较 转化 抽象来实现直线的点斜式教 学 同时渗透数形结合等数学思想 5 5 教学过程教学过程 5 15 1 问题情境 了解数学 问题情境 了解数学 问题问题 1 1 1 若同学小李说 有一条铁路经过徐州市 你能知道这条铁路的具体位置 吗 不知道 因为不知道这条铁路的方向 2 若同学小王说 有一条铁路是正南正北方向 你能知道这条铁路的具体位置吗 不知道 因为不知道这条铁路经过哪座城市 3 若同学小张说 有一条铁路经过徐州市 且是正南正北方向 你能知道这条铁 路的具体位置吗 知道了 问题问题 2 2 1 过已知点 A 1 3 的直线有多少条 无数条 2 斜率为 2 的直线有多少条 无数条 3 过已知点 A 1 3 且斜率为 2 的直线有多少条 一条 问题问题 3 3 确定一条直线需要几个独立条件 你能举例说明吗 学生可能的回答 1 已知直线上的一点和直线的方向 斜率或倾斜角 2 已知直线上的两个点 222111 yxPyxP 问题问题 4 4 若 x1 x2 则直线的斜率为 222111 yxPyxP 21P P 第 3 页 共 7 页 若 x1 x2 则直线的斜率 21P P 5 25 2 学生活动 体验数学 学生活动 体验数学 探探究究 若直线 经过点 A 1 3 斜率为 2 点 P 在直线 上运动 那么点 P 的ll 坐标 x y 应满足什么样条件 当点 P x y 在直线 上运动时 点 P 与定点 A 1 3 所确定的直线的斜率等于l 2 故有 1 2 1 3 x y 即 y 3 2 x 1 2 即 2x y 1 0 3 问题问题 5 5 点 A 1 3 的坐标满足上述各方程吗 答 方程 1 中 x 丢掉了点 A 方程 2 及 3 中 x 补上点 A 问题问题 6 6 直线 上任意一点的坐标与方程 2 或 3 的解有什么关系 l 答 当点 P 在直线 上运动时 其坐标 x y 满足 2x y 1 0 反过来 以方程l 2x y 1 0 的解为坐标的点都在直线 上 l 5 35 3 数学理论 建构数学 数学理论 建构数学 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 一般地 设直线 经过点 斜率为 k 直线 上任意一点 P 的坐标为 x y l 111 yxPl 当点 P x y 在直线 上运动时 的斜率恒等于 k 即l 1 PP 除点外 丢掉了点 P1 k xx yy 1 1 1 xx 1 P 即 包括点 补上点 P1 比较重要的内容 11 xxkyy 1 xx 1 P 方程叫做直线的点斜式方程点斜式方程 点 和 斜 是两个独立条件的 11 xxkyy 浓缩概括 一个极为传神精准的命名 说明 说明 1 可以验证 直线 上的每个点 包括点 的坐标都是这个方程的解 l 1 P 反过来 以这个方程的解为坐标的点都在直线 上 l 2 当直线 与 x 轴垂直时 斜率不存在 其方程不能用点斜式表示 但因为 上每ll 第 4 页 共 7 页 一点的横坐标都等于 所以它的方程是 1 x 1 xx 当直线 与 y 轴垂直时 斜率为 0 其方程能用点斜式表示 但因为 上每一点的纵ll 坐标都等于 所以它的方程是 1 y 1 yy 实际上可写为 y y1 0 x 0 特别地 x 轴 y 轴所在的直线的方程分别为 y 0 和 x 0 问题问题 7 7 这两个方程是否是直线的点斜式方程 此问目的 加深对直线的点斜式方程的理解 5 45 4 数学应用 巩固数学 数学应用 巩固数学 例例 1 1 1 经过点 P 2 3 且与 x 轴垂直的直线的方程为 2 经过点 P 2 3 且与 y 轴垂直的直线的方程为 3 已知直线经过点 P 2 3 斜率为 2 求这条直线的方程 解 解 3 由直线的点斜式方程 得所求直线的方程为 y 3 2 x 2 即 2x y 7 0 例例 2 2 课本 P 71 例 2 已知直线 的斜率为 k 与 y 轴的交点是 P 0 b 求直线l 的方程 l 解 解 由直线的点斜式方程 得所求直线的方程为 y b k x 0 即 y kx b 5 55 5 数学理论 建构数学 数学理论 建构数学 直线的斜截式方程直线的斜截式方程 方程 y kx b 叫做直线的斜截式方程斜截式方程 斜 和 截 又是两个独立条件的浓缩概 括 又一个极为传神精准的命名 问题问题 8 8 由直线的斜截式方程可以联想到我们学习过的哪类函数 说明 说明 1 直线的斜截式方程是直线点斜式方程的一种特殊情况 即给出了直线与 y 轴 交点的纵坐标 从而给出了交点坐标 0 b 2 直线的斜截式方程 点斜式方程适用范围 直线的斜率存在 3 直线的斜截式方程 y kx b 与一次函数的表达式 y kx b 虽然有着相同的 面孔 第 5 页 共 7 页 但有着本质的区别 前者的 k 可以为 0 后者的 k 却不可为 即集合 一次函数的 y kx b 的图象 是集合 斜截式方程 y kx b 表示的直线 的真子集 4 直线的斜截式方程 y kx b 中的 b 及直线 在 y 轴上的截距 也叫 纵截 距 名称中虽然有个 距 字 但这里的 b 却既可以为正 为负 也可以为 0 但 距离是恒为非负的 所以有 截距非距 之说 5 如何记忆这两类直线方程 斜率公式 点斜式 斜截式 理顺它们之间的 逻辑关系 使学生形成自然的记忆 5 65 6 数学应用 巩固数学 数学应用 巩固数学 练习 练习 根据下列条件 分别写出直线的方程 1 经过点 4 2 斜率为 3 y 2 3 x 4 即 3x y 14 0 2 经过点 3 1 斜率为 2 y 1 2 x 3 即 2x y 7 0 3 斜率为 2 在 y 轴上的截距为 2 y 2x 2 4 斜率为 2 与 x 轴的交点的横坐标为 1 y 0 2 x 1 即 2x y 2 0 说明 说明 练习 4 中 直线与 x 轴交点的横坐标 我们对称地称之为直线 在 x 轴上的截距 也可称 横截距 与纵截距呼应 形成对偶关系 5 75 7 合作探究 感悟数学 合作探究 感悟数学 探究探究 1 1 在同一平面直角坐标系中作出直线 y 2 y x 2 y x 2 y 3x 2 y 3x 2 这些方程表示的直线有什么共同特点 你能用一个方程表示出它们来吗 为研究 方程 y kx 2 作铺垫 推测 推测 当 k 取任意实数时 方程 y kx 2 表示的直线都经过点 0 2 它们是一组 共点直线 问题问题 9 9 这组直线包括所有过点 0 2 的直线吗 第 6 页 共 7 页 答 不含过点 0 2 的直线 x 0 探究探究 2 2 在同一平面直角坐标系中作出直线 y 2x y 2x 1 y 2x 1 y 2x 4 y 2x 4 这些方程表示的直线有什么共同特点 你能用一个方程表示出它们来吗 为研究 方程 y 2x b 作铺垫 推测 推测 当 b 取任意实数时 方程 y 2x b 表示的直线彼此平行 它们是一组平行直 线 它们斜率相等 纵截距不等 5 85 8 数学应用 巩固数学 数学应用 巩固数学 练习练习 1 1 当 k 取任何实数值时 1 直线 y kx 5 恒过点 2 直线 y k x 5 恒过点 3 直线 y 2 k x 4 恒过点 练习练习 2 2 直线 y k x 1 k 0 的图象可能是 O O O O y x x x x y yy 1 1 1 1 1 1 1 1 C A B D 5 95 9 回顾小结 再现数学 回顾小结 再现数学 1 通过本节课的学习 你掌握了哪些知识 直线的点斜率式方程 11 xxkyy 直线的斜截式方程 y kx b 直线斜截式方程 y kx b 是点斜式方程的特殊情况 11 xxkyy 集合 一次函数 y kx b k 0 的图象 是集合 斜截式方程 y kx b 表示的直线 的真 子集 当过点的直线 111 yxP 与 x 轴垂直时 斜率不存在 其方程是 l 1 xx 与 y 轴垂直时 斜率为 0 其方程是 l 1 yy 第 7