浙教版初二(上)数学第三讲-全等三角形的相关模型

朱老师初二 上 数学辅导讲义 1 第三讲 全等三角形的相关模型 要点梳理 要点一 手拉手模型要点一 手拉手模型 特点 由两个等顶角的等腰三角形所组成 并且顶角的 顶点为公共顶点 结论 1 ABD AEC 2 BOC 180 3 OA 平分 BOC 变形 要点二 角平分线模型要点二 角平分线模型 特点 由角平分线构成了的两个三角形 结论 1 AFG AEG 2 FG GE 变形 朱老师初二 上 数学辅导讲义 2 要点三 半角模型要点三 半角模型 特点 结论 1 MN BM DN 2 CMN 的周长 2AB 3 AM AN 分别平分 BMN 和 DNM 变形 要点四 等腰直角三角形模型要点四 等腰直角三角形模型 1 1 在斜边上任取一点的旋转全等在斜边上任取一点的旋转全等 操作过程 1 将 ABD 逆时针旋转 90 使 ACM ABD 从而推出 ADM 为等腰直角三角形 2 过点 C 作 BC MC 连 AM 导出上述结论 2 2 定点是斜边中点 动点在两直角边上滚动的旋转全等定点是斜边中点 动点在两直角边上滚动的旋转全等 操作过程 连 AD 1 使 BF AE 或 AF CE 导出 BDF ADE 2 使 EDF BAC 180 导出 BDF ADE 3 3 将等腰直角三角形补全为正方形 如下图 将等腰直角三角形补全为正方形 如下图 要点五 双垂直模型要点五 双垂直模型 特点 图形中包含两条垂线 且有一组边或角相等 结论 若 AD BD 则 BH AC 变形 1 2 则 AE AF 1 2 BAP DAP 则 AE AF AP CF 朱老师初二 上 数学辅导讲义 3 要点六 三垂直模型要点六 三垂直模型 特点 图形中包含三条垂线 且有一组边 结论 1 ABE BCD 2 ED AE CD 变形 要点七 全等三角形问题中常见的辅助线的作法要点七 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 1 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一 的性质解题 思维模式是全等变 换中的 对折 法构造全等三角形 2 遇到三角形的中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利用的 思维模式是全等变换中的 旋转 法构造全等三角形 3 遇到角平分线 1 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 2 可以在角平 分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交 形成一对全等三角形 3 可以在该角 的两边上 距离角的顶点相等长度的位置上截取二点 然后从这两点再向角平分线上的某点作 边线 构造一对全等三角形 以上利用的思维模式是全等变换中的 对折 法构造全等三角形 4 过图形上某一点作特定的平分线 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的 平移 或 翻转折叠 5 截长法与补短法 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或是将某条 线段延长 是之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作法 适合于 证明线段的和 差 倍 分等类的题目 6 已知某线段的垂直平分线 可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线 形 成一对全等三角形 7 在求有关三角形的定值一类的问题时 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来 利 用三角形面积的知识解答 典型例题 例例 1 1 手拉手模型 手拉手模型 如图 点 C 为线段 AB 上一点 ABC CDE 是等边三角形 请你证明 1 AD BE 2 ACB AOB 3 PCQ 为等边三角形 4 PQ AE 朱老师初二 上 数学辅导讲义 4 5 AP BQ 6 CO 平分 AOE 7 OA OB OC 8 OE OC OD 例例 2 2 角平分线模型 角平分线模型 如图 已知 1 2 3 4 求证 AP 平分 BAC 举一反三 举一反三 1 如图 在四边形 ABCD 中 BC AB AD CD BD 平分 BAC 求证 A C 180 2 如图 在 ABC 中 ABC 3 C AD 是 BAC 的平分线 BE AD 于 F 求证 3 ABC 中 BAC 60 C 40 AP 平分 BAC 交 BC 于 P BQ 平分 ABC 交 AC 于 Q 求 证 AB BP BQ AQ 例例 3 3 半角模型 半角模型 在正方形 ABCD 中 若 M N 分别在边 BC CD 上移动 且满足 MN BM DN 求证 MAN 45 CMN 的周长 2AB AM AN 分别平分 BMN 和 DNM 举一反三 举一反三 1 在正方形 ABCD 中 已知 MAN 45 若 M N 分别在边 CB DC 的延长线上移动 试探 究线段 MN BM DN 之间的数量关系 求证 AB AH 朱老师初二 上 数学辅导讲义 5 2 在四边形 ABCD 中 B D 180 AB AD 若 E F 分别在边 BC CD 且上 满足 EF BE DF 求证 例例 4 4 等腰直角三角形模型 等腰直角三角形模型 等腰直角 ABC 中 BAC 90 点 M N 在斜边 BC 上滑动 且 MAN 45 试探究 BM MN CN 之间的数量关系 举一反三 举一反三 1 两个全等的含 30 60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如图所示放置 E A C 三点在一 条直线上 连接 BD 取 BD 的中点 M 连接 ME MC 试判断 EMC 的形状 并证明你的结论 2 如图 在等腰直角 ABC 中 AC BC ACB 90 P 为 ABC 内部一点 满足 PB PC AP AC 求证 BCP 15 例例 5 5 双垂线模型双垂线模型 如右图 ABC 中 ABC 45 AC 4 H 是高 AD 和 BE 的 交点 则线段 BH 的长度为 举一反三 举一反三 1 如图 14 1 在 ABC 中 BC 边在直线 L 上 AC BC 且 AC BC EFP 的边 FP 也在直线 L 上 边 EF 与 AC 重合 且 EF FP 1 猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系 2 将 EFP 沿直线 L 向左平移至图 14 2 的位置时 EP 交 AC 于点 Q 连接 AP BQ 则 BQ 与 AP 满足什 么样的数量关系和位置关系 请猜想并证明 3 将 EFP 沿直线 L 向左平移至图 14 3 的位 朱老师初二 上 数学辅导讲义 6 置时 EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q 连接 AP BQ 你认为 2 中所猜想的 BQ 与 AP 的数 量关系和位置关系还成立吗 例例 6 6 三垂线模型 三垂线模型 如图所示 在 ABC 中 AB AC BAC 90 D 为 AC 中点 AF BD 于 E 交 BC 于 F 连接 DF 求证 ADB CDF 举一反三 举一反三 1 如图所示 在 ABC 中 AB AC AM CN AF BM 于 E 交 BC 于 F 连接 NF 求证 ADB CDF BM AF FN 2 如图所示 在 ABC 中 AB AC AM CN AF BM 于 E 交 BC 于 F 连接 NF 并分别延长 BM 和 FN 交于点 P 求证 PM PN PB PF AF 巩固练习 1 如图 在四边形 ABCD 中 B D 180 BC CD 求证 AC 平分 BAD 朱老师初二 上 数学辅导讲义 7 2 如图 AB AC A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D 自 D 作 DE AB DF AC 垂足分 别为 E F 求证 BE CF 3 如图所示 在 ABC 中 BC 边的垂直平分线 DF 交 BAC 的外角平分线 AD 于点 D F 为垂足 DE AB 于 E 并且 AB AC 求证 BE AC AE 4 如图 D E F 分别是 ABC 的三边上的点 CE BF 且 DCE 的面积与 DBF 的面积相等 求证 AD 平分 BAC 5 如图 ABC 是等腰直角三角形 BAC 90 BD 平分 ABC 交 AC 于点 D CE 垂直于 BD 交 BD 的延长线于点 E 求证 BD 2CE 6 如图 在 ABC 中 BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D 且 AB AD 作 CM AD 的延长线与 M 求证 7 如图 在 ODC 中 D 90 CE 是 DCO 的角平分线 且 OE CE 过点 E 作 FF OC 交 OC 于点 F 猜想 线段 OD 与 EE 之间的关系 并证明 朱老师初二 上 数学辅导讲义 8 8 如图 BD C E 分别是 ABC 的外角平分线 过点 A 作 AD BD AE CE 垂足分别是 D E 连接 DE 求证 1 DE BC 且 2 若 BD CE 分别是 ABC 的内角平分线 如图 2 其他条件不变 则线段 FG 与 ABC 三边又有怎样的数量关系 3 若 BD 为 ABC 的内角平分线 CE 为 ABC 的外角平分线 如图 3 则线段 FG 与 ABC 三边又有怎样的数量关系 9 如图 在 ABC 中 AD 是 BAC 的外角平分线 P 是 AD 上异于点 A 的任意一点 试比较 PB PC 与 AB AC 的大小 并说明理由 10 如图 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 O 为 BC 中点 若 M N 分别在线段 AC AB 上移 动 且在移动中保持 AN CM 1 判断 OMN 的形状 并证明你的结论 2 当 M N 分别在线 段 AC AB 上移动时 四边形 AMON 的面积如何变化 11 在正方形 ABCD 中 BE 3 EF 5 DF 4 求 BAE DCF 朱老师初二 上 数