高中数学集合、逻辑、函数、向量、数列、不等式、立体几何

高中数学集合 逻辑 函数 向量 数列 不等式 立高中数学集合 逻辑 函数 向量 数列 不等式 立 体几何体几何 综合测试题综合测试题 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求 的 每小题选出答案后 请填涂在答题卡上 的 每小题选出答案后 请填涂在答题卡上 1 若非空集合 且若 则必有 则所有满足上述条件的集合共有 5 4 3 2 1 SSa Sa 6S A 个 B 个 C 个 D 个6789 2 命题 若函数有反函数 则为单调函数 命题 P f x f xQ 111 222 abc abc 是不等式与 均不为零 同解的充要条件 则以下是 2 111 0a xb xc 2 222 0a xb xc 121212 aabbcc 真命题的为 A 且 B 且 C 或 D 或P QPQP QPQ 3 若函数在区间上的最大值是最小值的3倍 则 10 log axxf a 2 aaa A B C D 4 2 2 2 4 1 2 1 4 如图 一个空间几何体的三视图如图所示 其中 主视图中ABC 是边长为的正三角形 俯视图为正六边形 2 那么该几何体的体积为 A 3 B 3 2 C 3 2 D 3 主 主 主主 主 主主 主 主 5 已知函数的图象在点处的切线 与直线平行 若数列的前bxxxf 2 1 1 fAl0223 yx 1 nf 项和为 则的值为n n S 2012 S A B C D 2010 2009 2011 2010 2012 2011 2013 2012 6 若 当时 恒成立 则的最大值为mbamaf2 13 1 0 m1 afba A B C D 3 1 3 2 3 5 3 7 7 已知 是不共线的向量 那么三点共线的充要条件为ab ABACR ababAB C A B C D 1 1 1 2 8 设平面上有四个互异的点 A B C D 已知 则的形状是 0 2 ACABDADCDBABC A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形 9 设函数则函数的各极大值之和为 sincos 02011 x f xexxx f x A B 2012 2 1 1 ee e 1006 1 1 ee e C D 1006 2 1 1 ee e 2010 2 1 1 ee e 10 xfy 的定义域为 R 且 22xfxf xfxf 77在 7 0上只有 031 ff 则 xf在上的零点个数为 2012 2012 A B C D 403402806805 11 函数的反函数为 则使不等式成立的的取值范围为 22 xx f x 1 xf 1 2fx x A B C D 15 4 15 0 4 15 0 4 15 4 12 已知函数 关于方程 为正实数 的根 32 31f xxx 2 1 0 4 68 0 xx g xx xxx 0gf xa a 的叙述有下列四个命题 存在实数 使得方程恰有个不同的实根 a 3 存在实数 使得方程恰有个不同的实根 a 4 存在实数 使得方程恰有个不同的实根 a 5 存在实数 使得方程恰有个不同的实根 a 6 其中真命题的个数是 A B C D 3210 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 答案填在答题纸相应的空内 分 答案填在答题纸相应的空内 13 定义在上的函数 yf x 是减函数 且函数 1 yf x 的图象关于成中心对称 若 s t满足不等式R 0 1 22 2 2 f ssftt 则当14s 时 t s 的取值范围 14 已知等差数列的首项及公差都是整数 前项和为 若 设 n a 1 adn n S9 3 1 341 Saa 的结果为 12 2 n nnn babbb 则 15 已知正项数列的前项和满足 设 则数列的前 n a 0 n aNnn n S12 nn aS392 nn ab n b 项和的最大值为 n P A B C C B 第 20 题图 16 如图 直线l 平面 垂足为 已知长方体O 中 1111 ABCDABC D 该长方体做符合以下条件 1 5 6 8AAABAD 的自由运动 1 Al 2 C 则两点间的最大距离为 1 C O 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分 请将解答过程分 请将解答过程书写在答题纸上 并写书写在答题纸上 并写 出文字说明 证明过程或演算步骤 出文字说明 证明过程或演算步骤 17 17 本题满分 本题满分 1010 分 分 已知集合 2 150Ax xpx 求集合和 2 50Bx xxq 2 3 5AB 3AB AB 18 18 本题满分 本题满分 1212 分 分 设数列的前项和为 点 在直线 n an n S2 1 a 1 n S n Snnynnx 2 1 上 a1 2 Nn 求数列的通项公式 n a 设证明 2 1 1 n n n n n S S S S T 3 3 4 321 n TTTT 19 19 本题满分 本题满分 1212 分 分 阅读下面材料 根据两角和与差的正弦公式 有 sin sincoscossin sin sincoscossin 由 得 sinsin2sincos 令 AB 有 22 ABAB 代入 得 sinsin2sincos 22 ABAB AB 类比上述推理方法 根据两角和与差的余弦公式 证明 coscos2sinsin 22 ABAB AB 若ABC 的三个内角 A B C满足cos2cos21 cos2ABC 试判断ABC 的形状 提示 如果需要 也可以直接利用阅读材料及 中的结论 20 20 本题满分 本题满分 1212 分 分 如图 在三棱锥ABCP 中 22 4 BCABACPCPBPA 1 求证 平面 平面 ABCAPC 2 求直线与平面所成角的正弦值 PAPBC 3 若动点在底面三角形上 二面角MABC 的CPAM 余弦值为 3 22 求的最小值 BM 21 21 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知正数数列和满足 对任意 成等差数列 且总有 n a n bn 1 nnn a b a 成立 11nnn abb 1 判断数列是否为等差数列 n b 2 若求数列和的通项公式 112 1 2 3 aba n a n b 22 22 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知函数 xg是上的奇函数 且当时 xxxf2 2 R 0 x 2 xxfxg 求函数 xg在上的解析式 R 若函数在上是增函数 且 求的取值范围 xfxgxxh 2 3 0 0 试题答案试题答案 1 5BCBCD 6 10DABDD 11 12DA 13 1 1 2 14 15 16 1 2nn 190255 17 由 得 3 分3A 2 150Ax xpx 8 p 由 得 6 分3B 2 50Bx xxq 6 q 8 分 2 2 2 2 3ABABB 10 分 3 3 3 5 3ABBAA 18 解 解 I 上 nnynnxSS nn 2 1 1 在直线 1 分 1 1 1 n S n S nn 构成以 S1 a1 2 为首项 公差为 1 的等差数列 n Sn 分 而时当 分 6 2 2 2 1 1 2 4 1 1 2 1 22 1 2 Nnna annnnnSSan nnSnn n S n nnn n n 证明 II nnSn 2 3 2 2 1 2 3 2 11 4 1 2 1 3 1 1 2 10 1 3 4 0 2 4 8 2 22 2 2 1 2 2 12 2 2 21 121 nn nn TTT nTTTT nn TNn nnnnn n n n T n n n n 又 分时取等号 时 分 原不等式成立 12 分 19 解法一 证明 因为cos coscossinsin cos coscossinsin 1 分 得cos cos 2sinsin 2 分 令 AB 有 22 ABAB 代入 得coscos2sinsin 22 ABAB AB 5 分 由二倍角公式 cos2cos21 cos2ABC 可化为 222 1 2sin12sin1 12sinABC 7 分 所以 222 sinsinsinACB 10 分 设ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c 由正弦定理可得 222 acb 11 分 根据勾股定理的逆定理知ABC 为直角三角形 12 分 解法二 同解法一 利用 中的结论和二倍角公式 cos2cos21 cos2ABC 可化为 2 2sinsin1 12sinABABC 7 分 因为 A B C 为ABC 的内角 所以ABC 所以 2 sinsinsinABABAB 又因为0AB 所以 sin0AB 所以 sinsin0ABAB 从而2sincos0AB 10 分 又sin0A 所以cos0B 故 2 B 11 分 所以ABC 为直角三角形 12 分 20 满分 12 分 解 1 取 AC 中点 O 因为 AP BP 所以 OP OC 由已知易得三角形 ABC 为直角三角形 OA OB OC POA POB POC OP OB OP 平面 ABC OP 在平面 PAC 中 平面ABC 平面APC 4 分 2 以 O 为坐标原点 OB OC OP 分别为 x y z轴建立如图所示空间直角坐标系 由已知得 O 0 0 0 B 2 0 0 A 0 2 0 C 0 2 0 P 0 0 32 5 分 32 2 0 32 0 2 0 2 2 APPBBC 设平面 PBC 的法向量 1 zyxn 由0 0 11 nPBnBC得方程组 0322 022 zx yx 取 1 3 3 1 n 6 分 AC O B y x 7 21 cos 1 nAP 直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为 7 21 8 分 2 由题意平面 PAC 的法向量 0 0 2 2 OBn 设平面 PAM 的法向量为 0 3 n