构造法解导数不等式问题

构造法解导数不等式问题 一 知识梳理一 知识梳理 常见的构造函数方法有如下法则构造函数 1 利用和差函数求导法则构造函数 1 对于不等式 可构造函数 00 或xgxf xgxfxF 2 对于不等式 可构造函数 00 或xgxf xgxfxF 特别地 对于不等式 可构造函数 0 kkkxf或 kxxfxF 2 利用积商函数求导法则构造函数 3 对于不等式 可构造函数 00 或xgxfxgxf xgxfxF 4 对于不等式 可构造函数 00 或xgxfxgxf xg xf xF 5 对于不等式 可构造函数 00 或xfxf x xxfxF 6 对于不等式 可构造函数 00 或xfxf x 0 x x xf xF 7 对于不等式 可构造函数 00 或xnfxf x xfxxF n 8 对于不等式 可构造函数 00 或xnfxf x 0 x x xf xF n 9 对于不等式 可构造函数 00 或xfxf xfexF x 10 对于不等式 可构造函数 00 或xfxf x e xf xF 11 对于不等式 可构造函数 00 或xkfxf xfexF kx 12 对于不等式 可构造函数 00 或xkfxf kx e xf xF 13 对于不等式 可构造函数 00tan 或xxfxf xxfxFsin 14 对于不等式 可构造函数 00tan 或xxfxf 0sin sin x x xf xF 二 例题讲解二 例题讲解 a 利用导数解不等式问题 一 常规解不等式 例 1 设函数 是定义在 一 0 上的可导函数 其导函数为 且有 f x x f 则不等式的解集为 2 2xxf xxf 02420142014 2 fxfx 答案 2016 xx 变式训练 1 是定义在 0 上的非负可导函数 且满足 0 对任意 xf x f x xf 正数 若 则必有 abab A B afbbfabfaafb C D f f afafbbba 答案 变式训练 2 设函数在 R 上的导函数为 f x 且 2 下面的不等式在 xf x f x xfx 2 x R 内恒成立的是 A B C D0 xf0 xfxxf xxf 答案 A 解析 由已知 首先令 排除 B D 然后结合已知条件排除 C 得到 A0 x 变式训练 3 函数的定义域为 对任意 则 xfR2 1 fR x2 x f 的解集为 42 xxf A 1 B 1 1 C D 1 答案 B 二 和函数性质相关解不等式 例 2 设函数是奇函数的导函数 当时 fx f x xR 1 0f 0 x 则使得成立的的取值范围是 0 xfxf x 0f x x A B 1 0 1 1 0 1 C D 1 1 0 0 1 1 答案 A 解析 试题分析 记函数 则 因为当时 f x g x x 2 xfxf x g x x 0 x 故当时 所以在单调递减 又因为函 0 xfxf x 0 x 0g x g x 0 数是奇函数 故函数是偶函数 所以在单调递减 且 f x xR g x g x 0 当时 则 当时 则 1 1 0gg 01x 0g x 0f x 1x 0g x 综上所述 使得成立的的取值范围是 故选 A 0f x 0f x x 1 0 1 考点 导数的应用 函数的图象与性质 变式训练 1 已知定义 R 在上的可导函数的导函数为 满足 且 xf x f xfxf 为偶函数 f 4 1 则不等式的解集为 2 xf x exf A 2 B 0 C 1 D 4 答案 B 变式训练 2 设分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 当时 xgxf0 x 且则不等式的解集是 0 xgxfxgxf 0 3 g0 xgxf A B 3 0 3 3 0 0 3 C D 3 3 3 0 3 答案 D b 利用导数比较大小 一 常规比较大小 例 1 若 0 x1 x2 1 则 A B 21 21 lnln xx eexx 21 21 lnln xx eexx C D 12 21 xx x ex e 12 21 xx x ex e 答案 C 变式训练 1 若函数在上可导 且满足 则 f xR f xxfx A B C D 2 1 2 ff 2 1 2 ff 2 1 2 ff 1 2 ff 答案 A 变式训练 2 设函 数的导函数为 对任意 x R 都有成立 fx fx fxfx 则 A B 3ln22ln3ff 3ln22ln3ff C D 与的大小不确定 3ln22ln3ff 3ln2f 2ln3f 答案 A 变式训练 3 若定义在上的函数的导函数为 且满足 则R xf fx fxf x 与的大小关系为 2011 f 2 2009 fe A B 2 2009 2011 eff 2 2009 2011 eff C D 不能确定 2 2009 2011 eff 答案 A 变式训练 4 定义在 0 2 上的函数 f x fx 是它的导函数 且恒有 tanf xfxx 成立 则 A 32 43 ff B 12sin1 6 ff B 2 64 ff D 3 63 ff 答案 D 二 利用函数性质比较大小 1 已知函数满足 且当时 成立 若 xf xfxf 0 x xxfxf 0 的大小关系是 2 ln 2 ln 2 2 1 01 0 fbfa cbafc 8 1 log 8 1 log 22 则 A B C D abc cba cab acb 答案 B 变式训练 1 已知函数 y f x 是定义在 R 上的偶函数 且当时 不等式0 x 成立 若 a 30 2f 30 2 b log 2 f log 2 c f 0f xx fx 2 1 log 4 则 间的大小关系 2 1 log 4 abc A B C D cba cab bac acb 答案 A 变式训练 2 已知是定义在 R 上的函数的导函数 且 fx f x 若 则下列结论中正确的是 5 5 0 2 f xfxx fx 1212 5xxxx A B 12 f xf x 12 0f xf x C D 12 0f xf x 12 f xf x 答案 D 变式训练 3 已知定义在 R 上的可导函数的导函数为 满足 且 xf x f x f xf 为偶函数 则不等式的解集为 1 xf1 2 f x exf A B C D 4 e 4 e0 0 答案 D 三 利用函数解析式 1 已知一函数满足 x 0 时 有 则下列结论一定成立的是 2 2 g x g xx x A B 2 1 3 2 g g 2 1 2 2 g g C D 2 1 4 2 g g 2 1 4 2 g g 答案 B c 利用导数解决零点问题 例 定义在 R 上的奇函数满足 且不等式在上 xfy 0 3 f xf xxf 0 恒成立 则函数 的零点的个数为 xg1lg xxxf A 4 B 3 C 2 D 1 答案 B 变式训练 1 已知定义在 R 上的奇函 f x 的导函数为 f x 当 x 0 时 f x 满足 则 f x 在 R 上的零点个数为 2 fxxfxx A 1 B 3 C 5 D 1 或 3 答案 A 变式训练 2 已知 为 R 上的连续可导函数 当 x 0 时 则函 yf x 0 f x fx x 数 的零点个数为 1 g xf x x A 1 B 2 C 0 D 0 或 2 答案C 3 课后练习课后练习 1 定义在上的函数满足 是的导函数 R f x 1 fxf x 0 6f fx f x 则不等式 其中为自然对数的底数 的解集为 5 xx e f xe e A B C D 0 03 U 01 U 3 答案 A 2 函数的定 义域是 R 对任意 则不等式 f x 02f 1xR f xfx 的解集为 1 xx ef xe A B 0 x x 0 x x B D 101x xx 或 11x xx 或 答案 A 3 函数的导函数为 对R 都有成立 若 则 xf x f x 2 fxf x 2 4ln f 不等式的解是 2 x f xe A B C D ln4x 0ln4x 1x 01x 答案 A 4 是定义在非零实数集上的函数 为其导函数 且时 xf x f 0 x 记 则 0 xfxf x 5log 5 log 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 f c f b f a A B C D cba cab bac abc 答案 C 5 已知函数的导函数为 且满足 则 f x fx 2 fxf x A B 2 2 1 fe f 2 0 1 e ff C D 9 ln2 4 ln3 ff 2 ln2 4 1 e ff 答案 B 6 已知是定义在上的可导函数 当时 恒 f xR 1 x 1 1 0 xfxf x x 成立 若 则的大小关系是 11 2 3 2 221 afbfcf a b c A B C D cab abc bac acb 答案 A 解析 令 则因为时 恒成立 所 1 f x F x x 1 x 1 1 0 xfxf x x 以 所以在上是增函数 因为 F x 1 1 0 1 xf xf x x x F x 1 又 2 2 2 21 f afF 1 3 2 bf 3 3 3 1 f F 1 2 2 21 cfF 所以 即 故选 A 223 2 2 3 Fff cab 7 设是函数导函数 且 为自然对数的底数 x f xf efRxxfxf 2 1 2e 则不等式的解集为 2 lnxxf A B C D 2 0 e e 0 2 1 e e e e 2 答案 B 8 已知函数的定义域为 R 且 则不等式 xf 40 1 fxfxf 的解集为 x exf 3ln 1 A B C D 1 0 1 e 答案 B 9 已知 f x 是可导的函数 且 f x f x 对于 x R 恒成立 则 A f 1 e2 016f 0 B f 1 ef 0 f 2 016 e2 016f 0 C f 1 ef 0 f 2 016 e2 016f 0 D f 1 ef 0 f 2 016 e2 016f 0 答案 D 解析 令 g x f x ex 则 g x f x ex f x ex f x ex e2x 0 f x f x ex 所以函数 g x 是单调减函数 f x ex 所以 g 1 g 0 g 2 016 g 0 即 f 1 e1 f 0 1 f 2 016 e2 016 f 0 1 故 f 1 ef 0 f 2 016 e2 016f 0 10 设函数在 R 上存在导数 对任意的实数 有当 xf x f x 2 2 xxfxf 时 若 则实数的取值范围 0 x xxf21 222 mmfmf m 是 答案 1 m 11 已知定义域为的奇函数的导函数为 当时 R f x fx 0 x 0 f x fx x 若 则下列关于的大小关系正确的 11 22 af 2 2 bf 11 ln ln 22 cf a b c 是 A B C D acb cba abc cab 答案 A 解析 设 则 因为是定义在实数集上 h xxf x h xf xxfx yf x R 的奇函数 所以是定义在实数集上的偶函数 所以当时 h x R0 x 所以此时函数为单调递增函数 因为 0h xf xxfx h x 111 222 afh 又因为 2 2 2 2 2 bffh 111 ln ln ln ln2 ln2 222 cfhhh 所以 故应选 1 2ln2 2 bca A 12 已知定义在实数集 R 上的函数满足 且导函数 则不等 式的解集为 A B C D 答案 D 解析 令 则 所以是 R 上的减函数 即的解为 从而 解得 故选 D 13 设函数 f x在 R 上存在导数 fx xR 有 2