反比例函数压轴题精选(含答案)

1 2009 20132009 2013 年中考反比例函数年中考反比例函数 经典结论 经典结论 如图 反比例函数的几何意义 k I 1 2 AOBAOC SSk II OBAC Sk 矩形 下面两个结论是上述结论的拓展 1 如图 OPAOCD SS OPCPADC SS 梯形 2 如图 OAPBOBCA SS 梯形梯形BPEACE SS 经典例题经典例题 例例 1 1 兰州兰州 如图 已知双曲线经过矩形边的中 0 k yx x OABCAB 点且交于点 四边形的面积为 2 则 2 FBCEOEBFk 2 如图 点为直线上的两点 过两点分别作轴的平行线交双AB yx AB y 曲线于两点 若 则 6 1 0 yx x CD 2BDAC 22 4OCOD 例例 2 2013 陕西陕西 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象交 x y 6 那么值为 24 2211 yxByxA 1212 yyxx 解析 因为 A B 在反比例函数上 所以 我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于 x y 6 6 11 yx 原点成中心对称 因此中有 所以 2211 yxByxA 1212 yyxx 24644 1111111212 yxyyxxyyxx 例例 3 2010 山东威海山东威海 如图 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点 A 2 5 bkxy x m y F E CB Aox y D C B A ox y C B A o y x E P D C A o y x 图 E P C B Ao y x 图 2 C 5 n 交 y 轴于点 B 交 x 轴于点 D 1 求反比例函数和一次函数的表达式 x m y bkxy 2 连接 OA OC 求 AOC 的面积 解 1 反比例函数的图象经过点 A 2 5 x m y m 2 5 10 反比例函数的表达式为 点 C 5 n 在反比例函数的图象上 x y 10 C 的坐标为 5 2 2 5 10 n 一次函数的图象经过点 A C 将这两个点的坐标代入 得 bkxy 解得 52 25 bk bk 3 1 b k 所求一次函数的表达式为 y x 3 2 一次函数 y x 3 的图像交 y 轴于点 B B 点坐标为 0 3 OB 3 A 点的横坐标为 2 C 点的横坐标为 5 S AOC S AOB S BOC 2 21 52 2 1 5 2 1 2 2 1 OBOBOB 例例 4 2007 福建福州 如图 已知直线与双曲线交于 1 2 yx 0 k yk x 两点 且点的横坐标为 AB A4 1 求的值 k 2 若双曲线上一点的纵坐标为 8 求的面积 0 k yk x CAOC 3 过原点的另一条直线 交双曲线于两点 点在第一象限 若由点Ol 0 k yk x PQ P 为顶点组成的四边形面积为 求点的坐标 ABPQ 24P 解 1 点横坐标为 当时 A4 4x 2y 点的坐标为 A 4 2 点是直线与双曲线的交点 A 1 2 yx 0 k yk x 4 28k 2 解法一 如图 1 点在双曲线上 当时 C8y 1x 点的坐标为 C 18 O x A y B 图 1 O x A y D M N C O A B C x y D 3 过点分别做轴 轴的垂线 垂足为 得矩形 AC xyMN DMON 32 ONDM S 矩形 4 ONC S 9 CDA S 4 OAM S 3249415 AOCONCCDAOAMONDM SSSSS 矩形 解法二 如图 2 过点分别做轴的垂线 垂足为 CA xEF 点在双曲线上 当时 C 8 y x 8y 1x 点的坐标为 点 都在双曲线上 C 18 CA 8 y x 4 COEAOF SS COECOAAOFCEFA SSSS 梯形 COACEFA SS 梯形 1 28 315 2 CEFA S 梯形 15 COA S 3 反比例函数图象是关于原点的中心对称图形 O 四边形是平行四边形 OPOQ OAOB APBQ 11 246 44 POAAPBQ SS 平行四边形 设点横坐标为 得 P 04 m mm 且 8 P m m 过点分别做轴的垂线 垂足为 PA xEF 点在双曲线上 PA 4 PQEAOF SS 若 如图 3 04m POEPOAAOFPEFA SSSS 梯形 6 POAPEFA SS 梯形 18 2 4 6 2 m m 解得 舍去 2m 8m 2 4 P 若 如图 4 4m AOFAOPPOEAFEP SSSS 梯形 6 POAPEFA SS 梯形 18 2 4 6 2 m m A 解得 舍去 8m 2m 81 P 图 2 O x A y B FE C 图 3 O A y B F Q E P x 图 4 Ox A y B FEQ P 4 点的坐标是或 P 2 4 P 81 P 例例 5 山东淄博 如图 正方形 AOCB 的边长为 4 反比例函数的图象过点 E 3 4 1 求反比例函数的解析式 2 反比例函数的图象与线段 BC 交于点 D 直线过点 D 与线段 AB 相交于点 F 求点 F 的 1 yxb 2 坐标 3 连接 OF OE 探究 AOF 与 EOC 的数量关系 并证明 答案答案 解 1 设反比例函数的解析式 k y x 反比例函数的图象过点 E 3 4 即 反比例 k 4 3 k 12 函数的解析式 12 y x 2 正方形 AOCB 的边长为 4 点 D 的横坐标为 4 点 F 的纵坐标 为 4 点 D 在反比例函数的图象上 点 D 的纵坐标为 3 即 D 4 3 点 D 在直线上 解得 直线 DF 为 1 yxb 2 1 34b 2 b 5 1 yx5 2 将代入 得 解得 点 F 的坐标为 2 4 y4 1 yx5 2 1 4x5 2 x2 3 AOF EOC 证明如下 1 2 在 CD 上取 CG CF 2 连接 OG 连接 EG 并延长交 轴于点 H AO CO 4 OAF OCG 900 AF CG 2 OAF OCG SAS AOF COG EGB HGC B GCH 900 BG CG 2 EGB HGC AAS EG HG 设直线 EG ymxn E 3 4 G 4 2 解得 43mn 24mn m2 n 10 直线 EG y2x10 令 得 H 5 0 OH 5 在 R AOF 中 AO 4 AE 3 根据勾股定理 得y2x10 0 x5 OE 5 OH OE 5 OG 是等腰三角形底边 EH 上的中线 OG 是等腰三角形顶角的平分线 EOG GOH EOG GOC AOF 即 AOF EOC 1 2 例例 6 2009 山东威海山东威海 一次函数的图象分别与轴 轴交于点 与反比例函数的图象yaxb xy M N k y x 相交于点 过点分别作轴 轴 垂足分别为 过点分别作轴 A BAACx AEy C EBBFx 轴 垂足分别为与交于点 连接 BDy FD ACBDKCD 1 若点在反比例函数的图象的同一分支上 如图 1 试证明 AB k y x AEDKCFBK SS 四边形四边形 ANBM 2 若点分别在反比例函数的图象的不同分支上 如图 2 则与还相等吗 试证明你AB k y x ANBM 的结论 解 1 轴 轴 四边形为矩形 ACx AEy AEOC 轴 轴 四边形为矩形 BFx BDy BDOF 轴 轴 四边形均为矩形 ACx BDy AEDKDOCKCFBK 1111 OCxACyx yk A 11AEOC SOC ACx yk AA 矩形 2222 OFxFByxyk A 22BDOF SOF FBxyk AA 矩形 AEOCBDOF SS 矩形矩形 AEDKAEOCDOCK SSS 矩形矩形矩形 CFBKBDOFDOCK SSS 矩形矩形矩形 AEDKCFBK SS 矩形矩形 由 1 知 AEDKCFBK SS 矩形矩形 AK DKBK CK AA AKBK CKDK 90AKBCKD AKBCKD CDKABK 轴 四边形是平行四边形 ABCD ACy ACDN 同理 ANCD BMCD ANBM O C F M D E N K y x 11 A xy 22 B xy 图 1 O C DK F E N y x 11 A xy 33 B xy M 图 2 O C DK F E N y x A B M 图 2 6 x y A B O 1 S 2 S y x O P1 P2P 3P4 P5 A1A2A3A4A5 2 y x 2 与仍然相等 ANBM AEDKAEOCODKC SSS 矩形矩形矩形 又 BKCFBDOFODKC SSS 矩形矩形矩形 AEOCBDOF SSk 矩形矩形 AEDKBKCF SS 矩形矩形 AK DKBK CK AA CKDK AKBK KK CDKABK CDKABK ABCD 轴 四边形是平行四边形 ACy ANDC ANCD 同理 BMCD ANBM 第一部分练习第一部分练习 一 选择题一 选择题 1 2009 年鄂州 如图 直线 y mx 与双曲线 y 交于 A B 两点 过点 A 作 AM x 轴 垂足为 M 连结 BM 若 x k 2 则 k 的值是 ABM S A 2 B m 2 C m D 4 2 2009 兰州 如图 若正方形 OABC 的顶点 B 和正方形 ADEF 的顶点 E 都在函数 的图象上 则点 E 的坐标是 1 y x 0 x 3 2009 泰安 如图 双曲线经过矩形 OABC 的边 BC 的中点 0 k x k y E 交 AB 于点 D 若梯形 ODBC 的面积为 3 则双曲线的解析式为 A B x y 1 x y 2 C D x y 3 x y 6 4 2009 仙桃 如图 已知双曲线经过直角三角形 OAB 斜边 0k x k y OB 的中 点 D 与直角边 AB 相交于点 C 若 OBC 的面积为 3 则 k 5 2009 年牡丹江市 如图 点A B是双曲线 3 y x 上的点 分别经过A B两点向x轴 y轴作垂线段 若1S 阴影 则 12 SS 6 2009 年莆田 如图 在轴的正半轴上依次截取 过点x 112233445 OAA AA AA AA A 分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点 得 12345 AAAAA x 2 0yx x 12345 PPPPP 7 直角三角形并设其面积分别为则的值为 1112233344455 OPAAP AA P AA P AA P A 2 12345 SSSSS 5 S 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 7 2009 年包头 已知一次函数与反比例函数的图象在第一象限相交于点 与轴相交于1yx k y x Ax 点轴于点 的面积为 1 则的长为 CABx BAOB AC 8 2010 嵊州市 如图 直线与双曲线交于两点 则 0 kkxy x y 2 2211 yxByxA 的值为 A 5 B 10 C 5 D 10 答案 B 1221 83yxyx 9 2010 江苏无锡 如图 已知梯形 ABCO 的底边 AO 在轴上 BC AO AB AO 过点 C 的双曲线x 交 OB 于 D 且 OD DB 1 2 若 OBC 的面积等于 3 则 k 的值 A 等于 2B 等于 k y x 3 4 C 等于D 无法确定 答案 B 24 5 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 10 2010 江苏盐城 如图 A B 是双曲线 上的点 A B 两点的横坐标分别是 a 2a 线段 AB y k x k 0 的延长线交 x 轴于点 C 若 S AOC 6 则 k 答案 4 11 2010 安徽蚌埠二中 已知点 1 3 在函数的图像上 正方形的边在轴上 0 x x k yABCDBCx 点是对角线的中点 函数的图像又经过 两点 则点的横坐标为EBD 0 x x k yAEE 答案 6 12 2010 四川内江 如图 反比例函数 y x 0 的图象经过矩形 OABC 对角线的交点 M 分别与 AB BC k x y O x A CB x y B A o OA B C D x y 8 倒 5 2 倒 5 1 倒 倒 y 倒 倒 倒 倒 4 2 倒 倒 倒 倒 倒 倒 倒 倒 倒 倒 倒 x PQM y xO B C A A B C D E y x O M 相交于点 D E 若四边形 ODBE 的面积为 6 则 k 的值为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图 13 2011 山东东营 如图 直线 和双曲线交于 A B 亮点 P 是线段 AB 上的点 不与 A B 重合 l 0 k yk x 过点 A B P 分别向 x 轴作垂线 垂足分别是 C D E 连接 OA OB OP 设 AOC 面积是 S1 BOD 面 积是 S2 POE 面积是 S3 则 A S1 S2 S3 B S1 S2 S3 C S1 S2 S3 D S1 S2l 则 OAB 的面 积 用 m 表示 为 A m m 2 1 2 B m m1 2 C m m 1 3 2 D m m 2 1 3 2 答案 B 22 2013 江苏苏州 如图 菱形 OABC 的顶点 C 的坐标为 3 4 顶点 A 在 x 轴的正半轴上 反比例函数 y k x x 0 的图象经过顶点 B 则 k 的值为 A 12 B 20 C 24 D 32 答案 D 解 过 C 点作 CD x 轴 垂足为 D 点 C 的坐标为 3 4 OD 3 CD 4 OC OD2 CD2 32 42 5 OC BC 5 点 B 坐标为 8 4 反比例函数 y x 0 的图象经过顶点 B k 32 k x 23 2013 山东临沂 如图 等边三角形 OAB 的一边 OA 在 x 轴上 双曲线 y 在第一象限内 3 x 的图象经过 OB 边的中点 C 则点 B 的坐标是 A 1 B 1 C 2 D 2 332 32 3 答案 C 24 2013 湖北孝感 如图 函数 y x 与函数的图象相交于 A B 两点 过 A B 两点分别作 y 轴的垂 线 垂足分别为点 C D 则四边形 ACBD 的面积为 A 2B 4C 6D 8 B A o x y l 12 解答 解 过函数 的图象上 A B 两点分别作 y 轴的垂线 垂足分别为点 C D S AOC S ODB k 2 又 OC OD AC BD S AOC S ODA S ODB S OBC 2 四边形 ABCD 的面积为 S AOC S ODA S ODB S OBC 4 2 8 故选 D 25 2013 四川内江 如图 反比例函数 x 0 的图象经过矩形 OABC 对角线的交点 M 分别于 AB BC 交于点 D E 若四边形 ODBE 的面积为 9 则 k 的值为 A 1B 2C 3D 4 解答 解 由题意得 E M D 位于反比例函数图象上 则 S OCE S OAD 过点 M 作 MG y 轴于点 G 作 MN x 轴于点 N 则 S ONMG k 又 M 为矩形 ABCO 对角线的交点 S矩形 ABCO 4S ONMG 4 k 由于函数图象在第一象限 k 0 则 9 4k 解得 k 3 故选 C 26 2013 四川乐山 如图 已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y 的图象上 第二象限内的点 B 在反比例函 2 x 数 y 的图象上 且 OA 0B cotA 则 k 的值为 k x 3 3 13 A 3 B 6 C D 2 33 27 2013 贵州省黔东南州 如图 直线 y 2x 与双曲线 y 在第一象限的交点为 A 过点 A 作 AB x 轴于 B 将 ABO 绕点 O 旋转 90 得到 A B O 则点 A 的坐标为 A B 或 C 或 D 或 1 0 1 0 1 0 2 0 0 2 2 1 2 1 解答 解 联立直线与反比例解析式得 消去 y 得到 x2 1 解得 x 1 或 1 y 2 或 2 A 1 2 即 AB 2 OB 1 根据题意画出相 应的图形 如图所示 可得 A B A B AB 2 OB OB OB 1 根据图形得 点 A 的坐标为 2 1 或 2 1 故选 D 14 O x y A B C 28 2013 威海 如图 在平面直角坐标系中 AOB 90 OAB 30 反比例函数的图象经过点 A 反比例函数的图象经过点 B 则下列关于 m n 的关系正确的是 A m 3nB m n C m n D m n 解答 解 过点 B 作 BE x 轴于点 E 过点 A 作 AF x 轴于点 F 设点 B 坐标为 a 点 A 的坐标为 b OAB 30 OA OB 设点 B 坐标为 a 点 A 的坐标为 b 则 OE a BE OF b AF BOE OBE 90 AOF BOE 90 OBE AOF 又 BEO OFA 90 BOE OAF 即 解得 m ab n 故可得 m 3n 故选 A 二 填空题二 填空题 1 2010 湖北武汉 如图 直线 y 与 y 轴交于点 A 与双 3 3 x b 曲线 y 在 k x 第一象限交于点 B C 两点 且 AB AC 4 则 k 答案 3 2 2010 福建德化 如图 直线 4 3 yx 与双曲线 k y x 0 x 交于点A 将直线 4 3 yx 向下平移个 6 单位后 与双曲线 k y x 0 x 交于点B 与x轴交于点 C 则 C 点的坐标为 若 2 AO BC 则k 15 答案 0 2 9 12 3 2010 湖南衡阳 如图 已知双曲线经过直角三角形 OAB 斜边 OB 的中点 D 与直角边 AB 相 0k x k y 交于点 C 若 OBC 的面积为 3 则 k 答案 2 4 2011 宁波市 如图 正方形 A1B1P1P2的顶点 P1 P2在反比例函数 y x 0 的图像上 顶点 A1 B1分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上 再在其右侧 2 x 作正方形 P2P3A2B2 顶点 P3在反比例函数 y x 0 的图象上 顶点 A3在 x 轴的正半轴上 则点 P3的坐 2 x 标为 答案 1 1 33 5 2011 安徽芜湖 如图 在平面直角坐标系中有一正方形 AOBC 反比例函数经过正方形 AOBC 对角线的交点 半径为 k y x 的圆内切于 ABC 则 k 的值为 42 2 答案 4 6 2011 湖北武汉市 如图 ABCD 的顶点 A B 的坐标分别是A A 1 0 B 0 2 顶点 C D 在双曲线 y 上 边 AD 交 y 轴于 x k 点 E 且四边形 BCDE 的面积是 ABE 面积的 5 倍 则 k 答案 12 7 2011 湖北孝感 如图 点 A 在双曲线上 点 B 在双曲 1 y x 线 上 且 AB x 轴 C D 在 x 轴上 若四边形 ABCD 的面积 3 y x 为矩形 则它的面积为 答案 2 8 2011 湖北荆州 16 4 分 如图 双曲线经过 2 0 yx x 四边形 OABC 的顶点 A C ABC 90 OC 平分 OA 与轴x正半轴的夹角 AB 轴 将 ABC 沿 AC 翻折后得到 AB C B 点落在xOA 上 则四边 形 OABC 的面积是 答案 2 16 x y 图 16图 图 B B C C E E D D o Q Q P P A A x y 图 16图 图 H H F F B B C C E E D D o Q Q P P A A 9 2012 浙江温州 如图 已知动点 A 在函数 x o 的图象上 4 y x AB x 轴 于点 B AC y 轴于点 C 延长 CA 至点 D 使 AD AB 延长 BA 至点 使 AE AC 直线 DE 分别交 x 轴 y 轴于点 P Q 当 QE DP 4 9 时 图中的阴影 部分的面积等于 如图 作 EF y 轴 DH x 轴 由题意得 QEF DHP QE DP 4 9 设 AC a 则 AB 4 a HP AED DHP 4 9 EF HP 9 4 a 42 4 648 49 93 4 EAADa a aa a DHHP a 得到 得 得 S 阴影 2 2 18 2 a a 413 3 33 10 2012 聊城 如图 在直角坐标系中 正方形的中心在原点 O 且正方形的一组对边与 x 轴平行 点 P 3a a 是反比例函数 y k 0 的图象上与正方形的一个交点 若图中阴影部分的面积等于 9 则这个 反比例函数的解析式为 解 答 解 答 解 反比例函数的图象关于原点对称 阴影部分的面积和正好为正方形面积的 设正方形的边长为 b 则 b2 9 解得 b 6 正方形的中心在原点 O 直线 AB 的解析式为 x 3 点 P 3a a 在直线 AB 上 3a 3 解得 a 1 P 3 1 点 P 在反比例函数 y k 0 的图象上 k 3 此反比例函数的解析式为 y 故答案为 y 11 2012 衢州 如图 已知函数 y 2x 和函数的图象交于 A B 两点 过点 A 作 AE x 轴于点 E 若 AOE 的面积为 4 P 是坐标平面上的点 且以 点 B O E P 为顶点的四边形是平行四边形 则满足条件的P 点坐标是 P1 0 4 P2 4 4 P3 4 4 17 解答 解 如图 AOE 的面积为 4 函数 的图象过一 三象限 k 8 函数 y 2x 和函数的图象交于 A B 两点 A B 两点的坐标是 2 4 2 4 以点 B O E P 为顶点的平行四边形共有 3 个 满足条件的 P 点有 3 个 分别为 P1 0 4 P2 4 4 P3 4 4 故答案为 P1 0 4 P2 4 4 P3 4 4 12 2012 甘肃兰州 如图 M 为双曲线 y 上的一点 过点 M 作 x 轴 y 轴的垂线 分别交直线 y x m 于点 D C 两点 若直线 y x m 与 y 轴交于点 A 与 x 轴相交于点 B 则 AD BC 的值为 解答 解 作 CE x 轴于 E DF y 轴于 F 如图 对于 y x m 令 x 0 则 y m 令 y 0 x m 0 解得 x m A 0 m B m 0 OAB 等腰直角三角形 ADF 和 CEB 都是等腰直角三角形 设 M 的坐标为 a b 则 ab CE b DF a AD DF a BC CE b AD BC a b 2ab 2 故答案为 2 18 13 2012 深圳 如图 双曲线与 O 在第一象限内交于 P Q 两点 分别过 P Q 两点向 x 轴和 k y k0 x y 轴作垂线 已知点 P 坐标为 1 3 则图中阴影部分的面积为 答案答案 4 分析分析 O 在第一象限关于 y x 对称 也关于 y x 对称 P 点坐标是 1 3 Q 点的坐 k y k0 x 标是 3 1 S 阴影 1 3 1 3 2 1 1 4 14 2012 扬州 如图 双曲线 y 经过 Rt OMN 斜边上的点 A 与直角边 MN 相交于点 B 已知 OA 2AN OAB 的面积为 5 则 k 的值是 12 解答 解 过 A 点作 AC x 轴于点 C 如图 则 AC NM OAC ONM OC OM AC NM OA ON 而 OA 2AN 即 OA ON 2 3 设 A 点坐标为 a b 则 OC a AC b OM a NM b N 点坐标为 a b 点 B 的横坐标为 a 设 B 点的纵坐标为 y 点 A 与点 B 都在 y 图象上 k ab a y y b 即 B 点坐标为 a b OA 2AN OAB 的面积为 5 NAB 的面积为 ONB 的面积 5 NB OM 即 b b a ab 12 k 12 故答案为 12 19 C 15 2012 武汉 如图 点 A 在双曲线 y 的第一象限的那一支上 AB 垂直于 x 轴与点 B 点 C 在 x 轴正半轴 上 且 OC 2AB 点 E 在线段 AC 上 且 AE 3EC 点 D 为 OB 的中点 若 ADE 的面积为 3 则 k 的值为 解答 解 连 DC 如图 AE 3EC ADE 的面积为 3 CDE 的面积为 1 ADC 的面积为 4 设 A 点坐标为 a b 则 AB a OC 2AB 2a 而点 D 为 OB 的中点 BD OD b S梯形 OBAC S ABO S ADC S ODC a 2a b a b 4 2a b ab 把 A a b 代入双曲线 y k ab 16 2012 成都 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 AB 与 x 轴 y 轴分别交于点 A B 与反比例函数 为常数 且 在第一象限的图象交于点 E F 过点 E 作 EM k y x k0k y 轴于 M 过点 F 作 FN x 轴于 N 直线 EM 与 FN 交于点 C 若 为大于 l 的常数 记 CEF 的 BE1 BFm m 面积为 OEF 的面积为 则 用含的代数式表示 1 S 2 S 1 2 S S m 答案 k 的几何意义 线段比的转化 面积的几种求法 1 1 m m 17 2013 湖北黄冈 已知反比例函数 y 在第一象限的图象如图所示 点 A 在其 6 x 图象上 点 B 为 x 轴正半轴上一点 连接 AO AB 且 AO AB 则 S AOB 答案 6 解析 如下图 过点 A 作 AC OB 于点 C AO AB OC BC 而 AC AC AO AB AOC ABC S AOC S ABC 设点 A 的坐标为 x y x 0 y 0 则 xy 6 AC y OC x S AOB 2S AOC 2 OC AC xy 6 1 2 20 18 2013 四川宜宾 如图 直线与双曲线交于点 A 将直线向右平移个单xy 3 4 0 x x k yxy 3 4 2 9 位后 与双曲线交于点 B 与 x 轴交于点 C 若 则 0 x x k y2 BC AO k 答案 12 解析 首先求出平移后直线的解析式 然后直线与双曲线xy 3 4 0 x x k y 两解析式联立方程组求出点 A 的纵坐标 平移后的直线解析式 6 与双曲线两解析式联xy 3 4 0 x x k y 立方程组 求出点 B 的纵坐标 根据相似三角形对应边成比例的性质可得 A B 的纵坐标的比等于 AO BC 然后列出方程求解即可 19 2013 四川泸州 如图 111 P x y 222 P xy P nnn xy在函数 1 0yx x 的图像上 11 POA 212 P A A 323 P A A 1 P AA nnn 都是等腰直角三角形 斜边 1 OA 12 A A 23 A A 1 AA nn 都在x轴上 n 是大于或等于 2 的正整数 则点 3 P的坐标是 点 n P的坐标是 用含 n 的式子表示 y x P1 P2 P3 A3A2A1O 答案 32 32 1 1nnnn 解析 过点 P1作 P1E x 轴于点 E 过点 P2作 P2F x 轴于点 F 过点 P3作 P3G x 轴于点 G 根据 P1OA1 P2A1A2 P3A2A3都是等腰直角三角形 可求出 P1 P2 P3的坐标 从而总结出一般规律得出点 Pn 的坐标 21 2013 山东日照 如右图 直线 AB 交双曲线于 B 交 x 轴于点 C B 为线段 AC 的中点 过点 B x k y 作 BM x 轴于 M 连结 OA 若 OM 2MC S OAC 12 则 k 的值为 21 答案 8 解析 过点 A 作 AD x 轴于点 D 则 ADO 的面积为k 2 1 BM x 轴 AD BM B 为线段 AC 的中点 BM 为 ADC 的中 位线 DM MC OM 2MC OD DM MC S OAC 3S OAD 12 k 8 k 2 3 22 2013 宁波 如图 等腰直角三角形 ABC 顶点 A 在 x 轴上 BCA 90 AC BC 2 反比例函数 y x 0 的图象分别与 AB BC 交于点 D E 连结 DE 当 BDE BCA 时 点 E 的坐标为 答案 解析 如图 BCA 90 AC BC 2 反比例函数 y x 0 的图象分别与 AB BC 交于点 D E BAC ABC 45 且可设 E a D b C a 0 B a 2 A 2 a 0 易求直线 AB 的解析式是 y x 2 a 又 BDE BCA BDE BCA 90 直线 y x 与直线 DE 垂直 点 D E 关于直线 y x 对称 则 即 ab 3 又 点 D 在直线 AB 上 b 2 a 即 2a2 2a 3 0 解得 a 点 E 的坐标是 22 23 2013 自贡 如图 在函数的图象上有点 P1 P2 P3 Pn Pn 1 点 P1的横坐标为 2 且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是 2 过点 P1 P2 P3 Pn Pn 1分别作 x 轴 y 轴 的垂线段 构成若干个矩形 如图所示 将图中阴影部分的面积从左至右依次记为 S1 S2 S3 Sn 则 S1 4 Sn 用含 n 的代数式表示 解答 解 当 x 2 时 P1的纵坐标为 4 当 x 4 时 P2的纵坐标为 2 当 x 6 时 P3的纵坐标为 当 x 8 时 P4的纵坐标为 1 当 x 10 时 P5的纵坐标为 则 S1 2 4 2 4 2 S2 2 2 2 2 S3 2 1 2 2 Sn 2 故答案为 4 23 24 2013 遵义 如图 已知直线 y x 与双曲线 y k 0 交于 A B 两点 点 B 的坐标为 4 2 C 为双曲线 y k 0 上一点 且在第一象限内 若 AOC 的面积为 6 则点 C 的坐标为 2 4 解 答 解 点 B 4 2 在双曲线 y 上 2 k 8 根据中心对称性 点 A B 关于原点对称 所以 A 4 2 如图 过点 A 作 AE x 轴于 E 过点 C 作 CF x 轴于 F 设点 C 的坐标为 a 则 S AOC S COF S梯形 ACFE S AOE 8 2 4 a 8 4 4 AOC 的面积为 6 6 整理得 a2 6a 16 0 解得 a1 2 a2 8 舍去 4 点 C 的坐标为 2 4 故答案为 2 4 25 2013 年武汉 如图 已知四边形 ABCD 是平行四边形 BC 2AB A B 两点的坐标分别是 1 0 0 2 C D 两点在反比例函数 0 x x k y的图象上 则k的值等于 答案 12 解析 如图 过 C D 两点作 x 轴的垂线 垂足为 F G CG 交 AD 于 M 点 过 D 点作 DH CG 垂足为 H CD AB CD AB CDH ABO AAS DH AO 1 CH OB 2 设 C m n D m 1 n 2 则 mn m 1 n 2 k 解得 n 2 2m 设直线 BC 解析式为 y ax b 将 B C 两点坐标代入得 又 n 2 2m 2b namb BC AB 因为 BC 2AB 22 2 mn 2 5m5 F E D C B Ao x y y x 图 15图 图 D C B AO 24 解得 m 2 n 6 所以 k mn 12 26 咸宁 如图 一次函数的图像与轴 轴交于两点 与反比例函数的图象相交于yaxb xyAB k y x 两点 分别过两点作轴 轴的垂线 垂足为 连接 有以下四个结论 CD CD yxEF CFDE 其中正确的结论是 CEFDEF SS AOBFOE DCECDF ACBD 三 解答题三 解答题 1 2010 兰州 如图 P1是反比例函数 0 k x k y 在第一象限 图像上的一点 点 A1 的坐标为 2 0 1 当点 P1的横坐标逐渐增大时 P1O A1的面积 将如何变化 2 若 P1O A1与 P2 A1 A2均为等边三角形 求 此反比例函数的解析式及 A2点的坐标 2 2010 内蒙呼和浩特 在平面直角坐标系中 函数 y x 0 m 是常数 的图像经 m x 过点 A 1 4 点 B a b 其中 a 1 过点 A 作 x 中的垂线 垂足为 C 过点 B 作 y 轴的垂线 垂足为 D AC 与 BD 相交于点 M 连结 AD DC CB 与AB 1 求 m 的值 2 求证 DC AB 3 当 AD BC 时 求直线 AB 的函数解析式 答案 解 1 点 A 1 4 在函数 y 的图像上 m x 4 得 m 4 2 分 1 m 2 点 B a b 在函数 y 的图像上 ab 4 m x 又 AC x 轴于 C BD y 轴于 D 交 AC 于 M AC BD 于 M M 1 b D 0 b C 1 0 tan BAC tan DCM 4 分 BM AM 1 4 a b 1a abb 1 b DM MC 1 b tan BAC tan DCM 25 所以锐角 BAC DCM DC AB 6 分 3 设直线 AB 的解析式为 y kx b AB CD AD BC 四边形 ABCD 是平行四边形或等腰梯形 四边形 ABCD 是平行四边形时 AC 与 BD 互相平分 又 AC BD B 2 2 解得 4 22 kb kb 2 6 k b 直线 AB 的解析式为 y 2x 6 8 分 当四边形 ABCD 是等腰梯形时 BD 与 AC 相等且垂直 AC BD 4 B 4 1 同理可求直线 AB 的解析式为 y x 5 10 分 3 2010 年福建省泉州 我们容易发现 反比例函数的图象是一个中心对称图形 你 可以利用这一结论解决问题 如图 在同一直角坐标系中 正比例函数的图象可以看作是 将轴所在的直线x 绕着原点逆时针旋转 度角后的图形 若它与反比例函数的图象分别交于第一 三象限的点 O x y 3 B 已知点 D 0 mA 0 mC 1 直接判断并填写 不论 取何值 四边形的形状一定是 ABCD 2 当点为时 四边形是矩形 试求 和有值 B 1 pABCDpm 观察猜想 对 中的值 能使四边形为矩形的点共有几个 不必说理 mABCDB 3 试探究 四边形能不能是菱形 若能 直接写出 B 点的坐标 若不能 说明理由 ABCD 26 答案 解 1 平行四边形 3 分 2 点在的图象上 1 pB x y 3 p 3 1 4 分 3 p 过作 则BExBE轴于 13 BEOE 在中 BOERt 3 3 3 1 tan OE BE 30 2 OB 又 点 B D 是正比例函数与反比例函数图象的交点 点 B D 关于原点 O 成中心对称 OB OD 2 四边形为矩形 且ABCD 0 mA 0 mC 2 ODOCOBOA2 m 能使四边形为矩形的点 B 共有 2 个 ABCD 3 四边形不能是菱形 ABCD 法一 点 的坐标分别为 AC 0 m 0 m 四边形的对角线在轴上 ABCDACx 又 点 分别是正比例函数与反比例函数在第一 三象限的交点 BD 对角线与不可能垂直 ACBD 四边形不能是菱形ABCD 法二 若四边形 ABCD 为菱形 则对角线 AC BD 且 AC 与 BD 互相平分 因为点 A C 的坐标分别为 m 0 m 0 所以点 A C 关于原点 O 对称 且 AC 在 x 轴上 所以 BD 应在 y 轴上 这与 点 B D 分别在第一 三 27 象限 矛盾 所以四边形 ABCD 不可能为菱形 4 2010 广西柳州 如图 过点 P 4 3 作 x 轴 y 轴的垂线 分别交 x 轴 y 轴于 A B 两点 交双曲线 k 2 于 E F 两点 x k y 1 点 E 的坐标是 点 F 的坐标是 均用含 k 的式子表示 2 判断 EF 与 AB 的位置关系 并证明你的结论 3 记 S 是否有最小值 若有 求出其最小值 若没有 请说明理由 OEFPEF SSS x A B O E F P P M N 解 1 E 4 F 3 3 分 4 k 3 k 2 证法一 结论 EF AB 证明 P 4 3 E 4 F 3 4 k 3 k 即得 PE 3 PF 4 4 k 3 k APB EPF 12 12 4 3 3 kkPE PA 12 12 3 4 4 kkPF PB PAB PEF PAB PEF EF AB 证法二 结论 EF AB 证明 P 4 3 E 4 F 3 4 k 3 k 即得 PE 3 PF 4 4 k 3 k 在 Rt PAB 中 tan PAB 3 4 PA PB 在 Rt PEF 中 tan PEF tan PAB tan PEF 3 4 4 3 4 3 k k PE PF PAB PEF EF AB x A B O E F P y 28 3 方法一 S 有最小值 kSSSS FBOEAOPAOBPEDF 12 四四四四四 kSSSS PEFPEFPEDFEOF 12 四四四 由 2 知 4 3 4 3 2 1 2 1 kk PFPES PEF S kSSS PEFOEFPEF 122 又 k 2 此时 S 的值随 k 值增大而增大 3 6 12 1 12 2 2 kk k 当 k 2 时 S 的最小值是 3 7 四四 S 3 7 方法二 S 有最小值 分别过点 E F 作 PF PE 的平行线 交点为 P 由 2 知 P 43 kk 四边形 PEP 为矩形 S P EF S PEF S S PEF S OEF S P EF S OEF S OME S矩形 OMP N S ONF k 2122 2 kkk 2 2 k 3 6 12 1 2 k 又 k 2 此时 S 的值随 k 值增大而增大 当 k 2 时 S最小 S 的最小值是 3 7 3 7 5 2010 四川绵阳 如图 已知正比例函数 y ax a 0 的图象与反比例函致 k 0 的图象的一个交 x k y 点为 A 1 2 k2 另 个交点为 B 且 A B 关于原点 O 对称 D 为 OB 的中点 过点 D 的线段 OB 的垂 直平分线与 x 轴 y 轴分别交于 C E 1 写出反比例函数和正比例函数的解析式 2 试计算 COE 的面积是 ODE 面积的多少倍 答案答案 1 由图知 k 0 a 0 点 A 1 2 k2 在图象 x k y 上 2 k2 k 即 k2 k 2 0 解得 k 2 k 1 舍去 得反比 例函数为 x y 2 此时 A 1 2 代人 y ax 解得 a 2 正比例函数为 y 2x 2 过点 B 作 BF x 轴于 F A 1 2 与 B 关于原点对称 B 1 2 即 OF 1 BF 2 得 OB 5 由图 易知 Rt OBF Rt OCD OB OC OF OD 而 OD OB 2 2 5 E D B A x y OC 29 OC OB OD OF 2 5 由 Rt COE Rt ODE 得 5 5 2 2 5 22 OD OC S S ODE COE 所以 COE 的面积是 ODE 面积的 5 倍 7 2010 湖北荆州 已知 关于 x 的一元二次方程 的两根满足 双曲线 012 22 kxkx 21 x x0 2 2 2 1 xx x 0 经过 Rt OAB 斜边 OB 的中点 D 与直角边 AB 交于 C 如图 求 x k y 4 OBC S 答案 解 有两根 012 22 kxkx 0412 2 2 kk 即 4 1 k 由得 0 2 2 2 1 xx 0 2121 xxxx 当时 解得 不合题意 舍去0 21 xx 012 k 2 1 k 当时 0 21 xx 21 xx 0412 2 2 kk 解得 符合题意 4 1 k 双曲线的解析式为 x y 1 过 D 作 DE OA 于 E 则 2 1 1 2 1 SS OCAODE DE OA BA OA DE AB ODE OBA 4 2 OD OB S S ODE OBA 2 2 1 4 OBA S 2 3 2 1 2 OCAOBAOBC SSS 8 2010 北京 已知反比例函数 y 的图像经过点 A 1 k x 3 1 试确定此反比例函数的解析式 2 点 O 是坐标原点 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 30 得到线段 OB 判断点 B 是否在反比例函数的 30 图像上 并说明理由 3 已知点 P m m 6 也在此反比例函数的图像上 其中 m 0 过 p 点作 x 轴的的垂线 交 x3 轴于点 M 若线段 PM 上存在一点 Q 使得 OQM 的面积是 设 Q 点的纵坐标为 n 求 1 2 n2 2n q 的值 3 答案 解 1 由题意德 1 解得 k 1 3 3 反比例函数的解析式为 y 3 x 2 过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C 在 Rt AOC 中 OC AC 13 可得 OA 2 AOC 30 22 OCAC 由题意 AOC 30 OB OA 2 BOC 60 过点 B 做 x 轴的垂线交 x 轴于点 D 在 Rt BOD 中 可得 BD OD 1 3 点 B 坐标 1 将 x 1 代入 y 中 得 y 3 3 x 3 点 B 1 在反比例函数 y 的图像上 3 3 x 3 由 y 得 xy 3 x 3 点 P m m 6 在反比例函数的 y 的图像上 m 03 3 x m m 6 33 2 2 310mm PQ x 轴 Q 点的坐标 m n OQM 的面积为 OM QM 1 2 1 2 1 2 m 0 m n 1 2222 2 30m nmnn 2 2 31nn 2 2 398nn 9 2011 广东广州市 已知 Rt ABC 的斜边 AB 在平面直角坐标系的 x 轴上 点 C 1 3 在反比例函数 y 的图象上 且 sin BAC k x 3 5 31 1 求 k 的值和边 AC 的长 2 求点 B 的坐标 答案 1 把 C 1 3 代入 y 得 k 3 k x 设斜边 AB 上的高为 CD 则 sin BAC CD AC 3 5 C 1 3 CD 3 AC 5 2 分两种情况 当点 B 在点 A 右侧时 如图 1 有 AD 4 AO 4 1 3 52 32 ACD ABC AC2 AD AB AB AC2 AD 25 4 OB AB AO 3 25 4 13 4 此时 B 点坐标为 0 13 4 x y BA C DOOx y BA C D 图 1 图 2 当点 B 在点 A 左侧时 如图 2 此时 AO 4 1 5 OB AB AO 5 25 4 5 4 此时 B 点坐标为 0 所以点 B 的坐标为 0 或 0 5 4 13 4 5 4 10 2011 山东聊城 如图 已知一次函数 y kx b 的图象交反比例函数 x 0 图象于点 42m y x A B 交 x 轴于点 C 1 求 m 的取值范围 2 若点 A 的坐标是 2 4 且 求 m 的值和一次函数的解析式 1 3 BC AB 答案 1 因反比例函数的图象在第四象限 所以 4 2m 0 解得 m 2 2 因点 A 2 4 在反比例函 数图象上 所以 4 解得 m 6 过点 A B 分别作 AM OC 于点 M BN OC 于点 N 所以 2 24m 32 BNC AMC 90 又因为 BCN AMC 所以 BCN ACM 所以 因为 AC BC AM BN 3 1 AB BC 所以 即 因为 AM 4 所以 BN 1 所以点 B 的纵坐标为 1 因为点 B 在反比