“双勾函数”的性质及应用

双勾函数双勾函数 的性质及应用的性质及应用 问题引入 求函数的最小值 2 2 5 4 x y x 问题分析 将问题采用分离常数法处理得 此 2 2 22 4 11 4 44 x yx xx 时如果利用均值不等式 即 等式成立的条件为 2 2 1 42 4 yx x 而显然无实数解 所以 不成立 因而最小值 2 2 1 4 4 x x 2 2 1 4 4 x x 不是 遇到这种问题应如何处理呢 这种形式的函数又具有何特征呢 是否与我们所熟2 知的函数具有相似的性质呢 带着种种疑问 我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性 质 一 利用 二次函数 的性质研究 双勾函数 的性质 1 双勾函数 的定义 我们把形如 为常数 的函数称为 双勾函数 因为函数 k f xx x k0k 为常数 在第一象限的图像如 而该函数为奇函数 其图 k f xx x k0k 像关于原点成中心对称 故此而得名 2 类比 二次函数 与 双勾函数 的图像 3 类比 二次函数 的性质探究 双勾函数 的性质 1 二次函数 的性质 当时 在对称轴的左侧 随着的增大而减小 在对称轴的右侧 随着0a yxy xO y 2 b x a 2 b x a 0a 0a 二次函数图像 x y k k O yx 0 k yxk x 双勾函数 图像 的增大而增大 当时 函数有最小值 x 2 b x a y 2 4 4 acb a 当时 在对称轴的左侧 随着的增大而增大 在对称轴的右侧 随着0a yxy 的增大而减小 当时 函数有最大值 x 2 b x a y 2 4 4 acb a 2 双勾函数 性质的探究 当时 在左侧 随着的增大而减小 在的右侧 随着0 x xk yxxk y 的增大而增大 当时 函数有最小值 xxk y2 k 当时 在的左侧 随着的增大而增大 在的右侧 0 x xk yxxk 随着的增大而减小 当时 函数有最大值 yxxk y2 k 综上知 函数在和上单调递增 在和上 f x k k 0 k 0 k 单调递减 下面对 双勾函数 的性质作一证明 证明 定义法 设R 且 则 12 x x 12 xx 1212 121212 121212 1 xxx xkakk f xf xxxxx xxx xx x A 以下我们怎样找到增减区间的分界点呢 首先 就是一个分界点 另外我们用 相等分界法 令 0 x 0 x 120 xxx 可得到 因此又找到两个分界点 这样就把的定义 2 0 10 k x xk k k f x 域分为 四个区间 再讨论它的单调性 k 0 k 0 k k 设 则 12 0 xxk 12 0 xx 12 0 x x 12 0 x xk 12 0 x xk 即 1212 1212 1212 0 xxx xkkk f xf xxx xxx x A 12 f xf x 在上单调递减 f x 0 k 同理可得 在上单调递增 在上单调递增 在上 f x k k 0 k 单调递减 故函数在和上单调递增 在和上单调递 f x k k 0 k 0 k 减 性质启发 由函数的单调性及在其单调区间的端点处取值 0 k f xxk x f x 的趋势 可作出函数的图像 反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有 yf x 关性质 此性质是求解函数最值的强有力工具 特别是利用均值不等式而等号不成立时 更彰显其单调性的强大功能 4 二次函数 与 双勾函数 在处理区间最值问题上的类比 1 二次函数 的区间最值 设 求在上的最大值与最小值 f xaxbxc a 2 0f x xmn 分析 将配方 得对称轴方程 f x x b a 2 当时 抛物线开口向上 a 0 若必在顶点取得最小值 离对称轴较远端点处取得最大值 b a mn 2 若 此时函数在上具有单调性 故在离对称轴较远 b a mn 2 mn x b a 2 端点处取得最大值 较近端点处取得最小值 当时 抛物线开口向下 0a 若必在顶点取得最大值 离对称轴较远端点处取得最小值 b a mn 2 若 此时函数在上具有单调性 故在离对称轴较远 b a mn 2 mn x b a 2 端点处取得最小值 较近端点处取得最大值 以上 作图可得结论 当时 a 0 max 1 2 1 22 1 22 b f mmn a f x b f nmn a 如图 如图 min 3 4 5 2 22 2 b f nn a bb f xfmn aa b f mm a 如图 如图 如图 mnx 图 1 m nx 图 2 m n x 图 3 m n x 图 4 m n x 图 5 当时 a 0 max 6 7 8 2 22 2 b f nn a bb f xfmn aa b f mm a 如图 如图 如图 min 9 10 1 22 1 22 b f mmn a f x b f nmn a 如图 如图 2 双勾函数 的区间最值 设 求在上的最大值与最小值 0 k f xxk x f x xmn 分析 当时 其图像为第一象限部分 0 x 若 则函数必在界点处取得最小值 最大值需比较两个端点处的 kmn xk 函数值 若 此时函数在上具有单调性 故在离直线较远端点处 kmn mn xk 取得最大值 较近端点处取得最小值 当时 其图像为第三象限部分 0 x 若 则函数必在界点处取得最大值 最小值需比较两个端点 kmn xk 处的函数值 若 此时函数在上具有单调性 故在离直线较远端点 kmn mn xk 处取得最小值 较近端点处取得最大值 以上 作图可得结论 当时 0 x mnx 图 6 m n x 图 7 m n x 图 8 m nx 图 9 m n x 图 10 max max f mkn f xf mf nkm n f nkm 如图11 如图12 如图13 min f nkn f xfkkm n f mkm 如图11 如图12 如图13 当时 0 x max f nkn f xfkkm n f mkm 如图14 如图15 如图16 min min f mkn f xf mf nkm n f nkm 如图14 如图15 如图16 二 实践平台 例 1 某化工厂生产的某种化工产品 当年产量在吨至吨之间时 其生产的总150250 成本 万元 与年产量 吨 之间的函数关系式近似地表示为yx 问 2 304000 10 x yx 1 年产量为多少吨时 每吨的平均成本最低 并求出最低成本 mn k x m n k xmn k x 图 11图 12图 13 mn x 图 14 k mn x 图 15 k mn x 图 16 k 2 每吨平均出厂价为万元 年产量为多少吨时 可获得最大利润 并求出最大16 利润 分析 将问题归结为 双勾函数 问题 利用 双勾函数 的性质 可使问题轻松获 解 解 1 由题意可知 每吨平均成本为万元 y S x 即 因为函数在区间上为减 4000140000 30 30 1010 yx Sx xxx 0 200 函数 在区间上为增函数 200 所以当时 函数有最小值为200 x 4000140000 30 30 1010 yx Sx xxx 万元 140000 200 3010 10200 S 最小 所以当年产量为吨时 每吨的平均成本最低 最低成本为万元 20010 2 设年获得总利润为万元 Q 则 2 2 1 1616304000 230 1290 1010 x Qxyxxx 当 230 150 250 x 1290Q 最大 故当年产量为吨时 可获得最大利润万元 2301290 评注 本题的关键是用年产量吨把每吨平均成本及利润表示出来 然后再求其最值 x 在求解最值时我们要用到 双勾函数 的单调性 记住这个结论可以简化计算过程 函数 的单调性除一些理论上的应用外 它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问 题 例 2 甲 乙两地相距km 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过km h 已知sc 汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部分与速度 km h 的平方成正比 比例系数为 固定部分为元 vba 1 把全程运输成本 元 表示为 km h 的函数 并指出这个函数的定义域 yv 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大的速度行驶 分析 要计算全程的运输成本 而已知每小sbv v a bva v s y 2 v 0 c 时的运输成本 只需计算全程的时间 由题意不难得到全程运输成本 所要解决的问题是求何时取最小值 显sbv v a bva v s y 2 v 0 cbv v a 然要对的大小进行讨论 讨论的标准也就是与的大小 cc b a 解 1 依题意知 汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 因此全程运输成本为 s v 又据题意 故所求函数及其定义域分别为 sbv v a bva v s y 2 v 0 c bv v a sy 0 cv 2 设 a a b uf vbvb v vv 在上是减函数 在上是增函数 u 0 b a b a 若 结合 双勾函数 的性质知 b a c 当时运输成本最小 b a v y 若 函数在上单调递减 所以当时 全程运输成本最小 c b a 0 ccv 评注 解应用题时 首先要训练读题能力 成功地完成对数学文字语言 符号语言 图形语言的理解 接受和转换 继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼 分清主次 并建立数学模型解决实际问题 例 3 2006 安徽高考 已知函数在 R 上有定义 对任意实数和任意实数 f x0a x 都有 f axaf x 证明 0 0f 证明其中和均为常数 0 0 kxx f x hxx kh 当 中的 设 讨论在内0k 1 0 g xf x x f x g x 0 的单调性并求最值 分析 承接第 问的结论 将问题归结为 双勾函数 的单调性与函数最值的求 解问题 证明 令 则 0 x 00faf 0a 00f 令 则 xa 0a 0 x 2 f xxf x 假设时 R 则 而 0 x f xkx k 22 f xkx 2 xf xx kxkx 即成立 2 f xxf x f xkx 令 xa 0a 0 x 2 fxxf x 假设时 则 而 0 x f xhx hR 22 fxhx 2 xf xx hxhx 即成立 成立 2 fxxf x f xhx 0 0 kx x f x hx x 当时 0 x 2 1 11 k g xf xkxk x f xkxx 由 双勾函数 性质知在上为减函数 在上为增函数 1 0 k 1 k 所以当时 1 x k min 2g x 评注 数学高考试题注重 考基础 考能力 考思想 所以熟悉数学化归的思想 有 意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题 将有利于强化在解决数学问题中 的应变能力 有利于提高解决数学问题的思维能力和技能 技巧 适当进行化归 转化能 给人带来思维的闪光点 找到解决问题的突破口 是分析问题中思维过程的主要组成部 分 本题就是转化思想应用的一个典型 通过转化将本来抽象的问题归结到 双勾函数 区间最值的求解 让我们有一种豁然开朗的感觉 例 4 2001 广东高考 设计一幅宣传画 要求画面面积为cm 画面的宽与高的4840 2 比为 画面的上 下各留cm 空白 左 右各留cm 空白 怎样确定画面的高与 1 85 宽尺寸 能使宣传画所用纸张面积最小 如果要求 那么为何值时 能使宣传 2 3 3 4 画所用纸张面积最小 分析 设定变元 寻找它们之间的内在联系 等量关系 选用恰当的代数式表示问x 题中的这种联系 建立函数模型 将问题归结为 双勾函数 区间最值问题 并运用 双 勾函数 性质进行求解 解 设画面高为cm 宽为cm 则xx 2 4840 x 设纸张面积为cm 则有 S 2 2 16 10 1610 160Sxxxx 将代入上式得 22 10 x 5 8 5000352 10 S 令 则 0 t t 5 8 5000352 10 0 S ttt t 函数在上为减函数 在上为增函数 S 5 0 8 5 8 所以当时 取最小值 5 8 t S 此时 高 cm 宽 cm 5 5 1 8 8 4840 88x 5 8855 8 x 如果 则 2 3 3 4 235 348 t 所以函数在上为增函数 故当时 取最小值 此时 S 23 34 2 3 t S 2 3 评注 函数描述了自然