数学建模结课论文

数学建模结课论文数学建模结课论文 题目 A 进货策略进货策略 参赛队员信息 队员 1队员 2队员 3 姓名 张鹏飞马 锋夏婉彬 学号 201110102422011101032020111010631 专业 数学与应用数 学 数学与应用数 学 数学与应用数 学 电话 1899386941618093827137 邮箱 2213753451 qq com 2235727463 qq com 1 论文题目 进货策略论文题目 进货策略 摘要 我们通过对附表 1 中数据的分析 发现商品的出售具有一定的周期性质 首先 我们利用泊松分布 A 商品 和正态分布 B C 商品 找出商店缺货零 出的点及其频率 进而得出商店进货的周期 然后因为题中已知数据记录偏多 故而我们以月为单位 将各类商品的出售数量进行统计和作图 可简化题目 接下来 我们再通过傅里叶变化得出该数据中的幅频最高的点 找出其幅频最 高的点对应的周期 验证正态分布中的周期 再接下来 运用最直接的极大值 和极小值的方法 得出周期 再去验证之前得到的周期的正确性 在问题一中 通过一些图形模拟和计算 得出 A B C 商品的进货 缺货 的周期大约是 12 天 所以就可以很容易的得出 该商店的进货策略和在 825 天 内进了多少次货 在问题二中 我们通过泊松分布的得出 A 的日需求量为 3 07 件 由正态分 布很容易得出 B 的平均值为 4 5 左右 C 的平均值为 7 左右 即 B C 的日需求量 约为 4 5 和 7 在问题三中 通过程序 找出 A B C 中连续点或者是相邻差值非常大的点 再从中挑选出符合缺货条件的点 从而算出 A 的缺货时间为 93 天 缺货量为 301 件 B 缺货时间大约为 62 天 缺货量大约 286 件 C 缺货时间大约为 48 天 缺货量大约为 339 天 在问题四中 通过计算 A 在每个周期内缺货大约为 4 36 件 确定 B 在每 个周期内缺货大约 4 14 件 C 在每个周期内大约缺货 4 91 件 由此 我们可以 很容易得出当周期为 11 天时 A B C 三种商品的缺货损失减半 关键词 泊松分布 正态分布 傅里叶变换 假设检验 2 一 问题重述 1 1 背景 背景 已知某商店取得了某物在该区域的市场经销权 销售该物的三类产品 附 表 1 给出了该店过去连续 825 天的三类产品销售记录 通过分析附表 1 解决下 述四个问题 1 2 问题描述 问题描述 1 该店三类产品的进货策略是什么 800 多天内共进了多少次货 2 该三类产品在该区域的市场需求如何 3 分析现有进货策略下 该店的缺货情况 包括缺货时间及缺货量 4 如果现有进货策略已经充分考虑了该店的产品存贮能力 如何改进进货 策略 将缺货损失减半 且进货次数尽可能少 二 问题分析 我们第一眼看到题目时 发现题目中附表的数据颇多 而且绘成图之后没 有明显的图象趋势 没有明显的特点 所以我们决定对原始数据进行一系列的 处理 包括傅里叶变换 频率分布等处理 希望取得图象深程度的理解 以便 简化题目中的大量数据 在问题 一 中 我们认为这是一个固定周期的模型 只要通过对数据的 分析 找出商家去购买商品的大概周期 然后我们再结合数据中的一些特殊情 况 就可以找出商家的进货方式了 然后我们用 825 除以周期 就可以得到商 家在 825 天内大概进了多少次货 在问题 二 中 我们认为如果找到了 A B C 的本质分布曲线 就可以通 过求平均值或者正态分布平均值的方法 得到居民对于 A B C 的日需求量 在问题 三 中 我们认为要分析缺货情况 必须要在数据中找到哪些数 据是断货或是缺货的 然后我们在找出缺货时间的基础上 去得到缺货量 在问题 四 中 我们认为只要找到在 825 天的缺货量 再除以售卖周期 就可以得到在每个周期内的缺货数量 这样就可以通过调整周期得到让让缺货 损失减半的方法 三 模型假设 一 商家是定期去采购商品 二 A B C 商品储存方式不能替代 三 在商品无限充足的自然情况下 商品售出的数量大约呈正态分布 四 符号说明 P 概率分布 泊松分布和正态分布 泊松分布中为平均值 方差 正态分布中的平均值 2 正态分布中的方差 3 W 傅里叶变换中的频率 P0 标准曲线与实际曲线在零点处的频率差值 PI N I 标准曲线与实际曲线在大于平均值 方差 处的频率差值和对应的频 数 Pi N i 实际曲线与标准曲线在小于平均值 方差 处的频率差值和对应的频 数 T 总的出售时间 即 825 天 t 总的缺货时间 t1 缺货 不断货 的时间 标准图形中的平均值 方差 五 模型的建立与求解 对于对于 A A 商品 商品 我们首先用 matlab 将 B C 数据进行正态分布处理数据 并作出图象 见下图 其中横坐标为出售数量 纵坐标为频率其中横坐标为出售数量 纵坐标为频率 一 泊松分布泊松分布 泊松分布的概率分布函数为 其中 0是常数 则称X服从参数为 的泊松分布 记作X P 泊松分布的参数 是单位时间 或单位面积 内随机事件的平均发生率 泊 松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数 且在泊松分布中 平均值 和方差均为 二 二 具体问题分析具体问题分析 在 A 商品的出售量的数据中 我们可以得到 A 商品的出售数量平均值为 2 76 图中显示为 3 76 方差为 3 07 图中显示为 4 07 我们取泊松分布 中 3 07 得到标准的泊松分布函数 商品 A 的图象与标准泊松分布图象 为便于观察 图象向右平移一个单位 4 结合图形和理论数据 我们可以很容易的看出 A 的出售数量与频率的分布 图象和泊松分布的图象十分相近 在图象中我们可以看出 A 的出售数量在零附 近的概率非常高 我们认为这是因为 A 的缺货时间非常长 缺货量非常大而产 生的 对于对于 B CB C 商品 商品 一 正态分布 一 正态分布 正态分布 是一种概率分布 公式为 第一参数 是服从正态分布的随机变量的均值 第二个参数 2 是此随 机变量的方差 所以正态分布记作 N 2 服从正态分布的随机变量的 概率规律为取与 邻近的值的概率大 而取离 越远的值的概率越小 越 小 分布越集中在 附近 越大 分布越分散 二 具体问题分析 二 具体问题分析 我们首先用 matlab 将 B C 数据进行处理 并作出图象 用 matlab 中的 ttest 函数 进行拟合分析 得出图象和正态分布的拟合度达到 95 以上 几乎 可以认为是正态分布 根据数据 我们得到 B 的出售数量平均值为 4 62 图中 显示 5 62 以下数据相同 C 的出售数量平均值为 7 49 根据 B 商品的出售数据中 我们可以得到它的平均数和每个频数对应的频 率 当我们取正态分布中的的参数 4 5 并且 2 4018 时 就可以得到与 B 商品出售数量相对应的正态分布曲线 商品 B 的图象与标准正态分布图象 其中图象横坐标为出售数量 纵坐标其中图象横坐标为出售数量 纵坐标 为频率 为频率 为便于观察 图象向右平移一个单位 5 根据 C 商品的出售数据中 我们可以得到它的平均数和每个频数对应的频 率 当我们取正态分布中的的参数 7 并且 2 9120 时 就可以得到与 C 商品出售数量相对应的正态分布曲线 商品 C 的图象与标准正态分布图象 其中图象横坐标为出售数量 纵坐标其中图象横坐标为出售数量 纵坐标 为频率 为频率 为便于观察 图象向右平移一个单位 从图象中可以明显看出 B C 图象很符合正态分布的关系 所以我们可以确信 B C 数据是一种正态分布模型 但是我们可以在模型中 明显的看见 在零附近出的概率值明显偏大 经过我们的研究 探讨可以确定 这是由于 B C 的缺货 导致了零处的概率偏大 在 A B C 模型确立之后 我们分析认为 当数据中出现连续的零或者是二 天出售量差值非常大时 极有可能是缺货 进货 的时间点 我们通过分析和 计算机的筛选 找到了最符合缺货 进货 的点 再通过对筛选出来的点的分 析 见附录 初步找出了缺货 进货 的周期在 12 天左右 再接下来 我们通过假设检验的方法 对周期进行进一步的确认 一 一 傅里叶变换傅里叶变换 傅里叶表换公式 6 任何连续测量的时序或信号 都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限 叠加 而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号 以累 加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率 振幅和相位 二 二 具体问题分析具体问题分析 下面是以月为单位 对每月的总的出售数据进行傅里叶变换 得出的一系 列图形 其中横坐标为频率 纵坐标为傅里叶变换后的值 周期单位为月其中横坐标为频率 纵坐标为傅里叶变换后的值 周期单位为月 右边是 A 的傅里叶变换图形 下面是 B 的傅里叶变换图形 下面是 C 的傅里叶变化图形 从傅里叶变换的图形中 我们可以明显的发现 在频率为 15 的点附近 傅 里叶变换的值最高 转化为该题中的具体数据即为 在周期为 7 2 pi 15 28 11 7 天 为周期的数据最具有周期性 通过傅里叶变换我们可以 在另一方面验证出 A B C 数据的缺货 进货 周期为 12 天是正确的 在接下来 我们再次通过以周为单位 源程序见附录 做出 A B C 数据 的图形 其中横坐标为周 纵坐标为以周为单位的出售数量其中横坐标为周 纵坐标为以周为单位的出售数量 A B C 以周为单位的数据图形 我们再次运用假设检验的方式 通过观察相邻极大值和极小值的时间差值 再次找出 B C 数据的大致周期 通过我们对这些数据的处理 再次找到 B C 数 据的周期 周期约为 12 天 而且对图形的观察 我们也可以得出 A B C 的在 一段时间内 上升和下降趋势十分接近 在 A B C 缺货 进货 周期为 12 天的基础上 我们进一步做出以 12 天为 周期 源程序见附录 A B C 数据的分布图象 横坐标为出售的数量 纵坐标横坐标为出售的数量 纵坐标 是对应的频数是对应的频数 A 以 12 天为单位的数据图形 B 以 12 天为单位的数据图形 8 C 以 12 天为单位的数据图形 在图形上我们可以明显的观察到 B C 商品若以 12 天为周期 它们的出售 数量都集中在一起 而且集中的非常明显 图形很明显的阐述了 当 B C 以 12 天为周期缺货 进货 出售数量是高度集中的 即 12 天是它的主要周期 通过以上方法 我们再经过几次验证 得出 B C 的缺货 进货 周期就是 12 天 在问题 一 中 在问题 一 中 对于 A B C 商品 我们通过上述的模型的建立与周期的确立 再结合实际 数据 我们可以得出 A B C 商品的进货周期为 12 天 在某些时刻 畅销的时 候 还会缩短进货周期 并且允许缺货 在 825 天内 进货次数为 825 12 68 75 次 取整后 即大约进货 69 次左右 在问题 二 中 在问题 二 中 对于 A 商品 我们认为它的出售曲线是一个泊松分布曲线 所以我们通过 方差分析 得出方差为 3 07 即 A 的日需求量大约是 3 07 对于 B C 商品 我们通过对正态分布模型的建立 得出 B 商品的出售数量 平均值为 4 5 C 商品的出售数量平均值为 7 那么我们就可以得出 B 商品的日 需求量为 4 5 C 商品的日需求量为 7 在问题 三 中 在问题 三 中 对于 A B C 商品 我们通过对图形的拟合对比 找出缺货的的时间和总的 缺货量 计算方法为 9 总的时间 t P0 T t1 总的缺货量 Q NI PI Ni Pi P0 T 对于 A 商品我们计算出断货时间为 31 天 缺货时间 不断货 62 天 缺货 总时间为 93 天 故 A 商品的缺货量 31 3 07 时间 方差 206 缺货 不 断货 时的缺货量 301 对于 B 商品 我们计算出断货时间为 29 天 缺货时间 不断货 33 天 缺 货总时间为 62 天 故 B 商品的缺货量为 29 4 5 断货量 时间 平均值 156 缺货 不断货 时的缺货量 286 总的缺货量 对于 C 商品 我们计算出出断货时间为 17 天 缺货 不断货 31 天 总的 缺货时间为 48 天 故 C 商品的缺货量为 17 7 断货量 时间 平均值 220 缺货 不断货 时的的缺货量 339 总的缺货量 在问题 四 中 在问题 四 中 对于 A 商品 周期为 12 共进货 69 次 总的缺货量为 301 件 所以在每个 周期内缺货 4 36 件 结合方差为 3 07 我们可以得出当进货周期为 11 天的 时候 A 的商品损失率就已经减半了 对于 B 商品 周期为 12 共进货 69 次 总的缺货量为 286 件 所以在每 个周期内缺货量为 286 69 4 14 件 结合平均值为 4 5 我们可以得出当进 货周期为 11 天的时候 B 商品的损失率就接近零了 符合题意 对于 C 商品 周期为 12 天 共进货 69 次 总的缺货量为 339 件 所以在 每个周期内缺货量为 339 69 4 91 件 结合平均值为 7 我们可以得出当进 货周期为 11 天的时候 C 商品的损失率就接近零了 符合题意 总结以上 我们可以得出 当进货周期改为 11 天的时候 能够将 A B C 的 商品损失率减半 六 模型的检验 七 模型的优缺点分析 模型的优点 我们的模型对于实际数据具有非常高的拟合度 所以在处理问题的时候具 有很强的依据性 而且得出的数据说服力很强 模型的缺点 模型仍然只能从经验层面上粗糙的推出进货量和缺货量 缺少一个基于动 力系统的销货 缺货模型 不能精确的推导出缺货量和缺货天数 另外计算周期 的话傅里叶的突出峰也不明显 这有可能与突然缺货有关 即当严重缺货时老 板有可能进货 另外 没有给出季度之类的周期数据也是个缺点 八 模型的推广与改进 推广 A 的泊松分布模型适用于销量不太多的离散型商品 例如消耗性的香皂 钢 笔类型的商品 而不适合刚性需求比较大的商品 比如说食物 卫生纸之类的 同样不适合的连续性商品如大米之类的也不能使用泊松分布 10 B C 的正态分布模型适用于销量较稳定的离散型商品 通过该正态分布模型 可以适用于缺货的商家来调整自己的进货策略 改进 因为商品大多有周期性因素来考虑 而本文的售出天数没有给季节 所以 如果给定具体的季节的话 模型还可以从季节方面考虑来调整其进货量 九 参考文献 1 魏宗舒等 概率论与数理统计教程 M 高等教育出版社 1983 10 2 赵荣春 数字图象处理导论 M 西安 西北工业大学出版社 1995 25 73 ZHAO Rong chun DigitalDigital imageimage processingprocessing guideguide M Xi an Northwestern Polytechnical University Press 1995 25 73 十 附录 附表 I 销售量 序号ABC 1458 210513 3488 4458 56613 6267 7235 82110 9465 10397 112511 12397 13136 140210 15012 16159 17364 18354 19257 202810 212413 22169 23558 24112 252210 265510 273811 28133 29364 11 306713 31236 32185 332105 34336 35459 362610 373613 38529 3941210 40066 41416 42176 43432 443107 45125 46406 47509 48106 494410 50248 51176 52106 535211 54357 553010 56306 57208 58366 59366 604315 614513 623211 63133 64350 65140 66475 67238 68146 69344 70149 71227 72398 73543 12 74549 753415 76445 77275 78279 79357 80238 81346 82729 83365 842212 85464 86235 87256 88069 89225 90368 91346 92349 93246 944411 958715 96039 97031 982410 99175 100249 101467 102466 103047 104274 105657 106025 107359 108258 109417 110468 111499 1122411 113208 1143812 115536 1167212 117134 13 118439 119438 1202313 1212510 122376 1233415 124637 125455 126156 127056 128021 129346 1301710 131463 1321311 1333010 134326 135249 136367 137437 138247 139225 1403109 141398 142547 143459 144266 145247 146567 1475212 148164 1493812 150336 151615 152469 153156 154435 155134 156148 157228 158326 1592127 1602514 1612610 14 162154 163464 164074 165178 166386 1677315 168274 169399 170338 171566 1725810 173308 174203 175207 176206 1771111 178049 1794211 1804412 181303 1823512 1831710 184738 185335 186277 187268 188368 1892212 190354 191020 192320 193370 194150 195746 1963610 197197 198048 1992510 2003711 201024 2022313 203444 204278 2051710 15 2064410 207658 208185 209306 2104315 211156 212355 2133411 214549 215467 216263 2173211 218356 219768 220143 221398 2224310 2232711 224047 225236 226365 2273210 228384 229147 2301110 231364 232558 233478 2345410 235454 236362 237118 238059 2393810 240228 241224 2424412 243324 244359 245379 246545 2476410 248078 249547 16 250837 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