二次函数导学案全章

二次函数导学案二次函数导学案 26 126 1 二次函数及其图像二次函数及其图像 26 1 1 二次函数 学习目标学习目标 1 了解二次函数的有关概念 2 会确定二次函数关系式中各项的系数 3 确定实际问题中二次函数的关系式 学法指导学法指导 类比一次函数 反比例函数来学习二次函数 注意知识结构的建立 学习过程学习过程 一 知识链接 一 知识链接 1 若在一个变化过程中有两个变量 x 和 y 如果对于 x 的每一个值 y 都有唯一的值与它对应 那么就说 y 是 x 的 x 叫做 2 形如 y 0 k 的函数是一次函数 当 0 时 它是 函数 二 自主学习 二 自主学习 1 用 16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔 圈的面积 y 与长方形 的长 x m 之间的函数关系式为 分析 在这个问题中 可设长方形生物园的长为x米 则宽为 米 如果将面积记为 y 平方米 那么 y 与x之间的函数关系式为 y 整理为 y 2 n 支球队参加比赛 每两队之间进行一场比赛 写出比赛的场次 数 m 与球队数 n 之间的关系式 3 用一根长为 40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形 求扇形的面积 S与它的半径r之间的函数关系式是 4 观察上述函数函数关系有哪些共同之处 5 归纳 一般地 形如 a b ca是常数 且 的函数为二次函数次函数 其中x是自变量 a是 b 是 c 是 三 合作交流 三 合作交流 1 二次项系数a为什么不等于 0 答 2 一次项系数b和常数项c可以为 0 吗 答 四 跟踪练习四 跟踪练习 1 观察 2 6yx 2 35yx y 200 x2 400 x 200 3 2yxx 2 1 3yx x 2 2 1yxx 这六个式子中二次函数 有 只填序号 2 2 1 31 mm ymxx 是二次函数 则 m 的值为 3 若物体运动的路段 s 米 与时间 t 秒 之间的关系为 2 52stt 则当 t 4 秒时 该物体所经过的路程为 4 二次函数 2 3yxbx 当 x 2 时 y 3 则这个二次函数解析 式为 5 为了改善小区环境 某小区决定要在一块一边 靠墙 墙长 25m 的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD 绿化带一边靠墙 另三边用总长为 40m 的 栅栏围住 如图 若设绿化带的 BC 边长为 x m 绿化带的面积为 y m2 求 y 与 x 之间的函数关系式 并写出自变 量 x 的取值范围 26 1 226 1 2二次函数二次函数 2 yax 的图象的图象 学习目标学习目标 1 知道二次函数的图象是一条抛物线 2 会画二次函数 y ax2的图象 3 掌握二次函数 y ax2的性质 并会灵活应用 重点 学法指导学法指导 数形结合是学习函数图象的精髓所在 一定要善于从图象上学习认 识函数 学习过程学习过程 一 知识链接 一 知识链接 1 画一个函数图象的一般过程是 2 一次函数图象的形状是 二 自主学习二 自主学习 一 画二次函数 y x2的图象 列表 x 3 2 1 0123 y x2 在图 3 中描点 并连线 1 1 思考 思考 图 1 和图 2 中的连线正确吗 为什么 连线中我们 x y 1 2 3 4 1234 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O 1 x y 1 2 3 4 1234 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O 2 x y 1 2 3 4 1234 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 O 3 应该注意什么 答 答 2 2 归纳 归纳 由图象可知二次函数 2 xy 的图象是一条曲线 它的形状类似于 投篮球时球在空中所经过的路线 即抛出物体所经过的路线 所以 这条曲线叫做 线 抛物线 2 xy 是轴对称图形 对称轴是 2 xy 的图象开口 与 的交点叫做抛物线的顶点 抛物线 2 xy 的顶点坐 标是 它是抛物线的最 点 填 高 或 低 即当 x 0 时 y 有最 值等于 0 在对称轴的左侧 图象从左往右呈 趋势 在对称轴的右侧 图象从左往右呈 趋势 即x0 时 y 随x的增大而 二 例 二 例 1 1 在图 4 中 画出函数 2 2 1 xy 2 xy 2 2xy 的图 象 解 列表 x 4 3 2 1 0123 4 2 2 1 xy 归纳 归纳 抛物线 2 2 1 xy 2 xy 2 2xy 的图象的形状都是 顶点都是 对称轴都是 二次项 系数a 0 开口都 顶点都是抛物线的最 点 填 高 或 低 归纳 归纳 抛物线 2 2 1 xy 2 xy 2 2xy 的的图象的形 状都是 顶点都是 对称轴都是 二次项系数a 0 开口都 顶点都是抛物线的最 点 填 高 或 低 例 2 请在图 4 中画出函数 2 2 1 xy 2 xy 2 2xy 的图象 列表 x 4 3 2 101234 2 2 1 xy x 3 2 1 0123 2 xy x 2 1 5 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 2xy x y 1 2 3 4 5 12345 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O 4 三 合作交流 三 合作交流 归纳 归纳 抛物线 2 axy 的性质 图象 草图 对称 轴 顶点 开口 方向 有最高 或最低 点 最值 a 0 当 x 时 y 有最 值 是 a 0 当 x 时 y 有最 值 是 x 2 1 5 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 2xy 2 当a 0 时 在对称轴的左侧 即x 0 时 y 随x的增大而 在对称轴的右侧 即x 0 0 时 y 随x的增大而 3 在前面图 4 中 关于x轴对称的抛物线有 对 它们分 别是哪些 答 由此可知和抛物线 2 axy 关于x轴对称的抛物线是 4 当 a 0 时 a越大 抛物线的开口越 当a 0 时 a 越大 抛物线的开口越 因此 a 越大 抛物线的开口 越 四 课堂训练 1 函数 2 7 3 xy 的图象顶点是 对称轴是 开口 向 当 x 时 有最 值是 2 函数 2 6xy 的图象顶点是 对称轴是 开 口向 当 x 时 有最 值是 3 二次函数 2 3 xmy 的图象开口向下 则 m 4 二次函数 y mx 2 2 m 有最高点 则 m 5 二次函数 y k 1 x2的图象如图所示 则 k 的取值范围为 6 若二次函数 2 axy 的图象过点 1 2 则a的值是 7 抛物线 2 5xy 2 2xy 2 5xy 2 7xy 开口从小到大排 列是 只填序号 其中关于 x轴对称的两条抛物线是 和 8 点 A 2 1 b 是抛物线 2 xy 上的一点 则 b 过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线另一点 B 的坐标是 9 如图 A B 分别为 2 axy 上两点 且线段 AB y 轴于点 0 6 若 AB 6 则该抛物线的表达式为 10 当 m 时 抛物线 mm xmy 2 1 开口向下 11 二次函数 2 axy 与直线 32 xy 交于点 P 1 b 1 求 a b 的值 2 写出二次函数的关系式 并指出 x 取何值时 该函数的 y 随 x 的增大而减小 22 1 322 1 3 二次函数二次函数 khxay 2 的图象 一 的图象 一 学习目标学习目标 1 知道二次函数 kaxy 2 与 2 axy 的联系 2 掌握二次函数 kaxy 2 的性质 并会应用 学法指导学法指导 类比一次函数的平移和二次函数 2 axy 的性质学习 要构建一个知 识体系 学习过程学习过程 一 知识链接 一 知识链接 直线 12 xy 可以看做是由直线 xy2 得到 的 练 若一个一次函数的图象是由 xy2 平移得到 并且过点 1 3 求这个函数的解析式 解 由此你能推测二次函数 2 xy 与 2 2 xy 的图象之间又有何关系吗 猜想 二 自主学习二 自主学习 一 一 在同一直角坐标系中 画出二次函数 2 xy 1 2 xy 1 2 xy 的图象 列表 2 可以发现 把抛物线 2 xy 向 平移 个单位 就得到 抛物线 1 2 xy 把抛物线 2 xy 向 平移 个单位 就得 到抛物线 1 2 xy 3 抛物线 2 xy 1 2 xy 1 2 xy 的形状 开口 大小相同 三 知识梳理 一 三 知识梳理 一 抛物线 kaxy 2 特点 1 当 0a 时 开口向 当 0a 时 开口 2 顶点坐标是 3 对称轴是 x 3 2 1 0123 1 2 xy 1 2 xy 1 填表 开口 方向 顶点对称轴 有最高 低 点 增减性 2 xy 1 2 xy 1 2 xy x y y x2 1 O 二 二 抛物线 kaxy 2 与 2 yax 形状相同 位置不同 kaxy 2 是 由 2 yax 平移得到的 填上下或左右 二次函数图象的平移规律 上 下 三 三 a的正负决定开口的 a 决定开口的 即 a 不变 则抛物线的形状 因为平移没有改变抛物线的开 口方向和形状 所以平移前后的两条抛物线a值 三 跟踪练习 三 跟踪练习 1 抛物线 2 2xy 向上平移 3 个单位 就得到抛物线 抛物线 2 2xy 向下平移 4 个单位 就得到抛物线 2 抛物线 23 2 xy 向上平移 3 个单位后的解析式为 它们的形状 当x 时 y 有最 值是 3 由抛物线 35 2 xy 平移 且经过 1 7 点的抛物线的解析式是 是把原抛物线向 平移 个单位得到的 4 写出一个顶点坐标为 0 3 开口方向与抛物线 2 xy 的方 向相反 形状相同的抛物线解析式 5 抛物线 14 2 xy 关于 x 轴对称的抛物线解析式为 6 二次函数 kaxy 2 0 a 的经过点 A 1 1 B 2 5 求该函数的表达式 若点 C 2 m D n 7 也在函数的上 求m n的值 26 1 3二次函数 khxay 2 的图象 二 学习目标学习目标 1 会画二次函数 2 hxay 的图象 2 知道二次函数 2 hxay 与 2 axy 的联系 3 掌握二次函数 2 hxay 的性质 并会应用 学习过程学习过程 一 知识链接 一 知识链接 1 将二次函数 2 2xy 的图象向上平移 2 个单位 所得图象的解析式 为 2 将抛物线 14 2 xy 的图象向下平移 3 个单位后的抛物线的解析式 为 二 自主学习二 自主学习 画出二次函数 2 1 xy 2 1 xy 的图象 先列表 x 4 3 2 1 0123 4 2 1 xy 2 1 xy 归纳 归纳 1 1 2 1 xy 的开口向 对称轴是直线 顶点 坐标是 图象有最 点 即x 时 y 有最 值是 在对称轴的左侧 即x 时 y 随x的增大而 在 对称轴的右侧 即x 时 y 随x的增大而 2 1 xy 可以看作由 2 xy 向 平移 个单位形成的 2 2 2 1 xy 的开口向 对称轴是直线 顶点坐 标是 图象有最 点 即x 时 y 有最 值是 在对称轴的左侧 即x 时 y 随x的增大而 在 对称轴的右侧 即x 时 y 随x的增大而 2 1 xy 可以看作由 2 xy 向 平移 个单位形成的 三 知识梳理三 知识梳理 一 一 抛物线 2 hxay 特点 1 当 0a 时 开口向 当 0a 时 开口 2 顶点坐标是 3 对称轴是直线 x y y x2 1 1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7 8 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O 二 二 抛物线 2 hxay 与 2 yax 形状相同 位置不同 2 hxay 是由 2 yax 平移得到的 填上下或左右 结合学案和课本第 8 页可知二次函数图象的平移规律 左 右 上 下 三 三 a的正负决定开口的 a 决定开口的 即 a 不变 则 抛物线的形状 因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状 所以平移前后的两条抛物线a值 四 课堂训练四 课堂训练 1 抛物线 2 23yx 的开口 顶点坐标为 对称 轴是直线 当x 时 y 随x的增大而减小 当x 时 y 随x的增大而增大 2 抛物线 2 2 1 yx 的开口 顶点坐标为 对称 轴是直线 当x 时 y 随x的增大而减小 当x 时 y 随x的增大而增大 3 3 抛物线 2 21yx 的开口 顶点坐标为 对称轴 是 4 抛物线 2 5yx 向右平移 4 个单位后 得到的抛物线的表达式为 5 抛物线 2 4yx 向左平移 3 个单位后 得到的抛物线的表达式为 6 将抛物线 21 2 3 yx 向右平移 1 个单位后 得到的抛物线解析 式为 7 抛物线 2 42yx 与 y 轴的交点坐标是 与 x 轴的交点 坐标为 8 写出一个顶点是 5 0 形状 开口方向与抛物线 2 2yx 都相 同的二次函数解析式 26 1 3 二次函数 khxay 2 的图象 三 学习目标学习目标 1 会画二次函数的顶点式 khxay 2 的图象 2 掌握二次函数 khxay 2 的性质 学习过程学习过程 一 知识链接 一 知识链接 1 将二次函数 2 5yx 的图象向上平移 2 个单位 所得图象的解析式 为 2 将抛物线 2 yx 的图象向左平移 3 个单 位后的抛物线的解析式为 二 自主学习二 自主学习 在右图中做出 2 12yx 的图象 观察 1 抛物线 2 12yx 开口向 顶点坐标是 对称轴是直线 2 抛物线 2 12yx 和 2 yx 的形状 位置 x y y x2 1 2 3 4 12345 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O 填 相同 或 不同 3 抛物线 2 12yx 是由 2 yx 如何平移得到的 答 三 合作交流三 合作交流 平移前后的两条抛物线a值变化吗 为什么 答 四 知识梳理四 知识梳理 结合上图和课本第 9 页例 3 归纳 一 一 抛物线 2 ya xhk 的特点 1 当 0a 时 开口向 当 0a 时 开口 2 顶点坐标是 3 对称轴是直线 二 二 抛物线 2 ya xhk 与 2 yax 形状 位置不同 2 ya xhk 是由 2 yax 平移得到的 二次函数图象的平移规律 左 右 上 下 三 三 平移前后的两条抛物线a值 五 跟踪训练五 跟踪训练 1 二次函数 2 1 2 1 2 xy 的图象可由 2 2 1 xy 的图象 A 向左平移 1 个单位 再向下平移 2 个单位得到 B 向左平移 1 个单位 再向上平移 2 个单位得到 C 向右平移 1 个单位 再向下平移 2 个单位得到 D 向右平移 1 个单位 再向上平移 2 个单位得到 2 抛物线 21 65 3 yx 开口 顶点坐标是 对 称轴是 当x 时 y有最 值为 3 填表 4 函数 2 231yx 的图象可由函数 2 2yx 的图象沿x轴向 平移 个单位 再沿y轴向 平移 个单位得到 5 若把函数 2 523yx 的图象分别向下 向左移动 2 个单位 则 得到的函数解析式为 6 顶点坐标为 2 3 开口方向和大小与抛物线 2 1 2 yx 相同的 解析式为 A 21 23 2 yx B 21 23 2 yx C 21 23 2 yx D 21 23 2 yx 2 3yx 2 3yx 2 2 3 yx 2 4 5 3yx 开口方向 顶点 对称轴 7 一条抛物线的形状 开口方向与抛物线 2 2yx 相同 对称轴和抛 物线 2 2yx 相同 且顶点纵坐标为 0 求此抛物线的解析式 26 1 3 二次函数 khxay 2 的图象 四 学习目标学习目标 会用二次函数 khxay 2 的性质解决问题 学习过程学习过程 一 知识链接 一 知识链接 1 1 抛物线 2 2 1 3yx 开口向 顶点坐标是 对称 轴是 当x 时 y有最 值为 当 x 时 y随x的增大而增大 2 抛物线 2 2 1 3yx 是由 2 2yx 如何平移得到的 答 二 自主学习二 自主学习 1 抛物线的顶点坐标为 2 3 且经过点 3 2 求该函数的解析 式 分析 如何设函数解析式 写出完整的解题过程 2 仔细阅读课本第 10 页例 4 分析 由题意可知 池中心是 水管是 点 是喷头 线段 的长度是 1 米 线段 的长度是 3 米 由已知条件可设抛物线的解析式为 抛物线的解析式中有一个待定系数 所以只需再确定 个点的 坐标即可 这个点是 求水管的长就是通过求点 的 坐标 二 跟踪练习 二 跟踪练习 如图 某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩 形的一部分构成 最大高度为 6 米 底部宽 度为 12 米 AO 3 米 现以O点为原点 OM 所在直线为x轴建立直角坐标系 1 直接写出点A及抛物线顶点P的坐标 2 求出这条抛物线的函数解析式 三 能力拓展三 能力拓展 1 知识准备 如图抛物线 2 14yx 与x轴交于 A B 两点 交 y 轴于点 D 抛物线的顶点为点 C 1 求 ABD 的面积 求 ABC 的面积 2 点 P 是抛物线上一动点 当 ABP 的面积为 4 时 求所有符合 x y 1 123 1 1 2 3 D C B O A x y B P A M O x y D BA O C 条件的点 P 的坐标 3 点 P 是抛物线上一动点 当 ABP 的面积为 8 时 求所有符合 条件的点 P 的坐标 4 点 P 是抛物线上一动点 当 ABP 的面积为 10 时 求所有符 合条件的点 P 的坐标 26 1 4 二次函数 2 yaxbxc 的图象 学习目标学习目标 1 能通过配方把二次函数 cbxaxy 2 化成 2 ya xhk 的形式 从 而确定开口方向 对称轴和顶点坐标 2 熟记二次函数 cbxaxy 2 的顶点坐标公式 3 会画二次函数一般式 cbxaxy 2 的图象 学习过程学习过程 一 知识链接 一 知识链接 1 抛物线 2 231yx 的顶点坐标是 对称轴是直线 当x 时 y 有最 值是 当x 时 y 随x的 增大而增大 当x 时 y 随x的增大而减小 2 二次函数解析式 2 ya xhk 中 很容易确定抛物线的顶点坐标 为 所以这种形式被称作二次函数的顶点式 二 自主学习 二 自主学习 一 问题 1 你能直接说出函数 22 2 xxy 的图像的对称 轴和顶点坐标吗 2 你有办法解决问题 1 吗 解 22 2 xxy 的顶点坐标是 对称轴是 3 像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转 化为 式从而直接得到它的图像性质 4 用配方法把下列二次函数化成顶点式 22 2 xxy 52 2 1 2 xxy cbxaxy 2 5 归纳 二次函数的一般形式 cbxaxy 2 可以用配方法转化成 顶点式 因此抛物线 cbxaxy 2 的顶 点坐标是 对称轴是 6 用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和 对称轴 这种方法叫做公式法公式法 用公式法写出下列抛物线的开口方向 对称轴及顶点坐标 432 2 xxy 22 2 xxy xxy4 2 二 用描点法画出 12 2 1 2 xxy 的图像 1 顶点坐标为 2 列表 顶点坐标填在 列表时一般以对称轴为中 心 对称取值 3 描点 并连线 4 观察 图象 有最 点 即x 时 y 有最 值是 x 时 y 随x的 增大而增大 x 时 y 随x的增大而减 小 该抛物线与 y 轴交于点 该抛物线与x轴有 个交点 三 合作交流三 合作交流 求出 12 2 1 2 xxy 顶点的横坐标 2 x 后 可以用哪些方法计算顶点 的纵坐标 计算并比较 x 12 2 1 2 xxy x y 1 2 3 4 5 6 7 123 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 O 26 1 5 用待定系数法求二次函数的解析式 学习目标学习目标 1 能根据已知条件选择合适的二次函数解析式 2 会用待定系数法求二次函数的解析式 学习过程学习过程 一 知识链接 一 知识链接 已知抛物线的顶点坐标为 1 2 且经过点 0 4 求该函数的解 析式 解 二 自主学习二 自主学习 1 一次函数 bkxy 经过点 A 1 2 和点 B 2 5 求该一次函数的解 析式 分析 要求出函数解析式 需求出 bk 的值 因为有两个待定系数 所以需要知道两个点的坐标 列出关于 bk 的二元一次方程组即可 解 2 已知一个二次函数的图象过 1 5 1 1 2 11 三点 求这个二次函数的解析式 分析 如何设函数解析式 顶点式还是一般式 答 所设解析式中有 个待定系数 它们分别是 所以一 般需要 个点的坐标 请你写出完整的解题过程 解 三 知识梳理三 知识梳理 用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下 2 种方法 设顶点式 khxay 2 和一般式 2 yaxbxc 1 已知抛物线过三点 通常设函数解析式为 2 已知抛物线顶点坐标及其余一点 通常设函数解析式为 四 跟踪练习 四 跟踪练习 1 已知二次函数的图象的顶点坐标为 2 3 且图像过点 3 1 求这个二次函数的解析式 2 已知二次函数 mxxy 2 的图象过点 1 2 则m的值为 3 一个二次函数的图象过 0 1 1 0 2 3 三点 求这个二 次函数的解析式 4 已知双曲线 x k y 与抛物线 2 yaxbxc 交于 A 2 3 B m 2 c 3 n 三点 1 求双曲线与抛物线的解析式 2 在平面直角坐标系中描出点 A 点 B 点 C 并求出 ABC 的面积 5 如图 直线 33 xy 交x轴于点 A 交 y 轴于点 B 过 A B 两点的 抛物线交x轴于另一点 C 3 0 1 求该抛物线的解析式 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q 使 ABQ 是等腰三角形 若存在 求出符合条件的 Q 点坐标 若不存在 请说明理由 x y 1 2 3 4 123 1 2 3 4 1 2 3 4 O x y C B A O 26 226 2 用函数观点看一元二次方程 一 用函数观点看一元二次方程 一 学习目标学习目标 1 体会二次函数与方程之间的联系 2 2 理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的 个数之间的关系 学习过程学习过程 一 知识链接 一 知识链接 1 直线 42 xy 与 y 轴交于点 与x轴交于点 2 一元二次方程 0 2 cbxax 当 时 方程有两个不相等 的实数根 当 时 方程有两个相等的实数根 当 时 方程没有实数根 二 自主学习二 自主学习 1 解下列方程 1 032 2 xx 2 096 2 xx 3 032 2 xx x y O 2 观察二次函数的图象 写出它们与x轴的交点坐标 函 数 32 2 xxy96 2 xxy32 2 xxy 图 象 交 点 与x轴交点坐标是 与x轴交点坐标是 与x轴交点坐标是 3 对比第 1 题各方程的解 你发现什么 三 知识梳理 三 知识梳理 一元二次方程 0 2 cbxax 的实数根就是对应的二次函数 cbxaxy 2 与x轴交点的 即把 0 y 代入 cbxaxy 2 二次函数与一元二次方程的关系如下 一元二次方程的实数根 记为 21 xx 二次函数二次函数 cbxaxy 2 与一元二次方程一元二次方程 0 2 cbxax 与x轴有 个交点 acb4 2 0 方程有 的实数根 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8 6 4 224681012 x y y x2 6x 9 xO xO 6 xO 9 2 02 xO 1 58 O 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 8 6 4 224681012 x y y x2 2x 3 xO xO 2 xO 3 2 10 xO 0 38 O 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 8 6 4 224681012 x y y x2 2x 3 xO xO 2 xO 3 3 48 xO 0 22 O x y O x y O 与x轴有 个交点 这个交点是 点 acb4 2 0 方程有 实数根 与x轴有 个交点 acb4 2 0 方程 实数根 二次函数 cbxaxy 2 与 y 轴交点坐标是 四 跟踪练习四 跟踪练习 1 二次函数 23 2 xxy 当x 1 时 y 当 y 0 时 x 2 抛物线 34 2 xxy 与x轴的交点坐标是 与 y 轴的交点坐 标是 3 二次函数 64 2 xxy 当x 时 y 3 4 如图 一元二次方程 0 2 cbxax 的解为 5 如图 一元二次方程 3 2 cbxax 的解为 6 已知抛物线 92 2 kxx