导数应用题(解析)

1 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的体积为 80 3 立方米 且 2lr 假设该容 器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元 半球 形部分每平方米建造费用为 3 c c 千元 设该容器的建造费用为y千元 写出y关于r的函数表达式 并求该函数的定义域 求该容器的建造费用最小时的r 解 I 设容器的容积为 V 由题意知 23 480 33 Vr lrV 又 故 3 222 4 8044 20 3 333 Vr lrr rrr 由于 2lr 因此0 2 r 所以建造费用 22 2 4 20 2342 34 3 yrlr crrr c r 因此 2 160 4 2 02 ycrr r II 由 I 得 3 22 1608 2 20 8 2 02 2 c ycrrr rrc 由于 3 20 cc 所以 当 3 3 2020 0 22 rr cc 时 令 3 20 2 m c 则 0m 1 当 9 02 2 mc 即 时 当r m 时 y 0 当r 0 m 时 y 0 所以r m 是函数 y 的极小值点 也是最小值点 2 当 2m 即 9 3 2 c 时 当 0 2 0 ry 时 函数单调递减 所以 r 2 是函数 y 的最小值点 综上所述 当 9 3 2 c 时 建造费用最小时 2 r 当 9 2 c 时 建造费用最小时 2 请你设计一个包装盒 如图所示 ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片 切去阴影部分 所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得ABCD四个点重合于图中的 点 P 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角 形斜边的两个端点 设 AE FB xcm 1 某广告商要求包装盒侧面积 S cm 2 最大 试问x应取何值 2 某广告商要求包装盒容积 V cm 3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值 P 解 设馐盒的高为 h cm 底面边长为 a cm 由已知得 300 30 2 2 260 2 xx x hxa 1 1800 15 8 30 84 2 xxxahS 所以当 15 x 时 S 取得最大值 2 由 00 xV得 舍 或 x 20 当 20 0 x 时 0 30 20 0 VxV时当 所以 x 20 时 V 取得极大值 也是最小值 此时 11 22 h a 即 装盒的高与底面边长的比值为 1 2大 3 如图 在 2 2 ABCBABBCPAB 中 为边上一动点 PD BC 交 AC 于 点 D 现将 PDA PDAPDPDAPBCD 沿翻折至使平面平面 1 当棱锥 APBCD 的体积最 大时 求 PA 的长 2 若点 P 为 AB 的中点 E 为 ACBDE 的中点 求证 A 解 1 设 xPA 则 xx EF AB DC 令 则 23 2 2 x xf x 3 32 0 3 32 x f 0 xf 单调递增极大值单调递减 由上表易知 当 3 32 xPA 时 有 PBCDA V 取最大值 证明 作 B A 得中点 F 连接 EF FP 由已知得 FPEDPDBCEF 2 1 PB A 为等腰直角三角形 PFBA 所以 DEBA 4 江西理 19 设 axxxxf2 2 1 3 1 23 1 若 xf 在 3 2 上存在单调递增区间 求a的取值范围 2 当 20 a 时 xf 在 4 1 上的最小值为 3 16 求 xf 在该区间上的最大值 解析 1 xf 在 3 2 上存在单调递增区间 即存在某个子区间 3 2 nm 使得 0 xf 由 axaxxxf2 4 1 2 1 2 22 xf 在区间 3 2 上 单调递减 则只需 0 3 2 f 即可 由 02 9 2 3 2 af 解得 9 1 a 所以 当 9 1 a 时 xf 在 3 2 上存在单调递增区间 2 令 0 xf 得两根 2 811 1 a x 2 811 1 a x 2 811 2 a x 所以 xf 在 1 x 2 x 上单调递减 在 21 xx 上单调递增 当 20 a 时 有 41 21 xx 所以 xf 在 4 1 上的最大值为 2 xf 又 06 2 2