必修一函数及其表示讲义

1 1 2 1 函数及其表示 一 映射 根据题意填空 1 2 3 4 映射概念 一般地 设 A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系 f 使 对于集合 A 中的任意一个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 那么就称 对应 f A B 是集合 A 到集合 B 的映射 如上图 是映射 象与原象 象与原象 给定一个集合 A 到集合 B 的映射 且 A B 如果元素和元aba 素对应 那么我们把元素叫做元素的象 元素叫做元素的原象 bbaab 注意 注意 1 集合 A B 对应关系是一个整体 2 对应关系有 方向 强调从 A 到 B 3 集合 A 中元素在集合 B 中都有象并且是唯一的 这个唯一性是构成映射的 核心 4 集合 A 中不同的元素 在集合 B 中对应的象可以是同一个 集合 B 中元素对 应集合 A 中的元素可能不止一个 对应可以为 一对一一对一 或或 多对一多对一 但不能是 一 对多 5 集合 B 中的元素在 A 中不一定有原象 6 如果如果 A 有有 m 个元素 个元素 B 有有 n 个元素 则从集合个元素 则从集合 A 中到集合中到集合 B 的映射 不加限制 有的映射 不加限制 有个个 m n 例 1 设集合 A N B N 对应关系 f x y 2x 则 1 集合 A 中元素 2 所对应的象是 2 集合 B 中元素 2 所对对应的原象是 解析 1 4 2 1 变式练习 设 f A B 是从集合 A 到集合 B 的映射 A B x y x R y R 若 f x y x y x y 1 求集合 A 中元素 1 2 在集合 B 中对应的元素 2 求集合 B 中元素 1 2 在集合 A 中对应的元素 解析 1 3 1 2 2 1 2 3 二 函数 一 函数的概念 设 A B 是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系 f 使对于 集合 A 中的任意一个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作 y f x x A 其中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 集合 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 集合 定义域 值域与对应关系定义域 值域与对应关系 f统称为函数的三要素 2 例 2 下面哪一个图形可以作为函数的图象 A B C D 解析 B 变式练习 设 A x 0 x 2 B y 1 y 2 如下图 能表示从集合 A 到集合 B 的映射是 解析 D 二 区间的概念 设 是两个实数 而且 我们规定 1 满足不等式abab x 的实数 x 的集合叫做闭区间 表示为 a 2 满足不等式 x 的实abbab 数 x 的集合叫做开区间 表示为 3 满足不等式 x 或 x 的实数ababab x 的集合叫做半开半闭区间 分别表示为左闭右开和 ba 左开右闭区间 ba 定 义名 称符 号数轴表示 x axb 闭区间 a b a b x axb 开区间 a b a b x axb 左闭右开区间 a b a b x axb 左开右闭区间 a b a b 三 函数的定义域 自变量 x 的取值范围 1 简单函数定义域的类型及求法 1 分式函数中分母不等于零 2 偶次根式函数被开方式大于或等于 0 3 一次函数 二次函数的定义域为 R 4 y 0 且 1 y sin x y cos x 定义域均为 R x aaa 定 义符 号 xx x xa a x xa a x xb b x xb b x y Ox y Ox y Ox y O 12 1 2 A 12 1 2 B 12 1 2 C 12 1 2 D 3 5 y tan x 的定义域为 x x R 且 x k 2 k Z 6 对数函数的定义域是真数大于 0 7 函数 f x a x的定义域与指数a的关系 对于不同的值 定义域不同 a 8 由实际问题建立的函数 还要符合实际问题的要求 2 对于抽象函数定义域的求法 1 若已知函数 f x 的定义域为 则复合函数 f g x 的定义域由不等式 g x aba 求出 b 2 若已知函数 f g x 的定义域为 则 f x 的定义域为 g x 在 上的值域 abab 例 3 求下列函数的定义域 1 f x 2 f x x x 53 1 3 f x 52 x x 3 2 1 x 4 f x 6 f x 65 2 xx 43ln 2 xx 解析 1 x 2 x 3 x 1 且 x 3 2 5 3 5 4 x 2 或 x 3 5 4 x 1 变式练习 1 设 A x y 45 log 2 2 xx B x y 则65 2 xx A B 解析 4 32 1 变式练习 2 函数 f x 的定义域为 2 1 coslog 5 0 x 解析 2k 2k k Z 3 2 3 2 变式练习 3 设 A x y B x y 则xsin12 2 xx A B 解析 A 2k 2k B 4 3 则 A B 3 4 例 4 已知等腰三角形的周长为 20 请将底边 y 表示为腰 x 的函数 并写出 x 的取值范围 解析 y 20 2x 5 x 10 4 5 x 10 yx y x 2 0 0 xx x x 2202 0220 0 5 10 0 x x x 例 5 1 已知函数 f x 的定义域为 1 4 则 f x 2 的定义域为 2 已知函数 f 2x 1 的定义域为 1 0 则 f x 的定义域为 解析 1 1 x 2 4 1 x 2 2 1 x 0 2 2x 0 1 2x 1 1 变式练习 1 已知函数 f x 的定义域为 5 5 则 f 3 2x 的定义域为 2 已知函数 f x 1 的定义域为 0 3 则 f x2 的定义域为 解析 1 1 4 2 0 x 3 1 x 1 4 1 x2 4 则 2 x 1 或 1 x 2 例 6 下列说法中正确的是 A y f x 与 y f t 表示同一个函数 B y f x 与 y f x 1 不可能是同一函数 C f x 1 与 f x x0表示同一函数 D 定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 解析解析 A 变式练习 判断下列各组函数 哪些是同一函数 1 f x x 与 g x 2 f x x 与 g x 2 x 2 x 3 f x x 与 g x 4 f x x2 与 g x x 1 2 2 x 5 f x x 与 g x 6 f x 与 g x x 1 33 x 1 1 2 x x 7 f x x2 2x 1 与 g t t2 2t 1 例 7 已知函数 f x x2 2x 3 求 1 f 1 f 2 2 f f 1 aa 3 f 1 f f 1 f f 2 4 若 g x 则求 f g x 和 g f x x 2 5 变式练习 1 已知函数 f x 求 1 2 2 x x 1 计算 f 1 f 2 f 2 1 2 计算 f 1 f 2 f f 3 f f 4 f f 5 f f 6 f 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 变式练习 2 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x y f x f y 2xy x y R 且 f 1 2 则 f 3 A 2 B 3 C 6 D 9 解析 f 1 f 1 0 f 1 f 0 0 得 f 0 0 f 0 f 1 1 f 1 f 1 2 得 f 1 0 f 2 f 1 1 f 1 f 1 2 得 f 2 2 f 3 f 1 2 f 1 f 2 4 得 f 3 6 变式练习 3 函数满足则常数 c 等于 2 3 32 x x cx xf xxff A 3 B C D 3 33 或35 或 解析 x 得 c 3 B 3 32 2 32 x cx x cx c xxcxc9 62 22 9 620 2 c c 三 函数的值域 一 值域 函数 我们把函数值的集合称为函数的Axxfy Axxf 值域 二 基本函数的值域 1 一次函数的值域为 R 0 abkxy 2 二次函数 xR 的值域 0 2 acbxaxy 4 4 0 4 4 0 22 a bac a a bac a 值域是时值域是时 3 反比例函数的值域为 0 yy 6 4 指数函数 y 0 且 1 的值域为 0 x aaa 5 对数函数 y 0 且 1 的值域为 R x a logaa 6 正弦 y sin x 余弦函数 y cos x 的值域 1 1 7 正切函数 y tan x 的值域为 R 8 函数 f x a x的值域与指数a的关系 对于不同的值 值域不同 a 三 求值域的具体方法 1 观察法 直接法 例 8 求函数 f x 2x 1 x 1 2 3 4 5 解析 y 3 5 7 9 11 变式练习 求函数的值域 1 f x 1 2 f x x 1 1 x 解析 1 y 1 2 y 0 2 配方法 利用二次函数求值域 二次函数的对称轴 x 顶点坐标 a b 2a b 2a bac 4 4 2 例 9 求函数 f x x2 6x 7 xR 的值域 解 f x x2 6x 7 x 3 2 16 16 所以函数的值域 y y 16 或 16 变式练习 求函数的值域 1 f x x2 4x 3 xR 2 f x x2 6x 7 xR 3 f x x2 4x 3 x 1 3 4 f x x2 6x 7 x 1 3 5 设 是方程 4x2 4mx m 2 x R 的两实根 当 m 为何值时 有 2 2 最小值 求出这个最小值 解析 2 1616 2 0 21 mmmm 或 2222 22 min 1 21 2 1 1 2 mm m 当时 7 3 分离常数法 形如反比例函数的值域 y k 0 x k 例 10 求函数 f x 的值域 1 12 x x 解析 f x 2 y 3 1 12 x x 1 3 1 2 x x 1 3 x 变式练习 求函数 f x 的值域 2 15 x x 解析 f x 5 y 5 2 9 x 4 单调法 先判断函数 f x 的区间上的单调性 再代入端点求值域的方法 例 11 已知函数 f x 求函数的最大值和最小值 6 2 1 2 x x 解析 函数 f x 在 2 6 上是减函数 所以函数在区间上的两个端点分别取得最大值与 最小值 当 x 2 函数取最大值 2 当 x 6 函数取最小值 0 4 变式练习 1 求函数 f x 的值域 6 4 3 3 x x x 解析 9 12 变式练习 2 求下列函数的值域 1 f x 2 f x 52 2 2 xx52 2 2 1 xx 解析 1 f x 2 f x 4 1 2 2 x6 1 2 2 1 x 5 换元法 例 12 求函数 f x x 12 x 变式练习 1 分别求下列函数的值域 1 f x 2x 2 f x 2x 32 x13 x 变式练习 2 分别求下列函数的值域 1 f x 6 3 2 f x sin2x 2cosx 3 x 4 x 2 6 基本不等式法 基本不等式章节重点讲解 例 13 求函数 f x x x 1 的最小值 1 3 x 例 14 求函数 f x x 3 2x 0 x 的最大值 2 3 8 7 三角函数法 三角函数章节重点讲解 8 导数法 导数章节重点讲解 9 三角代换法 参数法 极坐标与参数方程章节重点讲解 四 函数的表示法 一 表示函数的方法有 有解析法 列表法和图象法三种 1 解析法 如果函数 y f x x A 中 f x 是用代数式 或解析式 来表达的 则这种表达函数的方法叫做解析法 公式法 2 列表法 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法 3 图象法 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法 叫做图像法 二 求函数解析式 1 拼凑法 已知 f g x 的解析式 要求 f x 的解析式 从 f g x 的解析式中拼凑出 g x 两边用 x 代替 g x 即可得到 f x 的解析式 例 13 若 f 求 f 2 x 1 2 1x x 解析 f f x f 2 x 1 2 1x x 1 1 1 2 x x 1 2 x x 12 2 2 3 2 变式练习 1 已知 f x x2 求 f x x 1 2 1 x 2 已知 f 1 x 2 求 f x xx 解析 1 f x x2 2 2 f x x2 1 2 换元法 已知函数 f g x 的解析式 令 g x t 求 f t 的解析式 用 x 代替两边所有的 t 即可 例 14 已知函数 f 2x 1 x2 2x 求 f 1 解析 令 2x 1 t 则 x f t 2 2 2 1 t 2 1 t 2 1 t 4 56 2 tt f x f 1 0 4 56 2 xx 4 51612 变式练习 1 已知 f 1 x 2 求 f x xx 9 2 已知 g x 1 2x f g x x 0 求 f 2 2 1 x x 2 1 3 已知 f x e x 则 f 1 x e 4 已知 f 4x 233 则 f 2 f 4 f 8 f 28 的值等于 x 33log2 解析 1 f x x2 1 2 f 15 3 f 1 1 2 1 4 令 t 则 x 则 f t 4 233 故 f 2 f 4 f 8 f 28 x 3t 3 logt 2 log 4 8 12 32 233 8 2008 3 方程组法 已知 f x 与 f g x 满足的关系式 要求 f x 时 用 g x 代替两边所有的 x 得 到关于 f x f g x 的方程组 解方程组得 f x 例 15 已知函数 f x 满足 f x 2 f 3x 2 求 f x 的解析式 x 1 解析 用代替 x 得 f 2 f x 3 2 x 1 x 1 x 1 解之得 f x x 2 2 3 2 1 23 1 2 x xf x f x x fxf x 1 变式练习 已知函数 f x 满足 f x 2 f x x2 x 求函数 f x 的解析式 解析 f x 3 3 2 xx 4 待定系数法 1 初中所学一次函数 反比例函数 二次函数解析式的求法 一次函数 f x kx b k 0 反比例函数 f x k 0 x k 二次函数 0 21 2 2 a xxxxaxf khxaxf cbxaxxf 2 若已知 f x 函数的类型 求 f x 的解析式 可根据类型设其解析式 然后确定其系数 即可 10 例 16 已知一次函数 f x 满足 f f x 4x 3 求 f x 的解析式 解析 设 f x kx b k 0 f f x f kx b k kx b b k2x kb b 4x 3 解之得或 3 4 2 bkb k 1 2 b k 3 2 b k f x 2x 1 或 f x 2x 3 例 17 已知函数 f x 是一次函数 且 2 f 1 3 f 2 3 2 f 1 3 f 0 1 求 f x 的 解析式 解析 设 f x kx b k 0 由题意得 解之得 f x x 1 0 3 2 3 2 3 2 bbk bkbk 9 1 9 4 b k 9 4 9 1 变式练习 1 已知一次函数 f x 满足 f f x 9x 8 求 f x 的解析式 2 已知一次函数 f x 满足 3f x 1 2f x 1 2x 17 求 f x 的解析式 解析 1 f x 3x 2 或 f x 3x 4 2 f x 2x 7 四 分段函数 在定义域内 对于自变量 x 的不同取值范围 对应关系 对应法则 不同 这样函数通常称为分段函数 由此可知 作分段函数的 图像时 应根据不同定义域上的不同解析式分别作出 注意 1 分段函数是一个函数 2 在分段时端点不重也 不漏 3 分段函数的定义域为每段范围的并集 值域也是 每个区域内值域的并集 一 分段函数的图象 例 18 作出函数 f x x 的图象 解析 f x x 0 0 xx xx 变式练习 作出分段函数的图像21 xxy 11 二 分段函数的求值 例 19 已知函数 f x 求 1 f 3 2 f f 3 3 f f f 2x4 22 2 2 1 2 xx x xx 3 解析 1 3 2 f 3 32 4 3 3 2 3 2 f f 3 f 3 3 2 1 2 3 3 2 2 f f 3 f 2 3 2 3 变式练习 1 已知函数 f x 2x 2 1 212 12 2 x xx xx 1 求 f f 1 2 若 f 3 求的值 aa 解析 1 f f 1 2 2 或 a 2 3 a6 变式练习 2 设 0 函数 f x 若 f f 4 则 f 等于a 0 0 log4 2 2 xaxx xx 2a A 8B 4C 2D 1 解析 A 课 后 综 合 练 习 1 如下图 1 2 3 4 四个图象各表示两个变量 x y 的对应关系 其中表示 y 是 x 的函数关系的有 x y O 1 1 1 1 1 x y O 1 1 1 2 x y O 1 1 1 3 1 x y O 1 1 1 4 1 解析 2 3 2 函数 y f x 的图象与直线 x 的交点的个数为 a A 必有 1 个 B 1 个或 2 个 C 至多 1 个 D 可能 2 个以上 12 解析 C 3 若函数 f x 的定义域为 R 则实数的取值范围是 12 2 xaxa 解析 0a 4 已知 f x 是定义在正整数集上的函数 且 f x y f x f