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5 45 4 广义积分的概念广义积分的概念 5 4 15 4 1 无穷限的广义积分无穷限的广义积分 定义定义 1 1 设函数设函数 f x f x 在区间在区间 a a 上连续 取上连续 取 b ab a 若极限 若极限 存在 则称此极限为函数存在 则称此极限为函数 f x f x 在无穷区间在无穷区间 a a 上的广义积分 记作上的广义积分 记作 即 即 1 1 这时也称广义积分这时也称广义积分收敛 若上述极限不存在 称为广义积分收敛 若上述极限不存在 称为广义积分 发散 发散 类似地 若极限类似地 若极限存在 则称广义积分存在 则称广义积分收敛 收敛 设函数设函数 f x f x 在区间在区间 上连续 如果广义积分上连续 如果广义积分和和都都 收敛 则称上述两广义积分之和为函数收敛 则称上述两广义积分之和为函数 f x f x 在无穷区间在无穷区间 上的广义上的广义 积分 记作积分 记作 也称广义积分 也称广义积分收敛 否则就称广义积分收敛 否则就称广义积分 发散 发散 上述广义积分统称为无穷限的广义积分 例例 1 1 证明广义积分 a 0 当 p 1 时收敛 当 p 1 时发散 证证 当 p 1 时 当 p 1 时 因此 当 p 1 时 这广义积分收敛 其值为 当 p 1 时 这广义积分 发散 5 4 25 4 2 无界函数的广义积分无界函数的广义积分 现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形 定义定义 2 2 设函数设函数 f x f x 在在 a b a b 上连续 而在点上连续 而在点 a a 的右领域内无界 取的右领域内无界 取 如 如 果极限果极限 存在 则称此极限为函数存在 则称此极限为函数 f x f x 在在 a b a b 上的广义积分 仍上的广义积分 仍 然记作然记作 这时也称广义积分 这时也称广义积分收敛 收敛 类似地 设函数类似地 设函数 f x f x 在在 a b a b 上除点上除点 c a c b c a c b 外连续 而在点外连续 而在点 c c 的领域内无界 的领域内无界 如果两个广义积分如果两个广义积分与与都收敛 则定义都收敛 则定义 2 2 否则 就称广义积分否则 就称广义积分发散 发散 例例 2 2 证明广义积分当 q 1 时收敛 当 q 1 时发散 证证 当 q
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