圆锥曲线题型及方法

黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 1 黄冈立传教育导学案黄冈立传教育导学案 高二数学 导学案 学生 学生 课题 名称 圆锥曲线复习圆锥曲线复习时间 2012 年 11 月 日 第 课时 课型复习课课时 6 主备人张思藤审核人 教学目标 教学目标 掌握圆锥曲线和其它知识点交汇综合性问题的解题技巧 将圆锥曲线知 识系统化 形成问题规律化 教学重点 教学重点 椭圆的定义 标准方程 椭圆的简单几何性质及应用等知识 主要考查 概念 基本量求解 求曲线方程 求参数范围问题等几类高考中常出现的问题 主要解题策略主要解题策略 运用第一定义 第二定义进行突破 构造含参数的不等式 通 过解不等式求参数范围 与直线有关的问题经常通过消元 得到一个一元二次方程 再利用韦达定理进行变形求解 充分运用曲线的性质及图形的特征 使得解法更简 捷 因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识 体现主要数学 思想有 化归与转化思想 函数与方程思想 数形结合思想 分类与整合思想 等 应注意的问题是对直线斜率是否存在的讨论 应用定义时是否符合要求等 一 考查概念 一 考查概念 例例 1 1 2009 全国 已知椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 右准线为l 点Al 线段 AF交C于点B 若3FAFB 则 AF A 2 B 2 C 3 D 3w 解析 解析 过点B作BMl 于M 并设右准线l与x轴的交点为N 易知FN 1 由题意3FAFB 故 2 3 BM 又由椭圆的第二定义 得 2 22 233 BF 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 2 2AF 故选 A 归纳小结归纳小结 本题充分挖掘图形的几何性质 应用椭圆的第二定义解决问题 例例 2 2 椭圆1 49 22 yx 的焦点为 1 F 2 F 点P为其上的动点 当 21PF F 为钝角时 点 P横坐标的取值范围是 分析 分析 欲求点P横坐标 0 x的取值范围 需要建立关于 0 x的不等式 从不同的知识点切入就 得到不同的解法 解法解法 1 1 两个定义相结合 由条件可知 3a 2b 所以 5c 3 5 a c e 根据椭圆的定义 12 26PFPFa 于是两边平方得 362 21 2 2 2 1 PFPFPFPF 又在 21PF F 中 由余弦定理得 222 1212 12 cos0 2 PFPFFF PF PF 所以 2 2 2 1 PFPF 2 22 20F F 将 代入上式得 12 8PFPF 设P的横坐标为 0 x 由焦半径公式得 00 8aexaex 所以 2 0 5 98 9 x 故 0 3 53 5 55 x 解法解法 2 2 与向量知识结合 因为 21PF F 为钝角 所以 12 0PF PF 设 00 P xy 由分析 1 可知 100 5 PFxy 200 5 PFxy 所以 0000 5 5 xyxy 05 2 0 2 0 yx 又 00 P xy在椭圆上 所以 22 00 1 94 xy 两式联立 消去 0 y 即得 0 3 53 5 55 x 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 3 归纳小结归纳小结 本题考查椭圆的定义及余弦定理 向量 不等式等知识综合 因此应注意提高综 合解决问题的能力 例例 3 3 2009 全国卷 理 已知直线 20yk xk 与抛物线 2 8C yx 相交于 AB 两点 F为C的焦点 若 2 FAFB 则 k A 1 3 B 2 3 C 2 3 D 2 2 3 解析 解析 分析图形 利用三角形相似 再利用抛物线的定义将问题转化 求出直线上一点的坐 标 求得k的值 设抛物线 2 8C yx 的准线为 2l x 直线 20yk xk 恒过定点 P 2 0 如 图过AB 分别作AMl 于M BNl 于N 由 2 FAFB 则 2 AMBN 点 B 为 AP 的中点 连结OB 则 1 2 OBAF OBBF 点B的横坐标为1 故点B的坐标为 2 202 2 1 2 2 1 2 3 k 故选 D 归纳小结归纳小结 充分研究图形 结合抛物线的定义解决问题是解析几何重要方法 二 基本量求解 二 基本量求解 例例 4 4 2009 上海 已知 1 F 2 F是椭圆1 2 2 2 2 b y a x C a b 0 的两个焦点 P为 椭圆C上一点 且 21 PFPF 若 21F PF 的面积为 9 则b 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 4 解析 解析 依题意 有 12 12 22 2 12 2 18 4 PFPFa PFPF PFPFc 可得 4c2 36 4a2 即a2 c2 9 故有b 3 归纳小结归纳小结 本题主要考查椭圆的定义 长轴 短轴 焦距之间的关系 属于基础知识 基 本运算的考查 例例 5 5 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的半焦距为c 若直线2yx 与椭圆一个交点P的横坐 标恰好为c 则椭圆的离心率为 A 22 2 B 2 21 2 C 21 D 31 分析 分析 求离心率关键是根据已知条件得到a b c的等量关系 若能充分利用图形的几何 特征及曲线的定义 可简化运算过程达到求解的目的 解法解法 1 1 由题知点 2 P cc 因为点P在椭圆 22 22 1 xy ab 上 所以 22 22 4 1 cc ab 化简得 222222 4b ca ca b 又因为 222 bac 所以 22222222 4 ac ca caac 化简得 4224 60ca ca 同除以 4 a得 42 610ee 解得 22 32 2 21 e 因为01e 所以 21e 故选 C 解法解法 2 2 由题知点P在椭圆上且横坐标为c 纵坐标为正数 所以点P的坐标为 2 b c a 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 5 又因为点P在直线2yx 上 所以 2 2 b c a 即 2 2bac 又因为 222 bac 所以 22 20caca 同除以 2 a得 2 210ee 解得12e 因为01e 所以21e 故选 C 解法解法 3 3 由题意可知点P坐标为 2 cc 即 2 2PFc 所以 12 PFF 为等腰直角三角形 所以 1 2 2PFc 由椭圆定义 12 2PFPFa 即2 222cca 所以 1 21 21 c e a 故选 C 归纳小结归纳小结 本题三种解法各有特点 解法 2 解法 3 充分运用曲线的性质及图形的特征 使 得解法更简捷 因此在解题时要提高运用曲线的定义及图形的几何特征的意识 例例 2 2 2009 山东理 设双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线与抛物线 2 1yx 只有一个公共点 则双曲线的离心率为 A 4 5 B 5 C 2 5 D 5 解析 解析 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的一条渐近线为x a b y 由方程组 2 1 b yx a yx 消去 y 得 2 10 b xx a 有唯一解 所以 2 40 b a 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 6 所以2 b a 22 2 1 5 cabb e aaa 故选 D 三 最值问题 三 最值问题 例例 6 6 已知抛物线 2 4yx 过点 4 0 P的直线与抛物线相交于 1122 A x yB xy两点 则 22 12 yy 的最小值是 解析 解析 由于过点 4 0 P且与抛物线 2 4yx 相交的直线不能是x轴 故可设这条直线为 4 xmymR 与抛物线方程联立 消去x 得 2 4160ymy 所以 12 12 4 16 yym y y 进而 21 2 21 2 2 2 1 2 yyyyyy 323216 2 m 当且仅当0m 即直线与x轴 垂直时 22 12 32yy 归纳小结归纳小结 本题并没有落入 设直线的斜率为k 将 22 12 yy 转化为k的函数 这个函数的 最小值 的俗套 而是类比直线方程的斜截式 将这条直线设为4 xmymR 如此处理 既不丢解又简捷明快 例例 8 8 2006 江西 P是双曲线 22 1 916 xy 的右支上一点 M N分别是圆 22 5 4xy 和 22 5 1xy 上的点 则 PMPN 的最大值为 A 6 B 7 C 8 D 9 解析 解析 双曲线的两个焦点 1 5 0 F 与 2 5 0 F恰好是两圆的圆心 欲使 PMPN 的值 最大 当且仅当 PM最大且 PN最小 由平面几何性质知 点M在线段 1 PF的延长线上 点N是线段 2 PF与圆的交点时所求的值最大 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 7 此时 12 2 1 PMPNPFPF 93 21 PFPF 因此选 D 四 突出几何性质的考查 四 突出几何性质的考查 例例 6 6 如图 已知圆O方程为100 22 yx 点A的坐标为 06 M为圆O上任意一 点 线段AM的垂直平分线交OM于点P 则点P的轨迹方程为 A 22 1 2516 xy B 22 3 1 2516 xy C 22 1 2516 xy D 22 3 1 2516 xy 解析 解析 由于POPA POPM 106 所以 点P的轨迹是以OA 为焦点 以 10 为长轴长的椭圆 因此选 B 归纳总结 归纳总结 应用定义求动点轨迹或其方程 其优势在于避免列式 化简等烦琐的代数处理过 程 给人以简捷 明快之感 定义法是解析几何中求动点轨迹及其方程的重要方法之一 例例 7 7 已知椭圆 22 1 32 xy 的左右焦点分别为 1 F 2 F 过 1 F的直线交椭圆于B D两点 过 2 F的直线交椭圆于A C两点 且ACBD 垂足为P 1 设P点的坐标为 00 xy 证明 22 00 1 32 xy 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 8 2 求四边形ABCD的面积的最小值 分析分析 因为ACBD 于点P 又 1 F 2 F是两个定点 所以 点P在以线段 12 FF为直径的 圆上 即P点的坐标为 00 xy满足 22 00 1xy 这样问题就转化为在此代数条件下求代数式 22 00 32 xy 的取值范围的问题了 方法显然不唯一 由条件知ABCD是对角线互相垂直的四边形 那么 这样的四边形的面积怎样计算呢 由 平面几何易知 1 2 ABCD SACBD 这就将问题转化为求椭圆的弦长问题了 显然 AC BD的长由它们的斜率决定 这已是常规的解析几何问题了 解 解 1 方法 1 椭圆的半焦距321c 由ACBD 知点P在以线段 12 FF为直 径的圆上 故 22 00 1xy 所以 2222 0000 1 1 32222 xyxy 方法 2 由方法 1 知 22 00 1xy 即 22 00 1yx 所以 22222 00000 111 1 3232262 xyxxx 2 当BD的斜率k存在且0k 时 BD的方程为 1 yk x 代入椭圆方程 22 1 32 xy 并化简得 2222 32 6360kxk xk 显然0 设 11 B xy 22 D xy 则 2 12 2 6 32 k xx k 2 12 2 36 32 k x x k 2 2222 12122212 2 4 3 1 1 4 32 k BDxxyykxxx x k 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 9 又由于直线AC与BD过同一点P 且相互垂直 同理可得 2 2 2 2 1 4 31 4 3 1 1 23 32 kk AC k k 四边形ABCD的面积为 111 222 ABCADC SSSACBPACDPBDAC 22 22 24 1 32 23 k kk 22 2 22 1 96 25 32 23 2 k kk 当 2 1k 时 上式取等号 当BD的斜率0k 或斜率不存在时 四边形ABCD的面积4S 综上 四边形ABCD的面积的最小值为 96 25 归纳小结归纳小结 第一问实际上是证明点P在椭圆的内部 这只需利用不等式进行放缩即得到结论 或者 由点P满足的关系 消去变量 0 y 得到关于 0 x的函数 求其取值范围即可 第二问把要 解决的解析几何问题转化为代数中的方程 不等式或函数问题 这是在转化与化归思想指导下 几何问题代数化 的具体体现 5 轨迹问题轨迹问题 直接法直接法 直接利用条件建立之间的关系 x y 0F x y 如如已知动点 P 到定点 F 1 0 和直线的距离之和等于 4 求 P 的轨迹方程 答 3 x 或 2 12 4 34 yxx 2 4 03 yxx 待定系数法待定系数法 已知所求曲线的类型 求曲线方程 先根据条件设出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 如如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M m 0 端点 A B 到 x 轴距离之积为 2m 0 m 以 x 轴为对称轴 过 A O B 三点作抛物线 则此抛物线方程为 答 2 2yx 定义法定义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写出动点的轨 迹方程 如如 1 1 由动点 P 向圆作两条切线 PA PB 切点分别为 A B APB 600 则动点 22 1xy P 的轨迹方程为 答 22 4xy 2 2 点 M 与点 F 4 0 的距离比它到直线的距离小于 1 则点 M 的轨迹方程是05 xl 答 2 16yx 3 3 一动圆与两圆 M 和 N 都外切 则动圆圆心的1 22 yx0128 22 xyx 轨迹为 答 双曲线的一支 代入转移法代入转移法 动点依赖于另一动点的变化而变化 并且又在 P x y 00 Q xy 00 Q xy 某已知曲线上 则可先用的代数式表示 再将代入已知曲线得要求的轨迹方程 x y 00 xy 00 xy 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 10 如如动点 P 是抛物线上任一点 定点为 点 M 分所成的比为 2 则 M12 2 xy 1 0 A PA 的轨迹方程为 答 3 1 6 2 xy 参数法参数法 当动点坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考虑 P x y 将均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 x y 如 如 1 1 AB 是圆 O 的直径 且 AB 2a M 为圆上一动点 作 MN AB 垂足为 N 在 OM 上取 点 使 求点的轨迹 答 P OPMN P 22 xya y 2 2 若点在圆上运动 则点的轨迹方程是 答 11 yxP1 22 yx 1111 yxyxQ 2 1 21 2 yxx 例例 7 已知点 100 P xy为双曲线 22 22 1 8 xy bb b为正常数 上任一点 2 F为双曲线的右 焦点 过 1 P作右准线的垂线 垂足为A 连接 2 F A并延长交y轴于 2 P 求线段 1 P 2 P的中点 P的轨迹E的方程 分析 分析 求轨迹问题有多种方法 如相关点法等 本题注意到点P是线段 1 P 2 P的中点 可利 用相关点法 解 解 由已知得 20 8 3 0 3 FbAb y 则直线 2 F A的方程为 0 3 3 y yxb b 令0 x 得 0 9yy 即 20 0 9 Py 设P xy 则 0 00 0 2 9 5 2 x x yy yy 即 0 0 2 5 xx y y 代入 22 00 22 1 8 xy bb 得 22 22 4 1 825 xy bb 即P的轨迹E的方程为 22 22 1 225 xy bb x R 归纳小结归纳小结 将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法 六 求参数范围问题 六 求参数范围问题 例例 8 8 2008 福建 椭圆 22 22 1 xy ab 0 ab 的一个焦点是 1 0 F O为坐标 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 11 原点 1 已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形 求椭圆的方程 2 设过点F的直线 l 交椭圆于A B两点 若直线 l 绕点F任意转动 恒有 222 OAOBAB 求a的取值范围 分析 分析 将几何条件 椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形 转化 为代数等式 解之即得3b 继而由椭圆参数之间的关系便可求出a 对于第 2 问 容易知道 当三点 A O B不共线时 222 OAOBAB cos0AOB 0OA OB 1212 0 x xy y 设 1122 A x yB xy 由此可得关于 a b的不等式 再由 22 1ba 消去b 就得到关于a的不等式 解之即可 解 解 1 设 M N为短轴的两个三等分点 因为MNF 为正三角形 所以 3 2 OFMN 3 2 1 23 b 解得3b 22 14 ab 因此 椭圆方程为 22 1 43 xy 2 设 1122 A x yB xy 当直线AB与x重合时 222 222 2 4 1 OAOBaABaa 因此 恒有 222 OAOBAB 当直线AB不与x轴重合时 设直线AB的方程为1 xmym R 代入 22 22 1 xy ab 整理得 22222222 20ab myb myba b 所以 2 12 222 2b m yy ab m 222 12 222 ba b y y ab m 因为恒有 222 OAOBAB 所以AOB 恒为钝角 即 11221212 0OA OBx yxyx xy y 恒成立 2 121212121212 1 1 1 1x xy ymymyy ymy ym yy 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 12 222222 222222 1 2 1 mba bb m ab mab m 2222222 222 0 m a bba ba ab m 又 222 0ab m 所以 2222222 0m a bba ba 对m R恒成立 即 2222222 m a baba b 对m R恒成立 当m R时 222 m a b 最小值为 0 所以 2222 0aba b 2224 1 ab ab 因为0 0ab 22 1aba 即 2 10aa 解得 15 2 a 或 15 2 a 舍去 即 15 2 a 综合 i ii a的取值范围为 15 2 归纳小结归纳小结 主要考查直线 椭圆和不等式等基本知识 侧重考查椭圆与不等式 交汇问题 是对多个知识点的综合考查 本题的亮点在第 2 问 实质是探究 椭圆中心恒在以焦点弦为直径的圆内 的 充分必要条件 当三点 A O B不共线时 222 OAOBAB cos0AOB 1212 0 x xy y 为了得到 1212 x xy y 需要将过点F的直线l与椭圆的方程联立 通过消元 得 到一个一元二次方程 再利用韦达定理整体变形 得到 1212 x xy y 用m表示解析式 应用不等式性质使问题获得解决 如果选择 点斜式 的方法给出直线l的方程 则需要按直线l与x轴是否垂直分类讨论 例例 7 过抛物线 2 xyC 上两点M N的直线l交y轴于点 0 Pb 1 若0OM ON O 为坐标原点 求实数b的取值范围 2 若2 b 曲线C在点M N处的切线的交点为Q 证明 点Q必在一条定直线上 运动 分析 分析 结合向量知识及抛物线的知识建立关于b的关系式求b的取值范围 2 问结合导 数的知识求切线的方程 求交点Q满足的关系 解 解 1 设点M N坐标分别为 2 11 x x 2 2212 x xxx 则 2 11 OMx x 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 13 2 22 ONx x 由题意可设直线l方程为bkxy 由 2 yx ykxb 消去y得 2 0 xkxb 则 2 12 12 40kb xxk xxb 因为0OM ON 所以 2 2 2 121 xxxxONOM 0 2 bb 解得01b 所以 实数b的取值范围为 1 0 2 当2 b时 由 1 知 2 21 21 bxx kxx 因为函数 2 xy 的导数为xy2 抛物线在 2 11 M x x 2 22 N x x两点处切线的斜率分 别为 1 2 M kx 2 2 N kx 所以抛物线在点M N处的切线方程分别为 2 111 2 yxx xx 和 2 222 2 yxx xx 由 2 111 12 2 222 2 2 yxx xx xx yxx xx 解得交点Q的坐标 x y满足 12 12 2 xx x yxx 即 2 2 k x y 所以点Q在定直线2y 上运动 归纳小结归纳小结 2 中结论的一般化是 过点 0 b的直线与抛物线 2 2xpy 相交于A B两 点 抛物线在A B两点处的切线的交点为Q 则点Q的轨迹是yb 去掉在抛物线内部的 部分 黄冈立传智能教育中小学各科功课快速提分辅导方案 14 例例 8 8 给定抛物线 2 4C yx F是C的焦点 过F的直线l与C交于A B两点 记 O为坐标原点 求OA OB 的值 设AFFB 当三角形OAB的面积 2 5 S 时 求 的取值范围 分析 分析 结合向量知识和解析几何知识 设坐标 列出关系式求 的取值范围 1 解解 设 11 A x y 22 B xy 则 1212